1 正弦定理和余弦定理 1 了解正弦定理的幾何意義 了解余弦定理的幾種變形公式 2 掌握正弦定理及正弦定理的推導 掌握余弦定理及余弦定理的推導 3 會利用正 余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題 2 應用 1 能夠運用正弦定理 余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 2 通過定理的推導和應用 培養分析 綜合 歸納等思維能力 滲透數形結合 化歸等數學思想 以及從特殊到一般 類比等方法 從近幾年高考命題的形式看 本節知識是高考必考內容 1 內容上重點為正弦定理及三角形的面積公式 考題靈活多樣 2 題型方面選擇和填空題型以考查用正 余弦定理解三角形為主 難度不大 有時與其他知識綜合命題 涉及了數列內容 解答題型主要與三角函數相結合實現邊角互化或用以解決實際問題 難度中等 3 側重考查從實際問題中提煉數學問題的能力 一 正弦定理的應用正弦定理主要有兩方面的應用 一是已知三角形的任意兩個角與一邊 由三角形內角和定理 可以計算出三角形的另一個角 由正弦定理可以計算出三角形的另兩邊 二是已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角 應用正弦定理 可以計算出另一邊的對角的正弦值 進而確定這個角和三角形其他的邊和角 值得注意的是已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角 運用正弦定理解三角形時 解不唯一 可結合三角形中大邊對大角的性質或結合圖形來判斷解的個數 二 余弦定理的應用余弦定理有三個方面的應用 一是已知三角形的兩邊和它們的夾角 可以由余弦定理求出第三邊 進而求出其余兩角 二是已知三角形的三邊求三角 三是利用余弦定理列方程 三 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀 一般有以下兩種途徑 將已知條件統一化成邊的關系 用代數方法求解 將已知條件統一化成角的關系 用三角知識求解 在解三角形時常用的結論有 如圖所示 在梯形abcd中 ad bc ab 5 ac 9 bca 30 adb 45 求bd的長 五 正 余弦定理的實際應用正弦定理 余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應用 常見的測量距離問題 測量高度問題 測量角度問題 解決的基本思路是畫出正確的示意圖把已知量和未知量標在示意圖中 目的是發現已知量與未知量之間的關系 最后確定用哪個定理轉化 用哪個定理求解 并進行作答 解題時還要注意近似計算的要求 如圖 甲船在a處 乙船在a處的南偏東45 方向的b處 距a有9海里 并以20海里 時的速度沿南偏西15 方向行駛 若甲船以28海里 時的速度行駛 應沿什么方向 用多少小時能最快追上乙船 精確到度 一 數形結合思想數形結合思想 其實質是將抽象的數學語言與直觀的數學圖形結合起來 使抽象思維和形象思維結合 通過對圖形的認識 數形結合的轉化 可以培養思維的靈活性 形象性 使問題化難為易 化抽象為具體 已知 mon 60 q是 mon內的一點 它到兩邊的距離分別是2和11 求oq的長 二 轉化與化歸思想解三角形知識與三角函數之間存在密切聯系 當一個問題的一個角度分析題意不明朗時 常將其轉化為其他形式 通過合理的轉化 往往能迅速找到解題思路 在奧運會壘球比賽前 c國教練布置戰術時 要求擊球手與連接本壘及游擊手的直線成15 的方向把球擊出 根據經驗及測速儀的顯示 通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍 問按這樣的布置 游擊手能不能接著球 解析 設游擊手能接著球 接球點為b 而游擊手從點a跑出 本壘為o點 如圖所示 三 函數與方程思想在用余弦定理解三角形時 由于公式中有四個量 能夠做到知三求一 對于所要求的未知量 可以當作方程中未知數對待 通過解方程得到 四 分類討