2013年江蘇省高考說明數學科一、命題指導思想根據普通高等學校對新生文化素質的要求，2013年普通高等學校招生全國統一考試數學學科（江蘇卷）命題將依據中華人民共和國教育部頒發的普通高中數學課程標準（實驗），參照普通高等學校招生全國統一考試大綱（課程標準實驗版），結合江蘇普通高中課程教學要求，既考查中學數學的基礎知識和方法，又考查進入高等學校繼續學習所必須的基本能力.1突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查對數學基礎知識和基本技能的考查，貼近教學實際，既注意全面，又突出重點，注重知識內在聯系的考查，注重對中學數學中所蘊涵的數學思想方法的考查.2重視數學基本能力和綜合能力的考查數學基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理這幾方面的能力.（1）空間想象能力的考查要求是:能夠根據題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解和組合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能夠通過對實例的探究,發現研究對象的本質；能夠從給定的信息材料中概括出一些結論，并用于解決問題或作出新的判斷.（3）推理論證能力的考查要求是：能夠根據已知的事實和已經獲得的正確的數學命題，運用歸納、類比和演繹進行推理，論證某一數學命題的真假性.（4）運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計或近似計算.（5）數據處理能力的考查要求是：能夠運用基本的統計方法對數據進行整理、分析，以解決給定的實際問題.數學綜合能力的考查，主要體現為分析問題與解決問題能力的考查，要求能夠綜合地運用有關的知識與方法，解決較為困難的或綜合性的問題.3注重數學的應用意識和創新意識的考查數學的應用意識的考查，要求能夠運用所學的數學知識、思想和方法，構造數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決.創新意識的考查要求是:能夠綜合，靈活運用所學的數學知識和思想方法，創造性地解決問題.二、考試內容及要求數學試卷由必做題與附加題兩部分組成.選修測試歷史的考生僅需對試題中的必做題部分作答；選修測試物理的考生需對試題中必做題和附加題這兩部分作答.必做題部分考查的內容是高中必修內容和選修系列1的內容；附加題部分考查的內容是選修系列2（不含選修系列1）中的內容以及選修系列4中專題4-1幾何證明選講、4-2矩陣與變換、4-4坐標系與參數方程、4-5不等式選講這4個專題的內容（考生只需選考其中兩個專題）.對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用a、b、c表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統地掌握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.具體考查要求如下：1必做題部分內 容要 求abc1集合集合及其表示子集交集、并集、補集2函數概念與基本初等函數函數的概念函數的基本性質指數與對數指數函數的圖象與性質對數函數的圖象與性質冪函數函數與方程函數模型及其應用3基本初等函數（三角函數）、三角恒等變換三角函數的概念同角三角函數的基本關系式正弦函數、余弦函數的誘導公式正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質函數的圖象與性質兩角和（差）的正弦、余弦及正切二倍角的正弦、余弦及正切4解三角形正弦定理、余弦定理及其應用5平面向量平面向量的概念平面向量的加法、減法及數乘運算平面向量的坐標表示平面向量的數量積平面向量的平行與垂直平面向量的應用6數列數列的概念等差數列等比數列7不等式基本不等式一元二次不等式線性規劃8復數復數的概念復數的四則運算復數的幾何意義9導數及其應用導數的概念導數的幾何意義導數的運算利用導數研究函數的單調性與極值導數在實際問題中的應用10算法初步算法的含義流程圖基本算法語句11常用邏輯用語命題的四種形式充分條件、必要條件、充分必要條件簡單的邏輯聯結詞全稱量詞與存在量詞12推理與證明合情推理與演繹推理分析法與綜合法反證法13概率、統計抽樣方法總體分布的估計總體特征數的估計變量的相關性（刪除）隨機事件與概率古典概型幾何概型互斥事件及其發生的概率14空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體柱、錐、臺、球的表面積和體積15點、線、面之間的位置關系平面及其基本性質直線與平面平行、垂直的判定及性質兩平面平行、垂直的判定及性質16平面解析幾何初步直線的斜率和傾斜角直線方程直線的平行關系與垂直關系兩條直線的交點兩點間的距離、點到直線的距離圓的標準方程與一般方程直線與圓、圓與圓的位置關系空間直角坐標系（刪除）17圓錐曲線與方程中心在坐標原點的橢圓的標準方程與幾何性質中心在坐標原點的雙曲線的標準方程與幾何性質頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質2附加題部分內 容要 求abc選修系列：不含選修系列中的內容1圓錐曲線與方程曲線與方程頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質2空間向量與立體幾何空間向量的概念空間向量共線、共面的充分必要條件空間向量的加法、減法及數乘運算空間向量的坐標表示空間向量的數量積空間向量的共線與垂直直線的方向向量與平面的法向量空間向量的應用3導數及其應用簡單的復合函數的導數4推理與證明數學歸納法的原理數學歸納法的簡單應用5計數原理加法原理與乘法原理排列與組合二項式定理6概率、統計離散型隨機變量及其分布列超幾何分布條件概率及相互獨立事件次獨立重復試驗的模型及二項分布離散型隨機變量的均值與方差內容要求abc 選修系列中個專題 7幾何證明選講相似三角形的判定與性質定理射影定理圓的切線的判定與性質定理圓周角定理，弦切角定理相交弦定理、割線定理、切割線定理圓內接四邊形的判定與性質定理8矩陣與變換矩陣的概念二階矩陣與平面向量常見的平面變換矩陣的復合與矩陣的乘法二階逆矩陣二階矩陣的特征值與特征向量二階矩陣的簡單應用9.坐標系與參數方程坐標系的有關概念簡單圖形的極坐標方程極坐標方程與直角坐標方程的互化參數方程直線、圓及橢圓的參數方程參數方程與普通方程的互化參數方程的簡單應用10不等式選講不等式的基本性質含有絕對值的不等式的求解不等式的證明（比較法、綜合法、分析法）算術-幾何平均不等式與柯西不等式利用不等式求最大（?。┲颠\用數學歸納法證明不等式三、考試形式及試卷結構（一）考試形式閉卷、筆試，試題分必做題和附加題兩部分.必做題部分滿分為160分，考試時間120分鐘；附加題部分滿分為40分，考試時間30分鐘.（二）考試題型1必做題 必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成.其中填空題14小題，約占70分；解答題6小題，約占90分.2附加題 附加題部分由解答題組成，共6題.其中，必做題2小題，考查選修系列2（不含選修系列1）中的內容；選做題共4小題，依次考查選修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5這4個專題的內容，考生只須從中選2個小題作答.填空題著重考查基礎知識、基本技能和基本方法，只要求直接寫出結果，不必寫出計算和推理過程；解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（三）試題難易比例必做題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為4：4：2.附加題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為5：4：1.四、典型題示例a.必做題部分1. 設復數滿足（i是虛數單位），則的實部是_【解析】本題主要考查復數的基本概念,基本運算.本題屬容易題.【答案】12. 設集合，則實數的值為_ 【解析】本題主要考查集合的概念、運算等基礎知識.本題屬容易題.結束kk +1開始k1k25k+40n輸出k y【答案】1.3. 右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 【解析】本題主要考查算法流程圖的基礎知識，本題屬容易題.【答案】54. 函數的單調增區間是 【解析】本題主要考查對數函數的單調性，本題屬容易題.【答案】5.某棉紡廠為了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據均在區間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的根中，有_ _根棉花纖維的長度小于.【解析】本題主要考查統計中的抽樣方法與總體分布的估計.本題屬容易題.【答案】由頻率分布直方圖觀察得棉花纖維長度小于的頻率為,故頻數為.6. 現有10個數，它們能構成一個以1為首項，為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是 dabc【解析】本題主要考查等比數列的定義，古典概型.本題屬容易題.【答案】0.6.7. 如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【解析】本題主要考查四棱錐的體積，考查空間想象能力和運算能力.本題屬容易題.【答案】6.8.設為等差數列的前項和若,公差,則正整數 【解析】本題主要考查等差數列的前項和及其與通項的關系等基礎知識本題屬容易題【答案】59.設直線是曲線的一條切線，則實數的值是 .【解析】本題主要考查導數的幾何意義、切線的求法.本題屬中等題.【答案】.10函數是常數，的部分圖象如圖所示，則【解析】本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查特殊角的三角函數值本題屬中等題 【答案】.11. 已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則實數的值為 【解析】本題主要考查用坐標表示的平面向量的加、減、數乘及數量積的運算等基礎知識.本題屬中等題.【答案】.12在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是 【解析】本題主要考查圓的方程、圓與圓的位置關系、點到直線的距離等基礎知識，考查靈活運用相關知識解決問題的能力本題屬中等題【答案】13. 已知函數,則滿足不等式的的取值范圍是_ 【解析】本題主要考查函數的單調性和奇偶性,簡單不等式的解法,以及數形結合與分類討論的思想；考查靈活運用有關的基礎知識解決問題的能力. 本題屬難題.【答案】.14.滿足條件的三角形的面積的最大值是_.【解析】本題主要考查靈活運用有關的基礎知識解決問題的能力.本題屬難題.【答案】二、解答題15在中，, .（1）求值； (2)設，求的面積.【解析】本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎知識,考查運算求解能力.本題屬容易題.【參考答案】（1）由及,得故并且即得(2)由(1)得.又由正弦定理得所以因為所以因此，16如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點 不同于點），且為的中點求證：（1）平面平面； （2）直線平面 【解析】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力本題屬容易題【參考答案】證明：（1）是直三棱柱，平面，又平面，.又平面，平面,又平面，平面平面.（2），為的中點，.又平面，且平面，.又平面，平面.由（1）知，平面，.又平面平面，直線平面.17. 請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，在上是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設.（1）若廣告商要求包裝盒側面積s（cm）最大，試問應取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積v（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值?！窘馕觥勘绢}主要考查函數的概念、導數等基礎知識，考查數學建模能力、空間想象能力、數學閱讀能力及解決實際問題的能力本題屬中等題【參考答案】設包裝盒的高為,底面邊長為.由題設知(1)所以當時,取得最大值(2),由得(舍)，或.當時,遞增；當時, 遞減所以當時,取得極大值，此時由題設的實際意義可知時，取得最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為。18. 如圖，在平面直角坐標系中，過坐標原點的直線交橢圓 于兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結，并延長交橢圓于點，設直線的斜率為.（1）當時，求點到直線的距離；（2）對任意，求證：.【解析】本題主要考查橢圓的標準方程、直線方程、直線的垂直關系、點到直線的距離等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力本題屬中等題【參考答案】(1)直線的方程為,代入橢圓方程得,解得因此,于是,直線的斜率為,故直線的方程為.因此，點到直線的距離為.(2)解法一：將直線的方程代人,解得記,則,于是,從而直線的斜率為,其方程為.代入橢圓方程得,解得或.因此,于是直線的斜率,因此所以解法二：設,則且設直線pb，ab的斜率分別為因為c在直線ab上，所以從而因此所以19. (1)設是各項均不為零的項等差數列，且公差若將此數列刪去某一項后得到的數列(按原來的順序)是等比數列.(i)當時，求的數值；(ii)求的所有可能值(2)求證：存在一個各項及公差均不為零的項等差數列，任意刪去其中的項都不能使剩下的項(按原來的順序)構成等比數列【解析】本題以等差數列、等比數列為平臺，主要考查學生的探索與推理能力本題屬難題【參考答案】 首先證明一個“基本事實”一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差.事實上，設這個數列中的連續三項成等比數列，則由此得，故(1)(i)當時，由于數列的公差故由“基本事實推知，刪去的項只可能為或若刪去，則由成等比數列，得.因故由上式得即此時數列為滿足題設若刪去，則由成等比數列，得因故由上式得即此時數列為滿足題設綜上可知的值為或1 (ii)當時，則從滿足題設的數列中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，故由“基本事實”知，數列的公差必為0，這與題設矛盾所以滿足題設的數列的項數又因題設故或當時，由(i)中的討論知存在滿足題設的數列當時，若存在滿足題設的數列則由“基本事實”知，刪去的項只能是，從而成等比數列，故及分別化簡上述兩個等式，得及故矛盾因此，不存在滿足題設的項數為5的等差數列 綜上可知，只能為4我們證明：若一個等差數列的首項與公差的比值為無理數，則此等差數列滿足題設要求 證明如下：假設刪去等差數列中的項后，得到的新數列(按原來的順序)構成等比數列，設此新數列中的連續三項為于是有化簡得由知，與同時為零或同時不為零若且則有即得從而矛盾因此，與都不為零，故由式得因為均為非負整數，所以式右邊是有理數，而是一個無理數，所以式不成立這就證明了上述結果因是一個無理數因此，取首項公差則相應的等差數列是一個滿足題設要求的數列20. 已知是實數，函數 和是的導函數，若在區間i上恒成立，則稱和在區間i上單調性一致（1）設，若函數和在區間上單調性一致,求實數的取值范圍；（2）設且，若函數和在以為端點的開區間上單調性一致，求的最大值【解析】本題主要考查函數的概念、性質及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力本題屬難題【參考答案】(1)由題意知在上恒成立，因為，故，進而，即在區間上恒成立，所以因此的取值范圍是.(2)令,解得,若,由得又因為,所以函數和在上不是單調性一致的因此現設當時,；當時,因此，當時,故由題設得且,從而,于是.因此且當時等號成立,又當時,從而當時,故函數和在上單調性一致.因此的最大值為.b附加題部分1選修 幾何證明選講如圖，是圓的直徑，為圓上一點，過點作圓的切線交的延長線于點,若,求證:【解析】本題主要考查三角形與圓的一些基礎知識，如三角形的外接圓、圓的切線性質等,考查推理論證能力本題屬容易題【參考答案】連結,因為是圓的直徑，所以因為是圓的切線，所以,又因為所以于是從而即得故2選修矩陣與變換在直角坐標系中，已知的頂點坐標為，求在矩陣對應的變換下所得到的圖形的面積，這里矩陣【解析】本題主要考查矩陣的運算、矩陣與變換之間的關系等基礎知識本題屬容易題【參考答案】方法一：由題設得由可知三點在矩陣對應的變換下所得到的點分別是計算得的面積為l所以abc在矩陣對應的變換下所得到的圖形的面積為1方法二：在矩陣對應的變換下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉得到的圖形；在矩陣作用下，一個圖形變換為與之關于直線對稱的圖形因此，在矩陣對應的變換下所得到的圖形，與全等從而其面積等