第六節(jié) 空間直線及其方程,一、空間直線方程,二、線面間的位置關(guān)系,第七章,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的對稱式方程 與參數(shù)方程,直線的對稱式方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)式方程,例1,求經(jīng)過,兩點的直線方程。,解,因為直線過,兩點,因此可取,作為直線的方向向量,由點向式即得所求直線的方程為,直線的兩點式方程,例2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解一,用點向式,在直線上任取一點,取,解得,點坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,參數(shù)方程,解得,點坐標(biāo),所求直線方程為,參數(shù)方程,解二,用兩點式,已求出一點,再求出一點,兩式相加得,代入方程組得,即,對稱式方程,解三,由,解,所以交點為,所求直線方程,由以上幾例可見，求直線方程的思路、步驟：,兩定定點、定向,例4,求過點A ( 1 , 2 ,2 ) ,且通過直線 L,的平面方程。,解,設(shè)所求平面的法向量為,由題設(shè)知點,為直線L上一點,其方向向量,由于所求平面通過點A及L,由點法式得所求平面方程為,即,解,所給直線的參數(shù)方程為,代入平面方程，得,解得,所求交點的坐標(biāo)為,即交點為,例5,求直線,與平面,的交點。,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,兩直線的位置關(guān)系：,/,直線,直線,例如，,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點N,令,代入平面方程得 ,交點,取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,例 求過點 M0(3, 3, 0) 且與直線,l1:,垂直相交的直線 l 的方程.,解：,M0,M1,l1,設(shè)所求直線 l 與 l1 的交點為M1(x1, y1, z1).,則,令, t + t + 22t 6 = 0.,t =1,得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).,故直線方程為,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,四、直線與平面的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,解,為所求夾角,五、平面束,設(shè)有直線,考慮,其中,因,不成比例,故,不全為 0,從而,表示一個平面,若一點,在,上，,滿足 和 的方程,則點,的坐標(biāo)必同時,則點,的坐標(biāo)也滿足,因而,表示過 的平面,對于 的不同值,表示過 的所有平面,過 的平面束,一般在具體應(yīng)用時，常取,而考慮缺 或 的平面束,例9,求直線,在平面,上的投影直線的方程,分析,過所給直線作一平面與已知平面垂直， 兩平面的交線即為所求。,解,過所給直線的平面束方程為,即,這平面與已知平面垂直的條件是,所求平面方程為,這就是過已知直線且垂直于平面,的平面的方程,它與已知平面 的交線：,即為所求的投影直線的方程。,空間直線的一般方程.,空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.,兩直線