面向世紀的中小學數學課程改革 面向世紀的中小學數學課程改革 隨著時代的發展，各國數學教育工作者普遍面臨著一個極為棘手的難題：一方面，以計算機為基礎的信息社會越來越依賴于數學，每個人要掌握更多的數學，才能比較好地適應日常生活；另一方面，現代數學越來越只能為少數人所掌握。我們認為，正是這一難題構成了現代數學教育發展的主要矛盾。與此同時，我國的現行數學教育體制還出現了一個令人尷尬的現象：現行中小學數學內容，不少方面學生掌握不了，而且學了沒用，但考試指揮棒迫使他們非學不可；而很多既有實用功能，又有智力價值的 內容，卻又學不到。這一現象集中反映了我國現行數學教育體制的弊端，說明當前我國的數學教育狀況嚴重滯后于社會發展，必須尋求新的教育改革思路。幾年來的研究表明，解決上述矛盾的根本出路在于，用大眾數學的思想改造傳統的數學教育理論與實踐體系。 一、課題研究的指導思想和理論基礎隨著以計算機為代表的信息社會的到來，數學越來越表現得與人類的生存質量、社會的發展水平休戚相關。義務教育要求每一位公民都應該接受適應日常生活和社會實踐所必須的最基本的數學教育。我國古代的數學和數學教育蘊含著豐富的大眾數學思想，對今天的數學教育實踐有 著很好的借鑒作用。數學教學必須建立在學生主動、積極地參與數學實踐活動的基礎上，唯如此，數學才能從學生的現實生活中產生和發展，數學才能成為人們日常生活中的自然組成部分。 “ 數學面向大眾 ” 、 “ 數學產生于學生的數學實踐 ” 這種意義上的數學教育蘊藏著巨大的人格力量，將極大地豐富學生的感情世界，增強學生的自信心和責任感。數學課程改革必須建立在對未來社會對人才素質的需求、數學的現代發展、數學教育的人文背景以及學習者的心理特點和潛在能力的全面考察的基礎上。 二、課題研究的主要內容和研究方法本課題的研究，試圖通過構思世 紀初我國數學教育的發展框架，形成大眾數學意義下的數學教育理論和實踐體系。其主要內容有：社會的未來發展對公民數學修養的需求分析；現代數學發展與數學教育改革；我國古代數學與數學教育的特點及其對今天的啟示；國際數學教育改革的比較研究；對我國現行中小學數學教學內容的分析與評價；形成大眾數學意義下的現代數學教育思想；形成大眾數學意義下的數學課程改革思路；探討如何以大眾數學思想改進我國的中小學數學教學實踐。本課題的研究方法主要有文獻分析、國內外比較專題實驗和問卷調查。在此基礎上，建立“ 理性預期模型 ” ，形成數學教育的發展 框架。理性預期模型是對考察對象在未來某一特定時間點上量或質的描述。大眾數學是我們對世紀初我國數學教育發展狀況的總體期望。 三、課題研究的基本背景分析（一）重新估價未來社會對公民數學素養的要求科學技術的迅速發展，特別是以計算機為標志的信息時代的到來，要求人們具有收集、分析和處理數據及其他資料、信息的能力；市場經濟要求人們掌握更多有用的數學，成本、利潤、投入、產出、貨款、效益、市場預測、風險評估等一系列經濟名詞將成為人們社會生活中使用最為頻繁的詞匯，與這一系列經濟活動相關的數學，如比和比例、利息與利率、運籌 與優化、統計與概率以及系統分析與決策等，理應成為數學課程中的組成部分。數學提供了一種在日常生活中簡明、快捷、通用的交流信息的手段，數學正以前所未有的方式向社會的一切領域滲透。 （二）重新認識數學數學具有了作為科學的方法論屬性。以往，人們對數學的描繪就是利用紙、筆進行運算與證明，因而很難體會到實驗、合情推理、模型模擬、矯正與調控、逐步優化與近似逼近等一系列的科學活動過程。計算機的出現，使這一切出現了根本性的改變。實驗、嘗試錯誤、模型模擬已經成為當今數學家或工程技術人員研究數學、應用數學的最為常見的策略，而 公理化體系僅僅是整理數學的一種手段。數學具有了作為科學的方法論屬性。因而，隨著計算器、計算機引入課堂，中小學生能更多地通過數學學習活動體會科學研究的基本方法：觀察、嘗試、合情推理、建立猜想與實驗驗證。這種研究方法的熏陶，將使人終生受益。 數學是關于客觀世界的模式的科學（從這個意義上講，數學也是一門技術）。這種觀點正在被越來越多的人所傳播。無論是數、關系、形狀、推理，還是概率、數據分析和抽樣，它們都是人類發展進程中對客觀世界的某些側面的數學把握的反映。基于這種觀點，中小學階段，應該讓學生通過 “ 數與計算，空 間與圖形，統計與概率，量與計量，方程與關系，運籌與優化 ” 等基本領域了解數學研究現實世界的全貌。讓學生體會到數學是從普通的人類實踐活動中發展起來的。 數學是關于客觀世界的數學化過程。數學家反省自身的研究生涯，發現一個基本數學過程的循環，它反復出現，形成了最基本的模式，即抽象、符號和應用。而這一模式與人類的基本認識規律是一致的。稱之為數學化。實質上，學生數學化的過程，就是數學現實進一步提高、抽象、發展的過程。然而，現行中 小學數學課程絕大多數內容局限于 “ 數、式及其運算 ” 和 “ 平面幾何與證明 ” ，學生們見不到數學的全貌，更無從體會數學的全過程。新的課程改革試圖在此有所突破。 （三）重新認識學生本世紀中葉以來，隨著現代認知心理學的產生與發展，國際上一些著名的心理學、教育學理論，如皮亞杰的發生認識論，布魯納的認知結構與發現法，加涅的層次學習理論，奧蘇貝爾的有意義學習理論，加里培林的活動理論，以及贊可夫的教學與發展乃至席卷原蘇聯的合作教育學等，所有這一切理論角度各異，但綜合起來，我們認為以下幾點值得強調。 學生不是一張白紙，即使是一年級的兒童，他們也有著豐富的生活體驗和知識積累。這其 中就包含著大量的數學活動經驗，特別是運用數學解決問題的策略。 每個學生都有自己的生活背景、家庭環境，這種特定的社會文化氛圍，導致不同的學生有不同的思維方式和解決問題的策略。 學生的學習不是一個被動吸取知識、記憶、反復練習、強化儲存的過程。一個有意義的學習過程是學生以一種積極的心態，調動原有的知識和經驗嘗試解決新問題，同化新知識，并構建他們自己的意義。 所有的新知識只有通過學生自身的 “ 再創造 ” 活動，使其納入自己的認知結構中，才可能成為有效的知識。對于每一個學習主體，沒有活動、沒有做就形不成學習。 從現實中學數學、做數學。這里的現實是相對于兒童所言。布魯納有一句名言，任何一個知識都能夠以一種合適的方式教給任何一個年齡的學生。我們認為，任何一個知識如果能夠以與學生的年齡特征、生活經驗相適應的方式（即以對兒童來說是現實的方式）出現，就能被學生所感知，為學生所接受。 讓學生體驗做數學的成功樂趣，樹立學好數學的自信心。 （四）重新估價我國的數學教育現狀新中國建立多年來，我國中小學數學教育事業有了長足發展。然而，我們不能因此而輕視危機所在。 數學課程目標偏離社會發展的需求軌道。這主要表現在，長期 以來我國中小學數學課程一直在前蘇聯 “ 學科中心主義 ” 課程模式的籠罩下，固守著他們早已改變了的傳統的數學知識體系，學生在校學習的僅僅是、世紀以前的數學。隨機事件、抽樣、數據統計與處理、規劃與運籌、決策分析、優化思想以及數學建模等一系列現代社會所必需的公民數學修養內容在數學課堂上幾乎無處尋覓。同時，迄今為止我國小學、初中數學教學大綱中，仍然以計算（運算）能力、邏輯推理能力及空間觀念為核心。事實上，信息社會的到來，對公民計算能力的要求已大大降低；邏輯推理能力則因局限于以平面幾何為載體的三段論訓練模式為重點， 而陷于困境； “ 空間觀念 ” 一詞雖然提得很好，但小學、初中的數學課本中，除了幾個簡單幾何體的體積、表面積計算外，幾乎沒有任何別的三維空間的內容。而現代社會所必需的與數學的現代發展趨勢一致的數學建模能力以及估算意識、應用意識、創造意識都被拒之于教科書之外。 數學課程內容存在著嚴重的缺陷。這主要表現在：知識面狹窄；部分知識單元的教學要求偏高，耗時過多；不少內容陳舊、過時；忽視數學的實際應用；課程缺乏彈性。 （五）把握國際數學教育發展的方向年代末年代初，世界發達國家紛紛開始對本世紀以來各自數學教育發展歷程 作全面的考察，出臺了一系列數學教育發展綱要和數學課程改革藍圖。為此，我們對美國、英國、法國、德國、瑞典、日本和前蘇聯七國的有關資料進行了較為詳盡的分析。 關于中小學數學課程目標。（）重視問題解決是各國課程標準的一個顯著特點。（）增加具有廣泛應用性的數學內容，從學生的現實中發展數學，增強實踐環節是各國課程標準的共同特點。（）數學提供了一種有力的、簡潔的和準確的交流信息的手段，因此，強調數學交流是各國課程發展的新趨勢。（）強調數學對發展人的一般能力的價值，淡化純數學意義上的能力結構。（）大多數國家 傾向于，通過解決實際問題使學生在掌握所要求的數學內容的同時，形成那些對人的素質有促進作用的基本的思想方法，如實驗、猜測、模型化、合情推理、系統分析等。（）培養學生的自信心是數學教育的重要目標之一。 關于數學教學內容。（）拓寬知識面，使學生盡早體會數學的全貌。（）注重現代數學思想方法的滲透。（）重視在應用數學解決問題的過程中，使學生學習數學、理解數學。 （）加強幾何直觀，特別是三維空間圖形的認識，降低傳統歐氏幾何的地位，特別是歐氏幾何對演繹推理的作用，用現代數學思想處理幾何問題。（）較早引入計 算器、計算機，發揮現代技術手段在探索數學、解決問題中的作用。我們認為，社會的進步、數學的發展、國際數學教育的發展態勢，以及學習心理學的研究成果和義務教育的基本精神，所有這一切都在孕育著一個嶄新的數學教育新時代 大眾數學時代。 實際上，在我國大眾數學思想有著良好的生長土壤。首先，中國古代數學和數學教育具有很強的大眾性。以九章算術為杰出代表的中國傳統數學與以幾何原本為代表的古希臘數學迥然不同，它們分別代表了中西方古代數學文明的杰出成果，如果說幾何原本是一種 “ 貴族 ” 數學的話，那么九章算術無論從思 想方法，還是成果以及成果的表達形式 和成果利用上都帶有濃厚的大眾色彩。可以說，我國古代數學以解決實際問題為最終目標，一切從實際問題出發，形成算法，寓理于算，并進一步應用于解決各種實際問題；同時，數學的內容、思想和方法的發展不受主觀意志的限制，注重實際效果，并且在內容的表達形式上以歸納體系為主等。其次，新中國數學教育發展進程已經表現出向大眾數學演化的漸變態勢。新中國成立后，數學教育經歷了曲折的發展歷程，進入年代后，通過總結國際、國內正反兩方面的經驗教訓，對數學教育不斷調整，以適應義務教育下的新形勢。盡管現行的數學教育體系與大眾數學相距甚遠， 但年的發展已表現出一種向大眾數學演化的漸變態勢。特別引人注目的是，年在全國試行的義務教育初中數學教學大綱，第一次在“ 教學目的 ” 部分明確 “ 解決實際問題主要是指解決帶有實際意義的和相關學科中的數學問題，以及日常生活和生產中的實際問題；在解決實際問題過程中，使學生受到把實際問題抽象為數學問題的訓練，逐步培養他們分析問題和解決問題的能力，形成用數學的意識。 ”這一重大變化，對我們深入研究大眾數學無疑是極大的鼓舞。 四、大眾數學的基本目標及其實現策略大眾數學意義下的數學教育體系所追求的教育目標，就是讓每 個人都能夠掌握有用的數學，其基本含義包括以下三個方面。 （一）人人學有用的數學。沒有用的數學，即使人人能夠接受也不應進入課堂。學生在義務教育階段要學習的東西很多，我們不可能讓學生在這樣寶貴的時間內僅僅學習從屬于哪一種價值（或需要）的知識，而必須設計出具有雙重價值乃至多重價值的數學課程。其實，即使象“ 測量 ” 這類純 “ 實用數學 ” 的知識，從量化的數學根本觀點來精心設計也同樣可以對發展學生的一般能力、數學修養和科學精神起積極作用。可惜，這種數學的精髓在 “ 純數學 ” 中被拋棄了。我們認為，所謂有用的數學有顯性和隱性之分。顯 性的數學包括重要的數學事實，基本的數學概念和必要的處理數學以解決問題的技能。隱性的數學則集中反映為具有數學元認知作用的各種思想意識（我們認為，義務教育階段主要包括數的意識、圖形直觀與空間觀念、概率統計思想、函數與方程思想、優化思想、模型化方法、推理意識、計算機意識以及應用意識等）；具有智能價值的數學思維能力（如主要用于分析問題的模型化能力、主要用于解決問題的應用能力，以及一般智力意義上的推理能力），以及具有人格建構作用的各種數學品質。 （二）人人掌握數學。在大眾數學意義下，實現人人掌握數學的首要策略正是課程 改革策略 讓學生從現實生活中發展數學，刪除那些與社會需要相脫節、與數學發展相背離、與實現有效的智力活動相沖突的，而恰恰是導致大批數學差生的內容，如枯燥的四則混合運算、繁難的算術應用題、復雜的多項式恒等變形以及純公理體系的幾何；同時，在突出思想方法，緊密聯系生活的原則下增加估算、統計、抽樣、數據分析、線性規劃、圖論、運籌以及空間與圖形等知識，使學生在全面認識數學的同時，增強學好數學的自信心。 （三）不同的人學習不同的數學。大眾數學要求數學課程面向每一個人，因此，新體系下的數學課程將在使所有學生獲得共同的數學 教育的同時，讓更多的學生有機會接觸、了解乃至鉆研自己所感興趣的數學問題，最大限度地滿足每一個學生的數學需要。從這個意義上講，大眾數學與精英數學并不對立。恰恰相反，大眾數學意義下的數學課程提供了更為廣泛的現代數學分支的原始生長點，它為對數學有特殊才能和愛好的學生提供了更多的發展機會。 五、數學課程改革的基本思路數學課程的改革問題，大致可以歸結為以下兩個觀點。首先，數學課程改革應與義務教育的精神相一致，使每一個人接受必要的數學教育。然而，我國的現狀是，在全國范圍內，初中同齡人的數學合格率只占。要使合格率從 提高到幾乎，靠簡單的降低難度，提高教師的水平等外部措施，則顯得力不從心。其次，在我國的現實背景下提出大眾數學，并深入研究大眾數學，以至我們正在編寫教材，試圖使大眾數學成為現實，其首要動機并不是因為有多少人學不好數學，而是因為我們提供給學生學習的許多內容不是未來社會所必須的，既不體現數學的發展方向，也不為學生所喜愛；與此同時，很多既有實用功能，又有智力價值，既能反映現代數學的全貌，又能從學生的現實背景中發展并為學生所掌握的內容，學生卻沒有機會接觸到。這就是說，即使現行數學課程人人都能掌握，數學課 程也必須改革，使之與未來社會的需求相一致。基于以上考慮，我們認為，大眾數學意義下的數學課程改革不能僅僅局限于對現行教學大綱的增加或刪減，而需要尋求新的思路 從哲學意義上講，人的素質中最為核心的是他的世界觀和方法論。從數學哲學上講，數學科學中最富有生命力、最具有統攝力的是數學觀和數學方法論，即數學思想方法。從數學教育哲學上講，決定一個學生數學修養的高低，最為重要的標志是看他如何看待數學，如何理解數學，以及能否運用數學的思想方法去觀察、分析日常生活現象，去解決日常生活中的問題。事實上，不同的人具有不同的數學觀 。不同的數學觀，會導致不同的學習或工作行為。如果一個學生產生了數學艱深難懂、枯燥無味、高不可攀的思想，必然會導致他回避數學課、回避數學教師、不接觸數學讀物的自閉行為。如果一個數學教師認為數學就是公式、法則、記憶、練習，那么他的課堂教學行為必然是滿堂灌、注入式。所以，我們提出數學課程改革的基本思路： 以反映未來社會對公民所必須的數學思想方法為主線選擇和安排教學內容； 以與學生年齡特征相適應的大眾化、生活化的方式呈現數學內容； 使學生在活動中，在現實生活中學習數學，發展數學。 六、對大眾數學意義下數 學思想方法的理解在大眾數學意義下，義務教育階段應以下面所論述的數學思想方法為主線，來逐一審視我國現行中小學數學內容，并以此為標準來構成數學新課程的框架。 （一）數意識。使學生養成主動地從數量上觀察、分析客觀事物的習慣，并體會 數的產生與發展來源于人類對客觀事物的數學把握；數的構成及其運算規律是生活實踐的總結；數學符號是表示、交流和傳遞信息的最有效手段；數量關系是刻畫自然界以及人類社會現象、預測事物發展規律的重要工具；估算在日常生活中，特別是在計算機出現之后愈顯其重要性。 （二）圖形直觀與空間觀念。人類生活 在三維空間，理應通過拼補、折疊、描繪、測量、計算、比較與分析，認識和理解現實幾何世界；直觀幾何、變換幾何、推理幾何、向量幾何以及解析幾何、拓撲和分形幾何是人類對幾何世界的不同角度的數學把握；代數化是研究幾何問題的必然趨勢；而圖形直觀以及圖形分析是人們理解奇妙的自然現象和社會的絕妙工具，圖形給人類帶來無窮無盡的直覺源泉，圖形設計是人類社會賴以生存和發展的根基，沒有圖形人類就無所謂美。 （三）概率統計思想。在我國，隨著市場經濟體制的逐步建立，投資、貸款、股票、證券、市場預測、風險評估等日常經濟行為的實現，其科學 性如何有賴于社會成員對不確定性、隨機性及可能性等概率統計思想的理解和運用水平。應當對中小學生進行概率統計思想的熏陶，使他們了解條件是可變的，結論非唯一的，結論不是絕對可靠的，事物的多樣性是普遍的，而必然性、絕對性則是相對的、有條件的。只有這樣，才能有助于他們理解社會、適應生活。同時，通過概率、統計的學習，還應該使他們形成尊重事實、用數據說話的習慣，了解必然性寓于偶然性之中的道理，體會或然性的推理在研究復雜事物中的作用。 （四）優化思想。在我們的周圍，優化問題幾乎隨處可見。例如，如何使有限的材料得到最充分的應 用；如何在商品銷售中，調整商品價格，薄利多銷，獲得最多利潤；如何在體能訓練中調整訓練強度和練習節奏，達到事半功倍的效果，把這些問題抽象成為一個理論問題，即是如何使系統在給定的條件下，達到最理想的效果。 （五）函數與方程思想。函數與方程思想在數學內部與外部均顯得十分重要，它貫穿于數學理論和實際問題解決的每一場合。函數和方程是有效地表示、處理、交流和傳遞信息的強有力工具，是探討事物發展規律、預測事物發展方向的重要手段。 （六）模型化方法。通常人們認為，建立和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的 過程。實際上，建立模型也是從實際情景中發展數學、 “ 再創造 ” 數學的絕好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，學生更加體會到數學與大自然的天然聯系。為此，大眾數學意義下的數學課程將積極探索 “ 問題情景 建立模型 解釋與應用 ” 的課程發展模型。前文已經論及，函數和方程是反映客觀事物數量變化規律的一種模型。實際上，數、式、方程、函數、圖形、統計以及規劃和組合分析都是數學反映客觀世界的模型。 （七）推理意識。所謂推理意識是指推理與講理的自覺意識，即遇到問題時自覺推測，并做到落筆有據，言之有理。推理意識包括歸納推理、類比推理和演繹推理的自覺意識。在大眾數學意義下，推理訓練不僅僅存在于歐氏幾何，其更為廣泛、