成 績 中 國 礦 業 大 學 2015 級碩士研究生課程考試 題 目 誤差理論與數據處理 學生姓名 陳 明 學 號 TS15060128A3 所在院系 信息與電氣工程學院 任課教師 唐守鋒 中國礦業大學研究生院培養管理處印制誤差理論與數據處理目 錄1 前言12 測量不確定度32.1 不確定度的基本概念32.2 測量不確定度的評定方法52.2.1 標準不確定度的評定52.2.2 合成標準不確定度的評定72.2.3 擴展標準不確定度的評定72.3 測量不確定度與測量誤差的異同83 模糊數與不確定度93.1 模糊數93.2 空間數據的不確定性93.3 模糊數與不確定度104 余弦模糊數的極大可能性估計114.1 極大可能性估計114.2 余弦模糊數的極大可能性估計125 最小不確定度估計126 總結15參考文獻161 前言由于測量誤差的客觀存在，誤差理論與數據處理一直在科學實驗和生產實踐中占有及其重要的地位。尤其在測繪領域，參數估計理論與方法一直是測量數據處理中最重要的基礎研究方向之一。長期以來，這一重要研究領域的研究成果不計其數1。例如：極大似然估計、最小二乘估計、極大驗后估計、貝葉斯估計、穩健估計、最小二乘配置、最小二乘濾波、非線性最小二乘估計、半參數估計等等。迄今為止的這些參數估計理論與方法，無一不是以概率論為其理論基礎的，我們知道，概率論是用來處理“隨機變量”的。在測量數據處理中，人們為了應用現有的參數估計理論總是把測量誤差理想化，假定測量誤差是隨機變量。事實上，由于種種原因，測量數據的不確定性并非由隨機誤差組成，而是多種不確定因素的綜合。例如GPS數據的不確定性除隨機誤差外，更主要的是多路徑效應、電離層的影響等。隨機變量是指在試驗中可出現可不出現，在實驗前不能確定的量2。在測量過程中，由于觀測設備受分辨率的限制、操作者受生理方面的限制以及實際觀測環境總與標準狀態不一致等，必然導致測量不確定性的存在，即測量數據的不確定性在任何一次測量中是一定會出現的，它出現與否在測量前就是確知的。因此，測量數據的不確定性不完全滿足“隨機變量”的定義。因為測量數據的不確定性不完全滿足概率論中的“隨機變量”這一基本假設，所以使用目前的任何一種參數估計方法來處理測量數據都是不嚴密的，致使目前測量數據處理中的“最優性”也是虛假的。當然這一點早已被測量學家所公認。因此，在實際的測量數據處理中，人們總是根據實際情況對現有參數估計模型進行修正。例如，為了同時考慮系統誤差的影響，提出了附有系統參數的估計模型；為了抵抗粗差的影響，提出了穩健估計模型等等。由于測量數據的不確定性是各種因素的綜合，既包含隨機性又包含模糊性。如此修修補補，必然顧此失彼，根本不能全面的處理測量數據的不確定性。另外，由于測量數據的不確定性不僅僅表現為隨機性不確定性也表現為模糊性不確定性3。比如，對于遙感影像數據的分類，由于很多地理概念本身就存在模糊性，因而分類一定會產生模糊不確定性。而現有的測量數據質量評價體系也是以概率論為理論基礎的方差體系，即用方差來衡量測量數據的質量。因為方差是描述隨機誤差的，而隨機誤差只是不確定性中極小的一部分，方差很小只能說明隨機誤差很小，方差并不能描述模糊不確定性的大小，因此方差很小并不代表測量數據的不確定性很小，也就不能說明測量數據的質量很高。即使只考慮隨機誤差，由于實際的測量數據并不一定服從正態分布，且服從什么分布并不知道，一律采用方差來作為衡量測量數據質量的標準也是不完全合理的，因為有的分布根本就不存在方差。其次，盡管目前國際上已廣泛采用不確定度來評定測量結果的質量。但從目前不確定度的評定方法我們可以看到，其A類或B類評定不確定度的方法仍然都是基于某種概率分布，用方差或標準差進行定量的表達。計量部門定義的A類標準不確定度的大小是我們測量平差中導出的算術平均值的中誤差的絕對值。A類標準不確定度越小，即誤差越小，只能說明隨機誤差很小，還是不能代表測量數據的不確定性很小。由此可見，目前用A類或B類評定方法來進行不確定度的評定也有其不足之處4。綜上所述，要全面的處理測量數據的不確定性，并準確評價測量數據的質量，有必要研究一種全新的參數估計理論，并建立相應的測量數據質量評價體系。這一全新的參數估計理論與相應的測量數據質量評價體系必須突破傳統的“觀測值的不確定性就是隨機性”這一基本假設，能直接處理測量數據的不確定性。本文就旨在提出一種這樣的參數估計理論最小不確定度估計理論，它是以不確定度理論和模糊數理論為其理論基礎，將觀測值看作模糊數，以模糊數為研究對象，并用模糊幅度代替A類評定或B類評定來衡量不確定度，從與傳統的參數估計思路完全不同的角度研究測量數據處理理論與方法。“不確定度”一詞起源于1927年德國物理學家海森堡(Heisenbegr)在量子學領域中提出的測不準關系，也稱為不確定度關系(uncertainty relation)。不確定度作為測量結果質量評價的合理性首先在于不確定度的表達是統一的并被廣泛接受的，它有利于國際上實驗室之間測量結果的相互比較和相互承認，從而為消除國際貿易中的技術壁壘提供了可能性5。其次，由于測量資源的不完善以及測量手段的有限性等因素使得測量誤差總是客觀存在，使得測量結果總是在一定范圍波動。目前國際上都傾向于用測量不確定度表征測量結果的變化范圍。不確定度是一個合理表征測量結果的分散性參數，它是一個容易定量、便于操作的質量指標。測量結果的可用性在很大程度上取決于其不確定度的大小。因此，在給出測量結果時，只有附加不確定度的說明才是完整和有意義的。不確定度越小，說明測量結果質量越高，使用越可靠。本文用不確定度來衡量測量結果的質量比現有的參數估計方法用方差或中誤差來衡量測量結果的質量更合理，與目前評定不確定度方法不同，本文不是用A類評定或B類評定來評定不確定度，而是創新性地提出用模糊幅度來衡量不確定度。2 測量不確定度2.1 不確定度的基本概念 測量不確定度(uncertainty of measurement)是與測量結果相關聯的參數，用于表征合理地賦予被測量值的分散性6。它意味著對測量結果的正確性或準確度的可疑程度，是用于表達測量結果的質量優劣的一個指標。即使不確定度的數字很大，測量結果也有可能接近于被測量真值，即不確定度不表示余下的誤差，而只表示對被測量真值認識不足的程度。不確定度是與測量結果緊密相聯的,離開了“測量”這個過程，測量不確定度是不存在的。一個完整的測量結果一般應包括對被測量的最佳估計及其分散性參數兩部分。分散性參數即為測量不確定度，它應包括所有的不確定度分量。即除了不可避免的隨機影響對測量結果的貢獻外，還應包括由系統效應引起的分量，諸如一些與修正值和參考測量標準有關的分量，它們對分散性均有貢獻。測量結果是測量的要素之一，而其它測量要素，如測量對象、測量資源、測量環境等均會在測量過程對測量結果產生不同程度的影響。測量不確定度，即表示測量結果受諸多不確定因素的影響，這些因素直接或間接影響了測量結果的準確性。因此，找出這些影響測量結果的不確定因素對評價測量結果的準確性有著實際的意義。所有對測量結果產生影響的因素，均是測量不確定度的來源。它們可能來自于以下幾個方面7：(1) 對被測量的定義不完整或不完善。如定義被測量是一根標稱值為lm的鋼棒的長度。如果要求測準至產m量級,則被測量的定義就不完整。由于定義的不完整會使得測量結果中引入溫度和大氣壓力影響測長的不確定度。如果定義被測量是標稱值為lm的鋼棒在25.0和101325Pa時的長度，則為完整定義，就可避免由此引起的測量不確定度。(2) 復現被測量定義的方法不理想；如對上例所述的完整定義進行測量，由于溫度和壓力實際上達不到定義的要求(包括溫度和壓力的測量本身存在不確定度)，則使得測量結果仍然引入不確定度。(3) 測量所取樣本的代表性不夠，即被測量的樣本不能完全代表所定義的被測量；如被測量為某種介質材料在給定頻率時的相對介電常數。由于測量方法和測量設備的限制，只能取這種材料的一部分做成樣塊進行測量，如果該樣塊在材料的成分或均勻性方面不能完全代表定義的被測量，則該樣塊就引入測量不確定度。(4)對測量過程受環境影響的認識不周全，或對環境條件的測量與控制不完善；同樣以上述鋼棒測量為例，不僅溫度和壓力會影響其長度，實際上，濕度和鋼棒的支撐方式也會產生影響。由于認識不足，沒有注意采取措施，也會引入測量不確定度。另外，測量溫度、壓力的溫度計、壓力表的不確定度也是測量不確定度的來源之一。(5)對模擬式儀器的讀數存在人為偏差；(6)儀器計量性能上的局限性；(7)賦予測量標準和標準物質的標準值不準確；(8)引入常數或其他參量的不準確；(9)與測量原理、測量方法和測量程序有關的近似性或假設性；(10)在相同的測量條件下，被測量重復觀測值的隨機變化；這是在測量中不可避免的一種綜合因素造成的隨機影響，它必然也貢獻于測量結果的不確定度。對一定系統誤差的修正不完善；(12)測量列中的粗大誤差因不明顯而未被剔除；(13)在有的情況下，需要對某種測量條件變化，或者在一個較長的規定時間內，對測量結果的變化作出評定。此時，也應把該相應變化所賦予測量值的分散性大小，作為該測量結果的不確定度。以上的各種不確定度來源可以分別歸為設備、方法、環境、人員等帶來的不確定因素，以及各種隨機影響和修正各種系統影響的不完善，特別還包括被測量定義、復現和抽樣的隨機性等等。總的說來，所有的不確定度來源對測量結果都有貢獻，原則上都不應輕易忽略。但是，在對各個不確定度來源的大小都比較清楚的前提下，為了簡化對測量結果的評定，應力求“抓主舍次”。測量結果的不確定度一般包含若干個分量，按照其評定方法的不同，可以分為A類評定分量和B類評定分量。A類評定分量是依據一系列測量數據的統計分布獲得的實驗標準差。B類評定分量是基于經驗或其他信息假定的概率分布給出的標準差。即A類評定是指對樣本觀測值用統計分析的方法進行不確定度評定；B類評定是指用非統計分析的方法進行不確定度評定的方法。將不確定度分為A、B兩類評定方法的目的，僅僅在于說明計算不確定度的兩種不同途徑，并非它們在本質上有區別。兩者都是基于某種概率分布，都能夠用方差或標準差定量地描述。不能將它們與“隨機誤差”和“系統誤差”混淆，不能簡單的將A類不確定度對應于隨機誤差導致的不確定度，把B類不確定度對應于系統誤差導致的不確定度。例如，已知的系統效應的修正量的不確定度，既可以是A類也可能是B類；表征隨機效應的不確定度也可能是A類或B類。雖然誤差分為系統誤差和隨機誤差，但不確定度不以隨機、系統來區分。若需要區分時，應表述為“由隨機效應引入的不確定度分量”和“由系統效應引入的不確定分量”。兩類效應所引入的不確定度都可皆有A類評定，也可皆有B類評定，均稱為標準不確定度。此外，測量不確定度在使用中根據表示的方式不同有三種不同的術語：標準不確定度、合成不確定度和擴展不確定度8。(1)標準不確定度(standard uncertainty)：用標準差表示測量結果的不確定度,一般用符號U表示。(2)合成(標準)不確定度(combined standard uncertainty)：當測量結果由若干個其他量的值求得時，測量結果的合成不確定度等于這些量的方差和(或)協方差加權和的正平方根，其中權系數按測量結果隨這些量變化的情況而定。合成不確定度一般用符號Uc表示。(3)擴展不確定度(expanded uncertainty)：規定了測量結果取值區間的半寬度，該區間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。擴展不確定度用符號U或Up表示。2.2 測量不確定度的評定方法2.2.1 標準不確定度的評定 實際工作中,為了便于對測量標準不確定度進行具體的評定,國際上把該評定方法歸為A類評定方法和B類評定方法。一、關于標準不確定度的A類評定A類評定方法是采用統計分析的方法評定標準不確定度,它用實驗標準偏差來表示。用這樣的方法評定出的標準不確定度稱為A類標準不確定度。一般情況下,對某一被測量X，獨立重復觀測n次,用算術平均值作為被測量的估計值，測量結果的A類評定的標準不確定度為n次測量平均值的實驗標準差即：其中： n-1為自由度。 由此可知,計量部門定義的A類標準不確定度的大小就是我們測量平差中導出的算術平均值的中誤差。其自由度為V=n-1,即我們熟知的多余觀測數。在給定A類標準不確定度時應同時給定自由度V。盡管A類標準不確定度的大小就是我們測量平差中導出的算術平均值的中誤差，但兩者之間是不同的。中誤差是真誤差平方和之均值的平方根，其意義相當于真誤差的平均值，在數軸上表示一個點的坐標，故是可正可負的；而A類標準不確定度是對觀測值“懷疑的程度”，在數軸上表示一個區間的長度，故恒為正。二、關于標準不確定度的B類評定在實際工作中,并非所有的測量結果都能用以上所述的統計方法來評定標準不確定度。在這種情況下就要用到B類評定方法。B類評定方法是用非統計的方法評定標準不確定度。既然它不依賴于對樣本數據的統計,必然要設法利用與被測量有關的其他先驗信息來進行估計。獲得B類評定的標準不確定度的信息來源一般有：(1) 以前的觀測數據；(2) 對測量儀器的特性和其他相關資料的了解；(3) 校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件提供的數據；(4) 生產廠家的技術說明書；(5) 測量者的經驗和知識；(6) 引用的手冊、技術文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數據及不確定度值；為了方便，將這種方法估計的標準不確定度稱為B類標準不確定度，它與A類的區別僅在于不是利用對此測量直接求出，而是需要查取己有信息獲得而已，這兩個方法都是可信的。根據先驗信息的不同，B類評定的方法也不同。主要分為以下幾種： (1)若由先驗信息給出測量結果的概率分布，及其置信區間和置信水平，則標準不確定度為該置信區間半寬度a與該置信水平下的包含因子kp的比值,即。 (2)若由先驗信息給出的測量不確定度U為標準差的K倍時,則標準不確定度U為該測量不確定度U與倍數K的比值,即。(3)若由先驗信息給出測量結果的置信區間及其概率分布,則標準不確定度為該置信區間半寬度與該概率分布置信水平接近1的包含因子的比值,即。其中U為置信區間的半寬度，而K是置信水平接近1的包含因子。2.2.2 合成標準不確定度的評定設觀測值的函數為已知的A類或B類標準不確定度為,則函數y的標準不確定度為各的合成標準不確定度,即式中為和的協方差估計值，若定義其相關系數為：上式子可稱為不確定度傳播律,顯然,不確定度傳播律就相當于我們熟知的測量平差中的協方差傳播律。當各觀測量相互獨立時。如果的標準不確定度分別為則合成不確定度為：。2.2.3 擴展標準不確定度的評定擴展不確定度是確定測量結果區間的量,合理賦予被測量值分布的大部分可望含于此區間。實際上擴展不確定度是將輸出估計值的合成不確定度擴展了倍后得到的，即：，式中稱為覆蓋因子，的取值與需要獲得的置信水平p有關，一般為2或3，這取決于被測量的重要性、效應和風險。當可以賦予被測量正態分布，且與輸出估計值相關的標準差的可靠性足夠高時，包含因子=2，這代表擴展不確定的包含概率約為95%，這也就是說測量結果的取值區間在被測量值概率分布中所包含的百分比為95%，這個百分比稱為該區間的置信水平或置信概率。由上可知，擴展不確定度相當于測量平差中的極限誤差。2.3 測量不確定度與測量誤差的異同不確定度的概念是誤差理論的應用和拓展，而誤差分析依然是測量不確定度評估的理論基礎。盡管不確定度概念的引入使得誤差分類的界線以及轉化的問題淡化了，但評定和計算不確定度，還有賴于必要的誤差分析。只有對各個誤差源的性質、分布進行合理的分析和處理，才能確定出各分量的不確定度和合成不確定度，特別是在估計B類分量時，更是離不開誤差分析。例如測量儀器的特性可以用最大允許誤差、示值誤差等術語描述。在技術規范、規程中規定的測量儀器允許誤差的極限值，稱為“最大允許誤差”或“允許誤差限”。它是制造廠對某種型號儀器所規定的示值誤差的允許范圍，而不是某一臺儀器實際存在的誤差。測量儀器的最大允許誤差可在儀器說明書中查到，用數值表示時有正負號，通常用絕對誤差、相對誤差、引用誤差或它們的組合形式表示。測量儀器的最大允許誤差不是測量不確定度，但可以作為測量不確定度評定的依據。測量結果中由測量儀器引入的不確定度可根據該儀器的最大允許誤差按B類評定方法評定。另一方面，不確定度是誤差的綜合和發展。不確定度概念的引入使不能確切獲得的誤差轉化為一個可以定量計算的指標附在了測量結果中，從而使得測量結果的質量在國際上有了一個統一的比較標準。所以說不確定度是誤差概念的發展。經典的誤差理論將誤差分為系統誤差、偶然誤差和粗差，對這幾類誤差的分析處理方法也不同，對粗差予以剔除，對系統誤差是進行修正，然后用數理統計的方法來處理隨機誤差。而不確定度概念的引入使得這種分類顯得不重要，只是根據評定方法的不同分為A類評定和B類評定，因此不確定度使誤差實現了良好綜合，成為了一個整體。綜上所述，測量不確定度與測量誤差是兩個截然不同的概念,有著本質上的區別，但它們也有著密切的聯系。誤差是不確定的基礎，不確定度又是誤差的綜合和發展。不確定度使得測量結果的質量評定有了統一的定量標準，用測量不確定度評價測量結果較之測量誤差科學合理。3 模糊數與不確定度3.1 模糊數定義設I為R上的模糊集，是它的隸屬函數,設若對任意都是一個閉區間，則稱I是一個模糊數。此時稱為I的截集。由此定義，可以得出以下結論:(1) 具有連續隸屬函數的凸模糊集是模糊數；(2) 實數集中的任意閉區間a,b都是一個模糊數。實踐中經常用到的模糊數I的幾個性質敘述如下：模糊數I的隸屬函數必有最大值；模糊數I必為凸模糊子集合；模糊數I的支集必是一個閉區間。3.2 空間數據的不確定性空間數據的不確定性屬于一般不確定性的組成部分，它包含了一般不確定性中不確定性的基本概念、原理、原則等在相關的空間科學技術，包括地球信息科學、大地測量、測繪與制圖、遙感、遙測、衛星定位系統、地理信息系統、數據庫及其管理中的應用。但是地學空間數據中的不確定性問題有它自己特色的一面，它豐富和充實了不確定性的內容和應用領域。Peter Fisher將空間數據不確定性的研究分為四個方面，即誤差(error)、模糊(vagueness)、歧義(ambiguity)、不一致(discord)。(1)誤差(error)如果物體可進行量測，那么量測結果就一定含有誤差。關于誤差已有大量的研究，其研究結果集中在位置準確性和專題準確性方面，但最重要的還是對誤差模型和誤差結果的研究。(2)模糊(vagueness)某一個研究對象分類的中心或核心概念可以清楚地用分類術語進行定義和描述，但該中心類與另一個中心類之間的邊界條件卻是不確定的，這時就產生了模糊，這就是說一些接近類邊界的研究實體很難劃分為一個特定的類。(3)歧義(ambiguity)是指當有一個已經定義好了的類概念，但該類分類過程中具有幾個同等有效但卻相互矛盾的結果。(4)不一致(discord)不一致是當一個研究者使用一種分類方案，但另一個研究者使用另一個毫不重疊的分類方案時產生的。由以上的各種論述知，在空間數據處理中，至今對“不確定性”這個術語還沒有明確的定義，但大多數人認為不確定性與空間數據質量有關。3.3 模糊數與不確定度根據圖將模糊理論進行了大致的分類。主要有五個分支：(1) 模糊數學,它用模糊集合取代經典集合從而擴展了經典數學中的概念； (2) 模糊邏輯與人工智能,它引入了經典邏輯學中的近似推理,且在模糊信息和近似推理的基礎上開發了專家系統； (3)模糊系統,它包含了信號處理和通信中的模糊控制和模糊方法；(4)不確定性和信息,它用于分析各種不確定性；(5)模糊決策,它用軟約束來考慮優化問題。由圖3.1可知，模糊理論是一個包含了多種研究課題的廣泛領域，它也可以用于進行各種不確定性分析。本文就是用模糊數來處理不確定性信息。由于現實世界中的信息都存在不確定性，在測量過程中，由于觀測設備受分辨率的限制、操作者受生理方面的限制以及實際觀測環境總與標準狀態不一致等，必然導致測量不確定性的存在，致使所得到的觀測值總是在被測物體的真值左右波動。如果將波動范圍看成模糊幅度，將真值看作對稱中心，則空間信息獲取過程中的觀測值就是模糊數。當某個被測量的真值從某種程度上講不太確定時，我們就稱這個被測量為模糊數。模糊數表示的是一個數大約為多少。由對稱模糊數的定義我們可知該觀測值的波動范圍就是對稱模糊數定義中的模糊幅度C。而不確定度是與測量結果相關聯的參數，用于表征合理地賦予被測量值的分散性。即不確定度是一個表示測量結果中用于說明測得值所處范圍的一個參數。模糊幅度就是描述測得值所處范圍的一個數，模糊幅度也和不確定度一樣，它們不同于測量誤差沒有正負之分。因此，用模糊幅度去衡量測量結果的不確定度是合理的。圖3.1模糊理論分類4 余弦模糊數的極大可能性估計4.1 極大可能性估計設可能性線性模型如式,“模糊數是其對稱中心”，的可能性為 (4-1-1)令 (4-1-2)則 (4-1-3)可得 (4-1-4) 式(4-1-4)是在線性可能性模型下，使觀測值估值的可能性最大的最優估計準則，故稱由此準則確定的估計為極大可能性估計。由式(4-1-4)知，極大可能性估計隨參照函數的不同而不同。所以極大可能性估計式(4-1-4)確定的不是一個估計，而是一類估計。因此，我們稱基于最優準則式(4-1-4)的估計為可能性線性模型的極大可能性估計類。4.2 余弦模糊數的極大可能性估計在線性可能性模型的極大可能性估計類中,當我們將觀測值和未知參數都視為余弦模糊數。當 極大可能性估計式(4-1-4)變為: (4-2-1)式(4-2-1)就是可能性線性模型在將觀測值和未知參數都視為余弦模糊數的極大可能性估計準則，簡稱余弦極大可能性估計準則。基于此準則的估計稱為余弦極大可能性估計。5 最小不確定度估計為了估計函數模型中的未知參數向量X，必須事先確定最優估計準則。由于我們將觀測值和未知參數都視作對稱模糊數，我們自然希望各個觀測值的不確定度越小越好，即觀測值的模糊幅度越小越好，則有，同時考慮到參照函數分布情況，以三角模糊數的參照函數為例，見圖5.1。圖5.1 三角模糊數的參照函數 當模糊幅度越小時，對于某個具體的觀測值對于其模糊估計值的隸屬度反而越小，的值反而越大。我們令。為了保證最后估值的唯一性，我們設計如下最小不確定度估計的估計準則為: (5-1-1)其中： 此外還應滿足條件：即觀測值的改正數的絕對值應小于等于該觀測值的模糊幅度。其中：當函數模型非線性時滿足；當函數模型是線性時滿足： 。綜上所述，可得最小不確定度估計的參數估計問題就可以轉化為求解下列非線性規劃問題： 其中： Uyi=1-U(yi) (5-1-2)在式(5-1-2)中，未知參數和觀測值的模糊幅度均視為待求參數一并求解。當參照函數分別取 得三角模糊數的隸屬函數為 得余弦模糊數的隸屬函數為 得拋物線模糊數的隸屬函數為 將上述不同的隸屬函數帶入最小不確定度估計模型(5-1-2)中可分別得到基于三角模糊數、余弦模糊數、拋物線模糊數的最小不確定度估計模型。(1)基于三角模糊數的最小不確定度估計模型 其中：或。(2)基于余弦模糊數的最小不確定度估計模型 其中：或。(3)基于拋物線模糊數的最小不確定度估計模型 其中：或。分別解算以上三種不同的估計模型，則可得到分別對應三角模糊數、余弦模糊數和拋物線模糊數的未知參數X的估值和觀測值的模糊幅度。由最小不確定度的估計模型可以看出基于最小不確定度估計模型的參數估計問題可以轉換為求解非線性規劃問題。非線性規劃問題內容十分豐富，求解非線性規劃問題的優化算法更加繁多。求解無約束非線性規劃問題常用的方法有線性搜索法、共扼梯度法以及擬牛頓法等。求