2019/7/18,阜師院數科院,第二篇 數學物理方程,第七章 數學物理方程的定解問題,7.1 數學物理方程的導出,一、基本思路,1.目標：建立描述物理過程的微分方程。,2.操作：物理過程由物理量的變化描述選取物理量， 物理量的微分表示它的變化； 物理過程服從物理規則（牛頓定律，庫倫定律等） 建立微分方程。,二、幾種基本的方程,1.均勻弦的微小橫振動,變化,A.弦的橫振動,2019/7/18,阜師院數科院,B.無窮小的一段弦 B,C.受力分析和運動方程,弦的原長,現長,弦長的變化產生回到原位置的張力,沿x-方向，這一段弦不出現平移,弦長 ，質量密度 ，B段的質量為 。,沿垂直于x-軸方向,小振動：,2019/7/18,阜師院數科院,波動方程。,波速,D.受迫振動,在上式推導過程中，出現的力是弦內的張力，外力為零。 在受到與弦垂直方向的周期力的作用時，弦運動為受迫振動。,設單位長度上弦受力 ，則 dx 受力為 。,最后得受迫振動方程,2019/7/18,阜師院數科院,2.均勻桿的縱振動,A.桿的彈性力學基本力學方程：胡克定律,Y：楊氏模量， 單位面積上的應力。,B.運動方程,桿中選 L=dx 長一段,時刻t，x 一端位移 u， x+dx 一端位移 u+du。,桿的伸長,當取更長的dx，兩端的相對伸長和 應力將不同，桿受力,又，牛頓定律：,即,為波速,2019/7/18,阜師院數科院,補充,連續性方程,連續分布的某種物理量，如介質：建立座標,密度：單位容積中物理量的多少,流強度：單位時間通過單位面積 的該物理量（v 為流速）,單位時間沿 x- 方向凈流入量,單位時間凈流入量等于由密度增加的量,二者相等得連續性方程,表示物質的總量守恒,2019/7/18,阜師院數科院,3.流體力學與聲學方程,A.連續介質性質：,當振動在液體和氣體中傳播時，液體和氣體就成為傳播振動 的連續介質。在其中取一個小的立方體，可以定義介質在此 的密度 ，速度 v 和壓強 P。 振動引起密度的疏密變化。,例如，在靜止的介質中，介質的速度為零，并且有壓強 和密度 。 當振動出現時，介質中各處有介質的振動速度 v ，振動的傳播速度聲速； 顯然， v聲速，并且設密度的相對變化 s 為,B.拉普拉斯假定,歐拉方程（流體動力學方程）,連續性方程,物態方程,聲傳播為絕熱過程：,過程方程,阜師院數科院,C.方程,s,v 小量,f=0,2019/7/18,阜師院數科院,4. 真空電磁波方程,電磁學的麥克斯韋方程（微分形式）,真空時：,2019/7/18,阜師院數科院,5. 擴散方程,A. 擴散現象,系統的濃度 u(x) 不均勻時，將出現物質從高濃度處到低濃度處的轉移，叫擴散。,B.菲克定律,濃度梯度：,擴散流強度：單位時間通過單位面積的物質的量,C. 擴散方程,D 均勻,三維,連續性方程,帶入菲克定律,2019/7/18,阜師院數科院,6.熱傳導方程,熱傳導: 熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉移。,熱力學問題。,熱力學第一定律：,熱力學過程交換的熱量,熱力學過程外界對系統做的功,系統的內能,熱傳導過程 dW=0，,系統傳導的熱量就是內能的改變。,能量守恒，滿足連續性方程,系統的溫度,熱流強度 ：單位時間通過單位面積的熱量。,傅立葉定律：,熱傳導系數,2019/7/18,阜師院數科院,建立熱傳導與擴散間的對比,濃度溫度,擴散流強度熱流強度,斐克定律傅立葉定律,連續性方程熱傳導方程,一維：,三維,它們形式完全相同，通稱為擴散方程。,2019/7/18,阜師院數科院,7.穩定分布,擴散方程,的解一般含時,不含時的解滿足方程,此為拉普拉斯方程。即穩定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足 拉普拉斯方程。,2019/7/18,阜師院數科院,8.真空靜電場,高斯定理,真空還有,又,最后：,9.薛定諤方程,擴散類方程,2019/7/18,阜師院數科院,7.2 定解條件,一、常微分方程定解問題回顧,對于某個未知函數，它的微分方程是它的導數滿足的代數方程。解這個代數 方程，得導數。由積分，從導數得出原函數。常微分方程求解就是積分。,積分過程會出現積分常數。常微分方程定解問題就是確定積分常數。,通常通過未知函數在自變量的一個特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分 常數。從而定解。,二、數學物理方程的定解問題,積分一次，出現一個積分常數；求解二階常微分方程出現兩個積分常數。,1. 初始條件,類似于常微分方程定解過程的初值。,偏微分方程，對每個自變量的每次積分都出現一個積分常數。復雜！,t0: 初始條件。,x,y,z0，l : 邊界條件,自變量特定值：,初始“位移”,初始“速度”,T的一次方程，只需要初始位移 T的二次方程還需要初始速度。,2019/7/18,阜師院數科院,注： 和 是空間座標的函數，在系統的任何位置都是確定的！,例如,t=0:,2.邊界條件,以一維情況為例,特定的時間， 變化的空間。,特定的空間， 變化的時間。,邊界劃分系統和外界。系統和外界之間的不同的關系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數與函數的導數兩項。不同的邊界條件決定了這兩項的不同的組合，故可能出現幾類邊界條件。,A.第一類邊界條件,只與函數在空間特定位置的值有關，與其導數無關。,如：a.兩端固定的弦振動,和,如上圖,2019/7/18,阜師院數科院,b.細桿熱傳導,或隨時間變化的 溫度,恒溫,c.擴散,恒定濃度，或隨時間變化的濃度。,B.第二類邊界條件,第一類邊界條件的基本形式：,速度確定。,a.細桿的縱振動。當端點“自由”，即無應力。根據胡克定律，桿的相對伸長也為零：,b.細桿熱傳導。端點絕熱，熱流強度為零：由傅立葉定律：,2019/7/18,阜師院數科院,C.第三類邊界條件,位移和速度的組合,a.細桿熱傳導。端點“自由”冷卻。,牛頓冷卻定律：,T 為環境溫度。,根據傅立葉定律，在x=l 處：,負x方向,正x方向,在x=0 處,2019/7/18,阜師院數科院,b.細桿縱振動。端點與固定點彈性連接。應力為彈性力,胡克定律：,彈性力：,則在端點,一般表達式：,這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據具體情況制定之。,3.銜接條件,系統中可能出現物理性質急劇變化的點躍變點。如兩節具有不同的楊氏模量的 細桿在 x=0 處連接，這一點就是躍變點。躍變點