24.2.2(3)直線與圓的位置關系(三) 切線長定理,50,1、如何過O外一點P畫出O的切線？,2、這樣的切線能畫出幾條？,如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是O的切線。,3、如果P=50,求AOB的度數,130,畫一畫,O,。,A,B,P,課外補充,思考：已畫出切線PA、PB，A、B為切點，則OAP= ,連接OP，可知A、B 除了在O上，還在怎樣的圓上?,90,如何用圓規和直尺作出這兩條切線呢？,尺規作圖：過O外一點作O的切線,O,P,A,B,O,請跟我做,在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長,O,P,A,B,切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區別與聯系呢？,切線長概念,切線和切線長是兩個不同的概念： 1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量； 2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。,切線和切線長,比一比,O,A,B,P,1,2,折一折,請證明你所發現的結論。,PA = PB,OPA=OPB,證明：PA，PB與O相切，點A，B是切點 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,試用文字語言敘述你所發現的結論,證一證,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。,幾何語言:,反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法,切線長定理,A,P,O,B,若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.,OP垂直平分AB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分AB,試一試,A,P,O,。,B,若延長PO交O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.,CA=CB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,。,P,B,A,O,（3）連結圓心和圓外一點,（2）連結兩切點,（1）分別連結圓心和切點,反思：在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形。,想一想,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，則APB=,P,A,B,C,O,60,（4）OP交O于M，則 ， ,M,牛刀小試,（3）若P=70，則AOB= ,110,（1）若PA=4、PM=2，求圓O的半徑OA,OA=3,已知：如圖,PA、PB是O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12CM，求PEF的周長。,易證EQ=EA, FQ=FB,PA=PB, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周長為24cm,牛刀再試,探究：PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于O于點D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）寫出圖中所有的垂直關系,OAPA，OB PB ABOP,（3）寫出圖中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）寫出圖中所有的等腰三角形,ABP AOB,（2）寫出圖中與OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,例1、已知：P為O外一點，PA、PB為O的切線，A、B為切點，BC是直徑。 求證：ACOP,P,A,C,B,D,O,例題講解,例1、已知：P為O外一點，PA、PB為O的切線，A、B為切點，BC是直徑。 求證：ACOP,P,A,C,B,O,例題講解,練習1.（口答）如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周長 (2) 如果P=46,求COD的度數,C, O,P,B,D,A,E,例3 、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、 DA和圓O分別相切于點L、M、N、P， 求證： AD+BC=AB+CD,證明：由切線長定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等,例4.如圖，ABC中,C =90 ,它的內切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=12,AD=8， 求O的半徑r.,練習2.如圖，AB是O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點， (1)求證：OD OC (2)若BC=9，AD=4，求OB的長.,O,A,B,C,D,E,選做題：如圖，AB是O的直徑， AD、DC、BC是切線，點A、E、B 為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.,1.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。,PA、PB分別切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據。必須掌握并能靈活應用。,2.我們學過的切線，常有 性質： 1、切線和圓只有一個公共點； 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑； 3、