本題得分一、 選擇題（本題共5小題,每小題3分，共15分)(從下列備選答案中選擇正確答案)1、下列子集對通常復數的乘法不構成群的是（ ）。(A) 1，1，i ,i (B) 1，1 (C) 1，1，i2、設H是群的子群，a，b，則aH = bH的充要條件是（ ）。(A) a1b1H(B) a1bH(C) ab1H3、在模6的剩余類環Z6 中，Z6 的極大理想是( )。(A) （），（） (B) （） (C)（）4、若Q是有理數域,則(Q():Q)是( )。(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命題是( )。(A) 歐氏環是主理想環 (B) 整環是唯一分解環 (C) 主理想環是唯一分解環 本題得分二、填空題（本題共5空，每空3分，共15分）（請將正確答案填入空格內）1、R為整環，a，bR ，b|a，則（b） （a）。2、F 是域，則是域當且僅當 。3、域F上的所有n階方陣的集合M(F)中，規定等價關系AB秩(A)=秩(B)，則這個等價關系決定的等價類有_個。4、6次對稱群S中,(1235)(36)=_。5、12的剩余類環Z12的可逆元是 。本題得分三、判斷題（本題共5小題,每小題2分，共10分）（請在你認為正確的題后括號內打“”，錯誤的打“”）1、設是群，H，若對任意a,bH可推出abH，則HG. （ ）2、群中的元，,則。 ( ) 3、商環是一個域。 （ ）4、設f 是群G到群的同態映射，若， 則。 （ ） 5、任意群都同構于一個變換群。 （ ） 本題得分四、計算題（本題共2小題,每小題10分，共20分）（要求寫出主要計算步驟及結果）1、找出的全部理想，并指出哪些是極大理想。對極大理想,寫出的全部元。2、確定3次對稱群S3的所有子群及所有正規子群。本題得分五、證明題（本題共4小題,每小題10分，共40分）1、 設f是群G到群的滿同態，N是G的正規子群，證明：。2、設N G, G:N=2008, 證明：對, 恒有。3、設R為交換環，若R的理想PR,則RP是整環當且僅當P是素理想。4、設Rx是實數域R上的一元多項式環，取，證明：，C為復數域。近世代數測試題（一）一、 選擇題（本題共5小題,每小題3分，共15分)(從下列備選答案中選擇正確答案)1、設GZ，對G規定運算o，下列規定中只有（ ）構成群。(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”為數的乘法）2、設HG，a，bG，則Ha = Hb的充要條件是（ ）.(A) abH(B) ab1H (C) a1bH3、在整數環Z中，包含（15）的極大理想是（ ）。(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）4、若Q是有理數域,則(Q():Q)是( )(A) 6 (B) 3 (C) 25、下面不成立的命題是（ ）(A) 域是整環(B) 除環是域(C) 整數環是整環二、填空題（本題共5空，每空3分，共15分）（請將正確答案填入空格內）1、環Z(i)=a+bi|a,bZ的單位是_。2、若a是群G中的一個8階元,則a的階為_ 。3、設M100 (F)是數域F上的所有100階方陣的集合,在M100 (F)中規定等價關系下：AB 秩(A)=秩(B)，則這個等價關系所決定的等價類共有_個。4、6次對稱群S中,(1245)(46)=_。5、12的剩余類環Z12的零因子是 。三、判斷題（本題共5小題,每小題2分，共10分）（請在你認為正確的題后括號內打“”，錯誤的打“”）1、若HN，HG,那么NHG。 （ ）2、設I是一主理想環，則I是一歐氏環。 （ ）3、商環是一個域。 （ ）4、設f 是群G到群的同態映射，HG，則 f (H) 。 （ ）5、素數階的群G一定是循環群。 （ ）四、計算題（本題共2小題,每小題10分，共20分）（要求寫出主要計算步驟及結果）1、在10次對稱群S10中，=.將表成一些不相交輪換之積，并求及。2、在整數環Z中，試求出所有包含30的極大理想。五、證明題（本題共4小題,每小題10分，共40分）1、設f是環R到環的滿同態，A為R的理想，證明：。2、設