06年線性代數試卷解答,一，填空題 1，已知正交矩陣P使得 則,06年線性代數試卷解答,解,因為P是正交矩陣,所以 ,所以 所以同理,06年線性代數試卷解答,2，設A為n階方陣 ， ，是A的N個特征根 則,06年線性代數試卷解答,解，因為 是A的N個特征根, 所以 所以,06年線性代數試卷解答,3設A是 矩陣， B是 m維列向量，則方程組 AX=B有無數多個解的充分必要條件是,06年線性代數試卷解答,解：首先A可看作為N個M維列向量,AX=B若有解即是B可由A的N個M維列向量線性表出,即使r(A)=r(A,B),又解的個數為無數個,故必須有r(A)=r(A,B)n,不難驗證此即為所求的充分必要條件.,06年線性代數試卷解答,，若向量組=（0，4，2）， =（2，3，1），=（t，2，3） 的秩為2，則t=,06年線性代數試卷解答,解：因為 秩為2,即它們是線性相關的, 即存在 (不全為0)使 解以上方程組的t=-8,06年線性代數試卷解答,5， 則D（X）=0的全部根為：,06年線性代數試卷解答,解：由觀察不難得出,當x=1,2,-3時,第一個列 向量分別與第二,三,四個列向量相同,由行列 式的性質可得D(x)=0.,06年線性代數試卷解答,選擇題 1，行列式 的值為（ ） A，1 B，-1 C， D，,06年線性代數試卷解答,解：,用第N列與第N-1列相互交換,然后第N-1列與第N-2列交換,直到把最初的第N列交換到第一列的位置,總共交換N-1次,在此基礎上把右下的N-1階行列式做同樣的操作,如此下去使行列式變成 則總共交換了(n-1)+(n-2)+1 =n(n-1)/2次 故原行列式=,06年線性代數試卷解答,2，對矩陣 施行一次行變換相當于（ ）。 A，左乘一個m階初等矩陣 B，右乘一個m階初等矩陣 C，左乘一個n階初等矩陣 D，右乘一個n階初等矩陣,06年線性代數試卷解答,解： 行變換故是左乘初等矩陣,又A是M乘N階的, 所以左乘的必是M階的.即選A,06年線性代數試卷解答,3，若A為mn 矩陣， ， 則（ ） A， M是m維向量空間 B， M 是n維向量空間 C，M是m-r維向量空間 D，M是n-r維向量空間,06年線性代數試卷解答,解：,M其實就是AX=0的解空間,AX=0為含N 個未知數,M個方程的方程組,其解空間的維數 就是基礎解系的解的個數,又A的秩為r,故M為 一n-r維的向量空間，即選,06年線性代數試卷解答,，若n階方陣A滿足， ，則以下命題哪一個成立（ ）。 ， ， ， ，,06年線性代數試卷解答,解，因為，可以把后面的的每個列向量看 做是的解，由上題的分析知，的 解空間是n-r(A)維的，即的列向量最多就是n-r(A) 維的，故 ，選,06年線性代數試卷解答,，若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個不成立（ ） A，矩陣 為正交矩陣， B，矩陣 為正交矩陣 C，矩陣A的行列式是 1， D，矩陣A的特征根是 1,06年線性代數試卷解答,解：顯然A,B,C都是正確的,答案為D,06年線性代數試卷解答,三，解答題 ，若A為3階正交矩陣， 為A的伴隨矩 陣， 求 det （ ）,06年線性代數試卷解答,解：,06年線性代數試卷解答,，計算行列式,06年線性代數試卷解答,解：,06年線性代數試卷解答,，設 求矩陣,06年線性代數試卷解答,解：,06年線性代數試卷解答,，求向量組 的一個最大無關組,06年線性代數試卷解答,解：,06年線性代數試卷解答,，求向量 =（1，2，1），在基 ，下的坐標,06年線性代數試卷解答,解：,06年線性代數試卷解答,四，求方程組 的通解（用基礎解系與特解表示）。,06年線性代數試卷解答,解,06年線性代數試卷解答,五，用正交變換化下列二次型為標準型，并 寫出正交變換矩陣,06年線性代數試卷解答,解,06年線性代數試卷解答,06年線性代數