與圓有關的角一周強化一、一周知識概述(一)圓周角1、頂點在圓上，兩條邊都和圓相交的角叫做圓周角2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半3、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于90；90的圓周角所對的弦是直徑4、圓內接四邊形的性質定理：圓內接四邊形的對角互補推論：圓內接四邊形的任何一個外角等于它的內對角(二)弦切角1、弦切角：頂點在圓上，一條邊和圓相交，另一條邊和圓相切的角叫做弦切角2、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角二、重點難點疑點突破1、對圓周角的理解定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半突破：如圖，AOB與ACB是對的圓心角與圓周角，故有：，AOB=2ACB，ACB的度數等于的度數一半定理的作用是勾通圓心角，圓周角之間的數量關系定理的證明(1)為什么要分情況證明？應不應分情況，主要看各種情況的證明方法是否相同，相同，不分情況；不同，則必須分情況，而且分情況要分得正確，不能重復或遺漏而圓周角定理的證明，分三種情況，它們的證法都不相同，故要分情況證明(2)如何分類討論？以圓上任意一點為頂點的圓周角，雖然有無數多個，但它們與圓心的位置關系，歸納起來有三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內部；圓心在角的外部(3)如何證明定理？先證明第一種情況，再用第一種情況證明第二、三種情況2、對圓周角定理的兩個推論的理解(1)推論1：是圓中證角相等最常用的方法之一若將推論1中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結論就不成立了因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，一般情況不相等(如圖中的1與2)推論1中“相等的圓周角所對的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”離開這個前提條件，結論不成立(如圖中的)(2)推論2應用廣泛，一般地，如果題目中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角直角；如果需要直角或證明垂直時，也往往作出直徑即可解決問題，推論也是證明弦是直徑常用的辦法3、對圓的內接四邊形定理的理解(1)“內對角”是圓內接四邊形的專用名詞，是指與四邊形的一個外角相鄰的內角的對角(2)定理的另一個含義是對角和相等(都為180)(3)定理是證明與圓有關的兩角相等或互補關系的重要依據(4)使用定理時，要注意觀察圖形，不要弄錯四邊形的外角和它的內對角的位置4、對弦切角的理解弦切角所夾的弧是構成弦切角的弦所對的夾在弦切角內部的一條弧弦切角定理的證明可以仿照圓周角定理的證明，也分三種情況，第一種情況是特殊情況，其它兩種是一般情況，可通過作輔助線轉化為第一種情況弦切角可以是銳角、鈍角、直角，一條切線和過切點的弦形成兩個弦切角弦切角=它所夾弧對的圓周角=所夾弧對的圓心角的一半=所夾弧的度數一半三、解題方法技巧點撥1、圓心角、圓周角和弧之間的換算例1、已知：如圖，AB為O的直徑，弦CD交AB于P，且APD=60，COB=30，則ABD=_度 例2、如圖，ABC中，AB=AC，A=80，以AB為直徑的半圓交AC于D，交BC于E求的度數 2、圓內角、圓外角、圓周角、弧之間的運算題圓內角：角的頂點在圓內的角叫做圓內角圓外角：角的頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角例3、如圖，圓的弦AB、CD延長線交于P點，AD、BC交于Q點，P=28，AQC=92，求cosABC的值 點評：1）圓內角與圓外角都通過圓周角建立聯系2）同弧對的圓內角、圓外角、圓周角之間的大小關系是：圓內角圓周角圓外角3）圓內角等于它所對弦對的圓周角與它對頂角所對的弧對的周角之和(如圖，AQC=ABCA)4）圓外角等于它所截兩條弧所對的圓周角之差(如圖，P=ABCA)3、與圓周角有關的證明例4、如圖，ABC內接于O，AEBC于D，交O于E，AF為O的直徑求證：BAF=CAE 思考：此題還可以證明以下結論：(1)；(2)ABAC=ADAF；(3)若過O作ONAB于N，則ON與CE之間有何數量關系？提示：(1)的度數=2ACB，的度數=2CAE，而ACBCAE=90故可證(2)可證ABFADC(3)連結BF，可知有BF=CE，另由三角形中位線定理知點評：圓中有垂直弦(或垂直條件)時，常作直徑對的圓周角得平行弦，再用平行弦夾的弧相等來證題例5、如圖，ABC是O的內接三角形，O的直徑BD交AC于E，AFBD于F，延長AF交BC于G求證：AB2=BGBC 點評：這里連結AD構造直徑對的圓周角，進而運用了推論2，這是證明本題的關鍵 4、與圓的內接四邊形的有關計算問題例6、如圖，已知AB是半圓O的直徑，BAC=40，D是AC上任意一點，那么D的度數是_ 另外計算題還有以下幾個題型：與圓心角組合的題，主要利用同弧對的圓心角與圓周角關系解題；已知三個角的份數比求第四個角；主要利用對角的份數和相等解題，先由已知份數的這組對角求出一份的度數，再根據未知角的份數求出這個角的度數例7、已知：四邊形ABCD內接于O，且BOD=100求A的度數分析：如圖，(1)(2)點A的位置有兩種可能：一是點A在BOD的內部時如(1)圖；二是點A在BOD的外部時如圖(2)故A有兩個值5、與圓的內接四邊形有關的證明問題例8、如圖，已知：AB是O的直徑，弦CDAB于E，G是上任意一點，AG、DC的延長線交于F求證：FGC=AGD注意：本題還可以有另外的考慮：如連結BC，用上述證明類似的步驟可以證明得結論；又如連結BG，證明BGD=BGC，通過等角的余角相等也可以證得結論點評：圓內接四邊形的性質是溝通圓外角和圓內角的橋梁，此題的關鍵是添加輔助線，構造圓內接四邊形變換：此題條件不變，問DGCG是否與AGFG相等(提示：相等，只須證ADGCFG)是否有AC2=AGAF成立(提示：成立，只須證ADGAFD，有AD2=AGAF=AC2)6、與弦切角有關的計算例9、如圖，CE切O于B，直徑DA的延長線交CE于E，且的度數為40，則E=_例10、如圖，BC切O于B，且ABC=30，AB=4，則O的半徑為_點評：弦切角的有關計算，主要是考查弦切角與它所夾的弧，及此弧對的圓心角