第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入1復數(shù)的概念(1)虛數(shù)單位i；(2)復數(shù)的代數(shù)形式zabi(a，bR)；(3)復數(shù)的實部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)2復數(shù)集3復數(shù)的四則運算若兩個復數(shù)z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)減法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)實數(shù)四則運算的交換律、結合律、分配律都適合于復數(shù)的情況；(6)特殊復數(shù)的運算：in(n為正整數(shù))的周期性運算；(1i)22i；若i，則31,120.4共軛復數(shù)與復數(shù)的模(1)若zabi，則abi，z為實數(shù)，z為純虛數(shù)(b0)(2)復數(shù)zabi的模|z|，且z|z|2a2b2.5復數(shù)的幾何形式(1)用點Z(a，b)表示復數(shù)zabi(a，bR)，用向量O表示復數(shù)zabi(a，bR)，Z稱為z在復平面上的對應點，復數(shù)與復平面上的點一一對應(坐標原點對應實數(shù)0)(2)任何一個復數(shù)zabi一一對應著復平面內(nèi)一個點Z(a，b)，也一一對應著一個從原點出發(fā)的向量.6復數(shù)加、減法的幾何意義(1)復數(shù)加法的幾何意義若復數(shù)z1、z2對應的向量、不共線，則復數(shù)z1z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數(shù)(2)復數(shù)減法的幾何意義復數(shù)z1z2是連接向量、的終點，并指向Z1的向量所對應的復數(shù).題型一分類討論思想的應用當復數(shù)的實部與虛部含有字母時，利用復數(shù)的有關概念進行分類討論分別確定什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)當xyi沒有說明x，yR時，也要分情況討論例1已知復數(shù)z(a25a6)i(aR)，試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)當z為實數(shù)時，則有當a6時，z為實數(shù)(2)當z為虛數(shù)時，則有a1且a6，即當a(，1)(1,1)(1,6)(6，)時，z為虛數(shù)(3)當z為純虛數(shù)時，則有不存在實數(shù)a，使z為純虛數(shù)跟蹤演練1當實數(shù)a為何值時，za22a(a23a2)i.(1)為實數(shù)；(2)為純虛數(shù)；(3)對應的點在第一象限內(nèi)；(4)復數(shù)z對應的點在直線xy0上解(1)zRa23a20，解得a1或a2.(2)z為純虛數(shù)，則即故a0.(3)z對應的點在第一象限，則a0，或a2.a的取值范圍是(，0)(2，)(4)依題設(a22a)(a23a2)0，a2.題型二數(shù)形結合思想的應用數(shù)形結合既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種常用的數(shù)學方法本章中，復數(shù)本身的幾何意義、復數(shù)的模以及復數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)它們得以相互轉化涉及的主要問題有復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的位置、復數(shù)運算及模的最值問題等例2已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應的復數(shù)分別為12i，26i，OABC.求頂點C所對應的復數(shù)z.解設zxyi，x，yR，如圖OABC，OCBA，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或OABC，x23，y24(舍去)，故z5.跟蹤演練2已知復數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.(2)如圖所示，由|z|1可知，z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對應著坐標系中的點Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是點Z1(2，2)到圓上的點的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑)21.題型三轉化與化歸思想的應用在求復數(shù)時，常設復數(shù)zxyi(x，yR)，把復數(shù)z滿足的條件轉化為實數(shù)x，y滿足的條件，即復數(shù)問題實數(shù)化的基本思想在本章中非常重要例3已知z是復數(shù)，z2i，均為實數(shù)，且(zai)2的對應點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍解設zxyi(x，yR)，則z2ix(y2)i為實數(shù)，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i為實數(shù)，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限解得2a6.實數(shù)a的取值范圍是(2,6)跟蹤演練3已知x，y為共軛復數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.解設xabi(a，bR)，則yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或題型四類比思想的應用復數(shù)加、減、乘、除運算的實質(zhì)是實數(shù)的加減乘除，加減法是對應實、虛部相加減，而乘法類比多項式乘法，除法類比根式的分子分母有理化，且要注意i21.在運算的過程中常用來降冪的公式有(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1i)22i；(3)設i，則31，2，120，2，3n1，3n1(nN*)等；(4)31；(5)作復數(shù)除法運算時，有如下技巧：i，利用此結論可使一些特殊的計算過程簡化例4計算：(1)(1i)(1i)；(2)2014.解(1)方法一(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)2014()1007iii0.跟蹤演練4計算：.解2(i3)i12i.高考對本章考查的重點1對復數(shù)的概念的考查是考查復數(shù)的基礎，要求準確理解虛數(shù)單位、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、實部、虛部、復數(shù)的模等概念2對復數(shù)四則運算的考查可能性較大，要加以重視，其中復數(shù)