第五十三講 第五十四講 文 互斥事件有一個發生的概率 回歸課本1 互斥事件與對立事件 1 不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件 或稱互不相容事件 2 從集合的角度看 幾個事件彼此互斥 是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此互不相交 3 兩個事件是對立事件的條件是 兩個事件是互斥事件 兩個事件必有一個發生 4 從集合的角度看 由事件a的對立事件所含的結果組成的集合 是全集中由事件a所含的結果組成的集合的補集 考點陪練1 下列說法正確的是 a 事件a b中至少一個發生的概率一定比a b恰有一個發生的概率大b 事件a b同時發生的概率一定比事件a b中恰有一個發生的概率小c 互斥事件一定是對立事件 對立事件不一定是互斥事件d 互斥事件不一定是對立事件 對立事件一定是互斥事件解析 由互斥事件與對立事件的概念 知d的說法正確 答案 d 答案 b 答案 c 4 以下命題 將一枚硬幣拋擲兩次 設事件a 兩次都出現正面 事件b 兩次都出現反面 則事件a與事件b是對立事件 在命題 中 事件a與事件b是互斥事件 在10件產品中有3件是次品 從中任取3件 事件a 所取3件中最多有2件是次品 事件b 所取3件中至少有2件是次品 則事件a與事件b是互斥事件 正確命題的個數為 a 0b 1c 2d 3 解析 將一枚硬幣拋擲兩次 除去a b的結果還可能出現一次正面 一次反面或一次反面 一次正面兩種情況 因此 不正確 正確 對于 a與b有可能出現共同結果 一件正品 兩件次品 即a與b不是互斥事件 不正確 答案 b 答案 c 類型一事件類型的判斷解題準備 準確理解互斥事件 對立事件的概念是解題的關鍵 典例1 某城市有甲 乙兩種報紙供居民訂閱 記事件a為 只訂甲報 事件b為 至少訂一種報 事件c為 至多訂一種報 事件d為 不訂甲報 事件e為 一種報也不訂 判斷下列每對事件是不是互斥事件 如果是 再判斷它們是不是對立事件 1 a與c 2 b與e 3 b與d 4 b與c 5 c與e 解析 對照互斥事件 對立事件的定義進行判斷 1 由于事件c 至多訂一種報 中有可能只訂甲報 即事件a與事件c有可能同時發生 故a與c不是互斥事件 2 事件b 至少訂一種報 與事件e 一種報也不訂 是不可能同時發生的 故b與e是互斥事件 由于事件b發生 可導致事件e一定不發生 且事件e發生也會導致事件b一定不發生 故b與e是對立事件 3 事件b 至少訂一種報 中有可能只訂乙報 而不訂甲報 事件b發生 事件d也可能發生 故b與d不是互斥事件 4 事件b 至少訂一種報 中有三種可能 只訂甲報 只訂乙報 訂甲 乙兩種報 事件c 至多訂一種報 中也有三種可能 只訂甲報 只訂乙報 什么報也不訂 由于這兩個事件可能同時發生 故b與c不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件e 一種報也不訂 只是事件c的一種可能 事件c與事件e有可能同時發生 故c與e不是互斥事件 點評 互斥事件是概率知識中重要的概念 必須正確理解 1 互斥事件是對兩個事件而言的 若有a b兩個事件 當事件a發生時 事件b就不發生 當事件b發生時 事件a就不發生 即事件a b不可能同時發生 我們就把這種不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件 否則就不是互斥事件 總結該例題涉及的知識點 深刻詮釋知識的內涵外延 堅決避免對知識進行簡單羅列 2 互斥事件 和 對立事件 都是就兩個事件而言的 互斥事件是不可同時發生的兩個事件 而對立事件是其中必有一個發生的互斥事件 因此 對立事件必然是互斥事件 但互斥事件不一定是對立事件 也就是說 互斥事件 是 對立事件 的必要不充分條件 對立事件 是 互斥事件 的充分不必要條件 類型二互斥事件有一個發生的概率解題準備 求復雜事件的概率一般可分三步進行 列出題中涉及的各個事件 并用適當符號表示它們 理清各事件之間的關系 列出關系式 根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算 直接計算符合條件的事件個數較繁時 可間接地先計算對立事件的個數 求得對立事件的概率 再求出符合條件的事件的概率 典例2 有a b兩個口袋 a袋中有4個白球和2個黑球 b袋中有3個白球和4個黑球 從a b袋中各取兩個球交換 求a袋中仍裝有4個白球的概率 解析 根據題意進行分析 把事件分解為幾個彼此互斥的事件的和 交換后a袋中仍有4個白球的可能情況有 a b中各取兩個白球交換 記為事件a a b中各取兩個黑球交換 記為事件b a b中各取一個白球和一個黑球交換 記為事件c 則 點評 對于一些復雜的事件 我們常把它分解成若干個彼此互斥的事件分別求概率 再應用互斥事件的概率加法公式計算概率 解題時 首先要弄清各事件是否互斥 同時要學會把一個事件分拆為幾個彼此互斥事件 做到 不重不漏 探究1 某通訊公司在甲 乙兩地之間有六條網線并聯 它們能通過的最大信息量分別為1 1 2 2 3 4如圖 根據公司的發展需求 決定從中任取三條網線且使每條網線通過最大信息量來開展新工業 1 設從中選取的三條網線 由甲到乙可通過的信息總量為x 則x的可能取值有哪些 2 當 1 中的x 8時 才能保證信息暢通 求線路信息暢通的概率 解析 1 根據題意可知 任取3條網線的信息總量可能取值有1 1 2 4 1 1 3 1 2 2 5 1 1 4 1 2 3 6 1 2 4 2 2 3 7 1 3 4 2 2 4 8 2 3 4 9 即x的可能取值為4 5 6 7 8 9 探究2 從一副52張的撲克牌中任取4張 求其中至少有兩張牌的花色相同的概率 解析 至少兩張牌的花色相同的情況有 只有兩張 有三張 四張 它們彼此互斥 其對立事件是沒有兩張牌的花色相同 解法一 任取四張牌 設至少有兩張牌的花色相同為事件a 四張牌同一花色為事件a1 有三張牌同一花色 另一張是其他花色為事件a2 每兩張牌是同一花色為事件a3 只有兩張牌是同一花色 另兩張牌分別是不同花色為事件a4 可見 a1 a2 a3 a4彼此互斥 且a a1 a2 a3 a4 直接計算符合條件的事件的概率較為復雜時 可考慮先轉化為對立事件的概率進行計算 特別是當題設