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江蘇省灌南高級中學高三數學復習導學案:立體幾何中的向量方法考情分析1通過線線、線面、面面關系考查空間向量的坐標運算2能用向量方法證明直線和平面位置關系的一些定理3利用空間向量求空間距離基礎知識1空間向量的坐標表示及運算(1)數量積的坐標運算設a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),則ab(a1b1,a2b2,a3b3);a(a1,a2,a3);aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標表示設a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),則ababa1b1,a2b2,a3b3(r),abab0a1b1a2b2a3b30(a,b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設a(a1,a2,a3),b(b1, b2,b3),則|a|,cosa,b.設a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),則dab|.2立體幾何中的向量方法(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量:l是空間一直線,a,b是直線l上任意兩點,則稱為直線l的方向向量,與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量平面的法向量可利用方程組求出:設a,b是平面內兩不共線向量,n為平面的法向量,則求法向量的方程組為(2)用向量證明空間中的平行關系設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.設直線l的方向向量為v,與平面共面的兩個不共線向量v1和v2,則l或l存在兩個實數x,y,使vxv1yv2.設直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則l或lvu.設平面和的法向量分別為u1,u2,則u1u2.(3)用向量證明空間中的垂直關系設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2v1v2v1v20.設直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則lvu.設平面和的法向量分別為u1和u2,則u1u2u1u20.(4)點面距的求法如圖,設ab為平面的一條斜線段,n為平面的法向量,則b到平面的距離d.題型一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示,在正方體abcda1b1c1d1中,m、n分別是c1c、b1c1的中點求證:mn平面a1bd.【變式1】 如圖所示,平面pad平面abcd,abcd為正方形,pad是直角三角形,且paad2,e、f、g分別是線段pa、pd、cd的中點求證:pb平面efg.題型二利用空間向量證明垂直問題【變式2】 如圖所示,在四棱錐pabcd中,pa底面abcd,abad,accd,abc60,paabbc,e是pc的中點證明:(1)aecd;(2)pd平面abe.題型三利用向量求空間距離【例3】在三棱錐sabc中,abc是邊長為4的正三角形,平面sac平面abc,sasc2,m、n分別為ab、sb的中點,如圖所示,求點b到平面cmn的距離【變式3】 (2013江西模擬)如圖,bcd與mcd都是邊長為2的正三角形,平面mcd平面bcd,ab平面bcd,ab2.(1)求點a到平面mbc的距離;(2)求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值 鞏固提高1.如圖,pd垂直于正方形abcd所在平面,ab2,e為pb的中點,cos,若以da,dc,dp所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則點e的坐標為_2.已知棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中,e是a1b1的中點,求直線ae與平面abc1d1所成角的正弦值_3如圖,四棱錐pabcd中,pa底面abcd.四邊形abcd中,abad,abad4,cd,cda45.(1)求證:平面pab平面pad;(2)設
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