Mon. May.8 Review,性質(zhì)，幾何意義與計(jì)算法：,特別注意方向性。性質(zhì)，物理意義與計(jì)算法,注意：化定積分時(shí)積分上限不一定大于下限。,3. 兩類曲線積分的關(guān)系：,3 Green公式,區(qū)域連通性的分類 Green公式 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 全微分準(zhǔn)則,一. 區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,二. 格林(Green)公式,定理1,邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,格林公式的實(shí)質(zhì)：,溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系。,L,解,P，Q具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 由Green公式，有：,令,利用Green公式，挖掉原點(diǎn)，作以為 半徑，原點(diǎn)為圓心的小園，在挖掉的區(qū)域內(nèi)用Green公式。,D為任一區(qū)域時(shí)，結(jié)果相同：,1) 不包含原點(diǎn)的任意封閉曲線；,2) 以原點(diǎn)為中心的正向單位園；,3) 包含原點(diǎn)的任意正向閉曲線。,解,所給積分曲線不是封閉曲線，化定積分計(jì)算太復(fù)雜。（可試算）,加補(bǔ)直線AO，使L與AO構(gòu)成一條封閉曲線 的反向，若設(shè) 圍成區(qū)域D，則由Green公式 ：,在AO上，y=0，故dy=0，于是,證明,設(shè)L上的單位切向量 與L的正向一致， 與正x軸的夾角為 則L的外法線單位向量與x軸的夾角為 ，從而,于是,解,Sun. May.8 Review,1.連通區(qū)域的概念;,2.二重積分與曲線積分的關(guān)系,格林公式,注意公式成立的條件。,可用于計(jì)算平面區(qū)域的面積。,三 曲線積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)的條件,1 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi)有,性質(zhì)：區(qū)域G中的曲線積分 路徑無(wú)關(guān),G中任何一條封閉曲線的積分為零。,證明,在G內(nèi)任取兩點(diǎn)M0和M1，設(shè) L1 和L2是G內(nèi)從M0到M1的任意兩條定向曲線，則,是G內(nèi)的一條定向閉曲線，因,故得：,2 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,定理1,兩條件缺一不可,有關(guān)定理的說(shuō)明：,證明：,在G內(nèi),在G內(nèi)的任何封閉的分段光滑曲線L1的正向上的曲線積分滿足Green公式條件，因而有：,曲線積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)（由性質(zhì)）。,用反證法,設(shè)在G內(nèi)任一條封閉曲線L1上的積分,但存在一點(diǎn)M0 (x0 , y0) 使,由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，必定存在以M0 為中心，r為半徑的足夠小的園，它所圍區(qū)域?yàn)镵，在K內(nèi)恒有,于是,矛盾！,如果曲線積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)，通常考慮采用平行于坐標(biāo)軸的折線段為積分路徑以簡(jiǎn)化計(jì)算。,解,曲線積分與路經(jīng)無(wú)關(guān),解,解,四 全微分準(zhǔn)則,現(xiàn)考慮反問(wèn)題： 已給全微分形式,定義,定理2,由定理1知，,稱為 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的原函數(shù)。,求原函數(shù)的公式。,推廣的Newton-Leibniz公式，或曲線積分基本定理。,解,解,四個(gè)等價(jià)命題,則,全微分方程,如果一階微分方程可以寫成下列形式,并滿足,則稱上述方程為全微分方程，由等價(jià)命題知,是某個(gè)函數(shù)的全微分，故,解,方程通