由一道不等式的證明題引起的思考 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 在高三教學中，如何做到高效復習是每一位教師時時探討的話題 .其中精選精練典型例題是有效教學的重要環節之一 .每一道典型的數學例題，無論從方法上還是內容上都起著 “ 固體拓新，嫁接成林 ” 的功效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創新能力得到發展 .在高三復習中，老師可以選擇一些典型習題讓學生開展一題多解，一題多變等方面的變式探究，以達到復習知識、鞏固方法、培養能力的目 的 在復習不等式的證明時，我選出了下面一道習題 題目設 p0,q0，且 p3+q3=2，求證： p+q2. 此題有哪些證法？學生很快用綜合法、分析法得出了答案 . 法 1（綜合法） 由 p3+q2=2 得 (p+q) (p+q)2-3pq =2. 因為 p0,q0,所以 p+q2pq0, 所以 pq(p+q)24. 所以 (p+q) (p+q)2-34(p+q)2 2, 即 (p+q)38. 不等式得證 . 法 2（分析法） 要證明 p+q2, 由于 p0,q0，只需證明 (p+q)38. 即證明 p3+q3+3(p2q+pq2)8. 由于 p3+q3=2，只需證明 p2q+pq22=p3+q3. 即證明 (p-q)2(p+q)0 ，最后不等式顯然成立，不等式得證 以上二種方法都是不等式的常用證法 由于比較法也是常用方法，此題能否用比較法證明呢？經過分析條件與結論的差距，有部分學生嘗試成功 法 3（作差比較） (p+q)3-23=p3+q3+3pq(p+q)-8=3 pq(p+q)-2 =3 pq(p+q)-(p3+q3) =-3(p+q)(p-q)20 ，即證： （ p-q)2(p+q)0. 如果教學就此止步，那就錯過了培養學生探究能力、創新意識的絕好機會，此題的教育功能就會大打折扣不等式的證明還有其他方法嗎？能不能用它們證明這個不等式呢？一石激起千層浪，學生陷入了沉思摸索之中，下面是學生在老師的引導下，經過艱辛的探索得出的結果： （一）換元法： 法 4（均值換元） 設 p3=1+t,q3=1-t，則 -10， 令 p=mcos2,q=msin2 ，代入 p3+q3=2 得 m3=2cos6+sin6 =2(cos2+sin2)(cos4+sin4 -cos2sin2) (cos2+sin2)2 -3cos2sin2 = 21-34sin22 21 -34=8. 所以 m2, 即 p+q2. （二）反證法 法 6 假設 p+q2,則 (p+q)38,p3+q3+3pq(p+q)8.反復使用 p3+q3=2，則2+3pq(p+q)8pq(p+q)2pq(p+q)p3+q3pq(p+q)(p+q)(p2+q2-pq)=pqp2+q2-pq0(p-q)2.這不可能，故 p+q2. （三）構造法 法 7（構造函數） 不妨設 pq. 由 p3+q3=2 知 q=32-p3，則 p+q=p+32-p3,0p1. 引進輔助函數 f(x)=x+32-x3(00,f(x) 在 (0,1上單調遞增， 則 f(x)f(1)=2, 即 p+q2. 法 8（構造方程） 設 p、 q 是方程 x2-mx+n=0 的兩根，則 p+q=m,pq=n.由p3+q3=(p+q) (p+q)2-3pq得 m(m2-3n)=2,所以 n=m3-23m. 由 =m2 -4n=m2-4m3-83m0, 解得 m2 即 p+q2. 法 9 （構造均值不等式） 結論中等號成立的條件是 p=q=1. 由 p0,q0 得 ： p3+1+133p3=3p ， q3+1+133q3=3q. 兩式相加得： p3+q3+43p+3q, 即 p+q2. 法 10（構造數列） 由 p3+q3=2 得 p3,1,q3 成等差數列，不妨設 pq ，公差 d=1-p3=q3-10 ,1-p=1-p31+p+p2=q3-11+p+p2q3 -11+q+q2=q-1，即p+q2. 法 11（構造向量） 令 a=(p,q),b=(p3,q3) .因為 |a|b|a b|,所以 p2+q2p+q p3+q3=2p+q, 再令 m=(p,q),n=(1,1),由 |m|n|m n| 得 p+qp2+q222p+q2. 所以 (p+q)48(p+q), 即 p+q2. 法 12（構造立方體） 構造 4 個棱長為 p 和 4 個棱長為 q 的立方體不妨設 ，將這 8 個立方體按下圖拼接成棱長為 p+q 的立方體，拼接過程中，將多余部分（圖中陰影）挖去，顯然有4p3+4q3(p+q)3 即 p+q2. 法 13（構造曲線） 在直角坐標系中作出直線 x+y=2、圓 x2+y2=2，并借助幾何畫板或圖形計算器作出三次曲線 x3+y3=2 令 A=(x,y)|x+y2,x0,y0 ， B=(x,y)|x2+y22,x0,y0 ， C=(x,y)|x3+y3=2,x0,y0. 如圖 2， CBA,則 p3+q3=2p2+q22 p+q2. 法 14（構造分布列） 由于 p3+q3=2，設離散型隨機變量 的分布列為： 1p1q Pp32 q32 E=p 2+q22， E2=p+q2 ，由 D=E2 -(E)2)0 得 E2(E)2,p+q2(p2+q22)2(p+q4)4 ， 所以 (p+q)38 ，即 p+q2. 在探索解法過程中，你有哪些啟示，你還有那些不同的解法？你還能變換條件或結論得出其它問題嗎？你能類比或聯想得一些不等式嗎？你能證明或否定它們嗎？ 下面是學生們所得的一些變式題 . 變式 1：（改變結論）若 a,bR+,a3+b3=2, 則 ab1. 變式 2：（改變條件）若 a0,b0,a2+b2=2,則 a+b2. 變式 3：（弱化條件）若 p,qR 且 p3+q3=2，則p+q2 變式 4：（推廣）若 an+bn=2,a,bR,n2,nN ，則a+b2,ab1. 變式 5：（引申）若 a3+b3+c3=3,a,b,cR+ ，則a+b+c3,ab+bc+ca3,abc1. 變式 6：（條件、結論互換）若 a,bR+,a+b=2, 則a3+b33. 變式 7：（再引申）若 a,b,cR+,a+b+c=3, 則a3+b3+c33. 變 式 8：（再推廣）若 an+bn+cn=3,a,b,cR+ ，n2,nN ，則 a+b+c3,ab+bc+ca3,abc1. 波利亞說 “ 好問題同某種蘑菇有類似的結論，大都成堆的生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個 ” 本案例通過一題多解，一題多變的探究，既復習了不等式的證明方法，又加強不同章節知識間的聯系，優化了學生數學的思維結構，享受到了成功的快樂 一輪復習中，學生做中檔的題目應當是最有效的，這樣的題目符合學生的最近發展區 .但是學生解這樣的題也是經常出現一些慣性 錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應注意的事項等許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成了接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的對于這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，首先要讓學生暴露自己的錯誤，不能由老師說這是經常出現的錯誤，要讓學生通過觀察、分析、驗證、討論、交流，老師適當引導，使學生真正看清 楚錯誤的地方，真正弄清錯誤的原因，是題目條件結論看漏還是看錯？是題意不懂還是想錯？是概念定理、公式不熟還是理解出了偏差？是方法選擇不當還是邏輯不嚴密？是思維定式的影響還是考慮問題不周密？是計算問題還是規范問題？真正弄清為