專題四 數列 極限與數學歸納法高考預測2012年高考命題趨勢 選擇題 填空題將仍以考查兩個特殊數列的基礎知識和運算能力為主 突出 小 巧 活 的特點 解答題仍以綜合題為主 內容涉及到函數 不等式 解析幾何 組合與二項式定理等 突出對思想與方法的考查 考查的思想有 函數與方程的思想 等價轉化的思想 分類討論的思想 特殊與一般的思想 考查的主要方法有 疊加法 累積法 迭代法 待定系數法 倒序相加法 錯位相減法 裂項相消法 放縮法 數學歸納法 近年來不斷地涌現出信息題 著重考查學生的閱讀能力和知識遷移的能力 而對遞推公式的考查十分火熱 適當地拓展一些由遞推關系求通項的方法是大有必要的 它可以使方法更為直接 以三角 解析幾何 導數和二項定理相交匯的數列綜合試題將成為高考命題中的新寵 應引起高度重視 其中常考不衰的四個熱點是 關于an與sn之間關系的考查 疊加 累積 錯位相減 裂項相消 等方法的運用 構造新數列 將非等差 等比數列化成等差 等比數列 數列中的不等式證明 考題回放1 2009年 海南寧夏 等比數列 an 的前n項和為sn 且4a1 2a2 a3成等差數列 若a1 1 則s4等于 a 7 b 8 c 15 d 16 解析 4a1 2a2 a3成等差數列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 答案 c2 2009年 江西 數列 an 的通項an n2 其前n項和為sn 則s30為 a 470 b 490 c 495 d 510 解析 由于以3為周期 故s30 25 470 答案 a 3 2011年 重慶 設a1 2 an 1 bn n n 則數列 bn 的通項bn 解析 bn 1 2bn 又b1 4 故數列 bn 是以4為首項 以2為公比的等比數列 bn 2n 1 答案 2n 14 2009年 山東 等比數列 an 的前n項和為sn 已知對任意的n n 點 n sn 均在函數y bx r b 0且b 1 b r均為常數 的圖象上 1 求r的值 2 當b 2時 記bn 2 log2an 1 n n 證明 對任意的n n 不等式成立 解析 1 解 點 n sn 均在函數y bx r b 0且b 1 b r均為常數 的圖象上 sn bn r b 0且b 1 b r均為常數 當n 1時 a1 s1 b r 當n 2時 an sn sn 1 bn r bn 1 r b 1 bn 1 又數列 an 為等比數列 故r 1且公比為b 2 證明 當b 2時 則an 2n 1 bn 2 log2an 1 2 log22n 1 1 2n n n 于是要證明的不等式為對任意的n n 成立 法一 可用數學歸納法 當n 1時 顯然成立 假設當n k時成立 即成立 則當n k 1時 即當n k 1時不等式成立 所以原不等式對任意n n 成立 所以原不等式成立 5 2009年 江西 各項均為正數的數列 an a1 a a2 b 且對滿足m n p q的正整數m n p q都有 1 當a b 時 求通項an 2 證明 對任意a 存在與a有關的常數 使得對于每個正整數n 都有 an 解析 1 解 由 得 將a1 a2 代入上式化簡得an 所以 故數列為等比數列 又 從而 即an 可驗證an 滿足題設條件 2 證明 由題設的值僅與m n有關 記為bm n 則bn 1 考察函數f x x 0 則在定義域上有f x g a 故對n n bn 1 g a 恒成立 又b2n g a 注意到0 g a 解上式得 an 取 即有 an 專題訓練一 選擇題1 在等差數列 an 中 a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 則數列 an 的前9項之和s9等于 a 66 b 99 c 144 d 297 解析 數列 an 是等差數列 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9也成等差數列 a2 a5 a8 33 即s9 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 99 答案 b2 設等比數列 an 的公比q 2 前n項和為sn 則等于 a 2 b 4 c d 解析 答案 c3 在等差數列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 則a9 a11的值為 a 14 b 15 c 16 d 17 解析 由已知得5a8 a4 a6 a8 a10 a12 120 a8 24 a9 a11 3a9 a11 3a1 24d a1 10d a1 7d a8 16 答案 c 4 在等比數列 an 中 已知a1 a2 a3 4 a2 a3 a4 2 則a3 a4 a5 a6 a7 a8等于 a b c d 解析 q a3 a4 a5 1 a6 a7 a8 a1 a2 a3 5 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 答案 d 5 在等差數列 an 中 a100且a11 a10 sn為數列 an 的前n項和 則使sn 0的n的最小值為 a 21 b 20 c 10 d 11 解析 a11 a10 且a10 0 a10 a11 0 即s19 19a10 0 s20 10 a10 a11 0 答案 b6 公差不為0的等差數列 an 中 2a3 a72 2a11 0 數列 bn 是等比數列 且b7 a7 則b6b8等于 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 2a3 a72 2a11 0 4a7 a72 0 a7 4或a7 0 舍去 b6b8 b72 a72 16 答案 d 7 若數列 an 滿足a1 1 a2 2 an n 3 則a17等于 a 1 b 2 c d 2 987 解析 an an 3 an 2 兩式相乘得 an 3 an 故a17 a2 2 答案 b8 在等差數列 an 中 若7a5 5a9 0 且a9 a5 則使數列前n項和sn取最小值的n等于 a 5 b 6 c 7 d 8 解析 設數列 an 的公差為d 則a9 a5 4d 0 7a5 5a9 12a1 68d 12a6 8d 12a7 4d 0 a6 d0 因此數列 an 的前6項和最小 答案 b 9 數列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 此數列的前n項和sn 1020 那么n的最小值是 a 7 b 8 c 9 d 10 解析 an 1 2 22 2n 1 2n 1 sn 2n 1 n 2 s9 1013 s10 2036 故所求n的最小值為10 答案 d10 設數列 an 的前n項和為sn 令tn 稱tn為數列a1 a2 an的 理想數 已知數列a1 a2 a500的 理想數 為2004 那么數列2 a1 a2 a500的 理想數 為 a 2002 b 2004 c 2006 d 2008 解析 數列a1 a2 a500的 理想數 為 2004 500a1 499a2 a500 2004 500 數列2 a1 a2 a500的 理想數 為 2 2002 答案 a11 在數列 an 中 如果存在非零常數t 使得am t am對于任意正整數m均成立 那么就稱數列 an 為周期數列 其中t叫做數列 an 的周期 已知數列 xn 滿足xn 1 xn xn 1 n 2 n n 如果x1 1 x2 a a 1 a 0 當數列 xn 的周期為3時 則該數列的前2009項的和為 a 668 b 669 c 1338 d 1340 解析 本題考查對信息的閱讀理解能力及知識的遷移轉化能力 據題意知x3 a 1 1 a x4 2a 1 由于數列的周期為3 故必有x4 x1 2a 1 1 解得a 1或0 據條件a 0舍去 故此數列為1 1 0 1 1 0 故每一周期內數列和為2 由于2009 3 669 2 則此數列的前2009項即為 2 669 1 1 1340 答案 d12 已知數列 an 滿足a1 1 a2 2 n n 則a13等于 a 26 b 24 c 212 12 d 213 13 解析 由 2 令bn 則數列 bn 是以2為首項 以2為公差的等差數列 所以bn 2 n 1 2 2n 故有an a1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 1 1 2n 1 n 1 答案 c 二 填空題13 設等比數列 an 的前n項和sn 2n a 等差數列 bn 的前n項和tn n2 2n b 則a b 解析 易得a 1 b 0 答案 114 常數a b滿足 b 則a b 解析 當x 1時 ax2 5x 3 0 故a 2 代入可得b 2x 3 1 故a b 3 答案 315 數列滿足a1 1 且對任意的m n n 都有am n am an mn 則 解析 當m 1時 an 1 an n 1 即an 1 an n 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 故 答案 16 若a1 1 an 1 則數列 an 的第34項是 解析 an 1 3 即數列是以3為公差的等差數列 1 3 33 100 故a34 答案 三 解答題17 已知數列 an 的前n項和為sn 且a1 1 nan 1 n 2 sn n 1 2 3 1 求證 數列為等比數列 并由此求出sn 2 若數列 bn 滿足 b1 n n 試求數列 bn 的通項公式 解析 1 由條件n sn 1 sn n 2 sn 2 是首項為1 公比為2的等比數列 所以 2n 1 sn n2n 1 2 由條件 2n 1 設cn 則c1 cn c1 c2 c1 c3 c2 cn cn 1 2 1 20 21 2n 2 2n 1 從而bn ncn 2n 1 18 設方程tan2 x 4tan x 0在 n 1 n n n 內的所有解之和為an 1 求a1 a2的值 并求數列 an 的通項公式 2 設數列 bn 滿足條件 b1 2 bn 1 abn 求證 2 解析 方程tan2 x 4tan x tan x 1 tan x 0 得tan x 或tan x 1 當n 1時 x 0 1 即 x 0 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a1 當n 2時 x 1 2 則 x 2 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a2 當x n 1 n 時 x n 1 n 由tan x 或tan x 得 x n 1 或 x n 1 得x n 1 或x n 1 故an n 1 n 1 2n 2 由 1 得bn 1 abn 2bn 即bn 1 2 22 bn 1 2n 2n 1 0 則 即 1 2 2 19 已知數列 an 的前n項和為sn 且2sn n 1 an n n a1 1 1 求數列 an 的通項 2 已知bn 求b1 b2 bn 3 求證 an 解析 1 2sn n 1 an 2sn 1 n 2 an 1 兩式相減得2an 1 n 2 an 1 n 1 an 即 n 2 當n 2時 an a1 1 n 又a1 1 an n n n 2 bn b1 b2 bn 1 3 證明 1 an 1 n cn0 cn1 cn2 cnr cnn 又cnr 1 而 cn0 cn1 an 20 已知數列 an 中a1 3 a2 5 其前n項和為sn 且滿足sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 1 試求數列 an 的通項公式 2 令bn tn是數列 bn 的前n項和 證明 tnm成立 解析 1 由sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 得sn sn 1 sn 1 sn 2 2n 1 n 3 an sn sn 1 an an 1 2n 1 n 3 即an an 1 2n 1 n 3 又a2 a1 5 3 2 an an 1 2n 1 n 2 an a1 2n 1 2n 2 2n 3 21 3 3 2n 1 故數列 an 的通項公式為an 2n 1 2 bn tn b1 b2 b3 bn m 則得 m 化簡得 m 0 1 6m 0 2n 1 1 n log2 1 當log2 1m成立 21 已知等差數列滿足a12 a32 10 等比數列 bn 的前n項和tn 2n a 1 求a的值以及數列的通項公式 2 試求s a3 a4 a5的最大值以及s最大時數列的通項公式 3 若cn anbn 求數列的前n項和 解析 1 當n 2時 tn 1 2n 1 a bn tn tn 1 2n 1 n 2 數列為等比數列 b1 t1 2 a 1 故a 1 bn 2n 1 2 設數列 an 的公差為d 根據題意有 a12 a32 2a12 4a1d 4d2 10 即a12 2a1d 2d2 5 s a3 a4 a5 3 a1 3d a1 3d 代入上式有 3d 2 2 3d d 2d2 sd 5d2 5 即關于d的不等式45d2 12sd s2 45 0有解 144s2 180 s2 45 0 s2 225 s 15 smax 15 當s 15時 45d2 12 15d 152 45 0 d 2 2 0 d 2 a1 3d 1 an 2n 3 3 cn anbn 2n 3 2n 1 記數列 cn 的前n項和為sn sn c1 c2 c3 cn 1 cn 1 20 1 21 3 22 2n 5 2n 2 2n 3 2n 1 2sn 1 21 1 22 3 23 2n 5 2n 1 2n 3 2n sn 1 2 21 22 23 2n 1 2n 3 2n 1 2 2n 3 2n 5 n 1 2n 1 3 2n sn 5 n 1 2n 1 3 2n 22 已知 f x 數列 an 的前n項和為sn 點pn an 在曲線y f x 上 n n 且a1 1 an 0 1 求數列 an 的通項公式 2 數列 bn 的前n項和