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文檔簡介

平面向量的數量積,一、引入：,一個物體在力F 的作用下產生的位移s，那么力F 所做的功應當怎樣計算？,力做的功：W = |F|s|cos，是F與s的夾角,向量的數量積,1兩個非零向量夾角的概念,說明： （1）當0時，a與同向；,（2）當時，a與反向；,（3）當/2時，a與垂直， 記a；,（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必 須是同起點的.范圍0180,已知非零向量a與，作 a， ，則（0）叫a與的夾角.,平面向量數量積（內積）的定義：,已知兩個非零向量a與，它們的夾角是，則數量|a|b|cos叫a與的數量積，記作ab，即有 ab =|a|b|cos，（）.,規定0與任何向量的數量積為0。,探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別,（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定。,（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab；符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.,（3）在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；在數量積中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？為什么？,（4）由ab = bc 能否推出a = c ？,(5)在實數中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。,3“投影”的概念： 定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。,投影也是一個數量，不是向量；,當為銳角時投影為正值；,當為鈍角時投影為負值；,當為直角時投影為0；,當 = 0時投影為 |b|；,當 = 180時投影為 |b|。,4向量的數量積的幾何意義： 數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。,5兩個向量的數量積的性質：,設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。,1 ea = ae =|a|cos,2 ab ab = 0,3 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時， ab = |a|b|。,特例：aa = |a|2或,4 cos =,5 |ab| |a|b|,例1 判斷正誤，并簡要說明理由. a00； 0a0； 0 ； aa； 若a0，則對任一非零有a0； a0，則a與中至少有一個為0； 對任意向量a，都有（a）a(）； a與是兩個單位向量，則a.,例2 已知a3，6， 當a，a， a與的夾角是60時，分別求a.,例3 判斷下列命題的真假： 在ABC中，若 ，則ABC是銳角三角形； 在ABC中，若 ,則ABC是鈍角三角形； ABC為直角三角形的充要條件是,例3 判斷下列命題的真假： 在ABC中，若 ，則ABC是銳角三角形； 在ABC中，若 ,則ABC是鈍角三角形； ABC為直角三角形的充要條件是,例4 試證明：若四邊形ABCD滿足

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