9.6 雙曲線,基礎知識 自主學習,課時作業,題型分類 深度剖析,內容索引,基礎知識 自主學習,1.雙曲線定義 平面內到兩個定點F1，F2的 等于常數(小于F1F2的正數)的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F2叫做 ，兩焦點間的距離叫做 . 集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c為常數且a0，c0. (1)當 時，P點的軌跡是雙曲線； (2)當 時，P點的軌跡是兩條射線； (3)當 時，P點不存在.,知識梳理,距離的差的絕對值,雙曲線的焦點,雙曲線的焦距,2aF1F2,2aF1F2,2aF1F2,2.雙曲線的標準方程和幾何性質,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐標軸,原點,(1，),2a,2b,實半軸長,虛半軸長,a2b2,巧設雙曲線方程 (1)與雙曲線 1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為 t(t0). (2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為 1(mn0).,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.( ) (2)方程 1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線.( ) (3)雙曲線方程 (m0，n0，0)的漸近線方程是 0，即 0.( ),(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 .( ) (5)若雙曲線 1(a0，b0)與 1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則 1(此結論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).( ),考點自測,1.(教材改編)若雙曲線 1 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為_.,答案,解析,由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交于A，B兩點，AB ，則C的實軸長為_.,答案,解析,4,由題設C： 1.,拋物線y216x的準線為x4，,a2，2a4.,C的實軸長為4.,3.(2016無錫一模)已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y ， 那么雙曲線的離心率為_.,答案,解析,根據題意，設雙曲線的方程為 1，,即雙曲線的離心率為 .,4.(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線 1的焦距是_.,答案,解析,由已知，a27，b23， 則c27310， 故焦距為2c .,5.雙曲線 y21的頂點到其漸近線的距離等于_.,答案,解析,雙曲線的一個頂點坐標為(2,0)，,一條漸近線方程是y ，即x2y0，,則頂點到漸近線的距離,題型分類 深度剖析,題型一 雙曲線的定義及標準方程 命題點1 利用定義求軌跡方程 例1 已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與 圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.,答案,解析,x2 1(x1),幾何畫板展示,如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據兩圓外切的條件， 得MC1AC1MA，MC2BC2MB， 因為MAMB，所以MC1AC1MC2BC2， 即MC2MC1BC2AC12， 所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數且小于C1C26. 又根據雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28. 故點M的軌跡方程為x2 1(x1).,命題點2 利用待定系數法求雙曲線方程 例2 根據下列條件，求雙曲線的標準方程： (1)虛軸長為12，離心率為 ；,解答,設雙曲線的標準方程為,由題意知，2b12，e .,b6，c10，a8.,雙曲線的標準方程為,(2)焦距為26，且經過點M(0,12)；,解答,雙曲線經過點M(0,12)， M(0,12)為雙曲線的一個頂點， 故焦點在y軸上，且a12. 又2c26， c13， b2c2a225.,雙曲線的標準方程為,設雙曲線方程為mx2ny21(mn0).,(3)經過兩點P(3, )和Q( ，7).,解答,雙曲線的標準方程為,命題點3 利用定義解決焦點三角形問題 例3 已知F1，F2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上， PF12PF2，則cosF1PF2_.,答案,解析,由雙曲線的定義有PF1PF2PF22a ，,PF12PF2 ，,幾何畫板展示,引申探究 1.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？,解答,不妨設點P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，,在F1PF2中，由余弦定理，得,所以PF1PF28，,所以,2.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“ 0”，則F1PF2的面積是多少？,解答,不妨設點P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，,所以,(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程. (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合|PF1PF2|2a，運用平方的方法，建立與PF1PF2的聯系. (3)待定系數法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可設有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可.,思維升華,跟蹤訓練1 (1)已知F1，F2為雙曲線 1的左，右焦點，P(3,1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線上，則APAF2的最小值為_.,由題意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值， 當A，P，F1三點共線時，取得最小值，,APAF2的最小值為APAF12a .,答案,解析,幾何畫板展示,(2)設F1，F2分別為雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點，雙曲線上 存在一點P使得PF1PF23b，PF1PF2 ，則該雙曲線的離心率為_.,答案,解析,不妨設P為雙曲線右支上一點，PF1r1，PF2r2. 根據雙曲線的定義，得r1r22a，,又r1r23b，故,題型二 雙曲線的幾何性質 例4 (1)(2016鹽城三模)若圓x2y2r2過雙曲線 1的右焦點F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點分別為A，B，當四邊形OAFB為菱形時，雙曲線的離心率為_.,答案,解析,2,若四邊形OAFB為菱形，且點A在圓x2y2r2上，,則點A坐標為( )，此時rc.,又點A在漸近線上，所以 ，,(2)(2015山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1： 1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心 為C2的焦點，則C1的離心率為_.,答案,解析,由題意，不妨設直線OA的方程為y ，直線OB的方程為y .,設拋物線C2的焦點為F，則 ，,OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，,設C1的離心率為e，則,雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線 (a0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k 滿足關系式e21k2.,思維升華,跟蹤訓練2 (2016全國甲卷改編)已知F1，F2是雙曲線E： 1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1 ，則E的離心率為_.,答案,解析,離心率e ，,由正弦定理得,題型三 直線與雙曲線的綜合問題 例5 (2016蘇州模擬)已知橢圓C1的方程為 y21，雙曲線C2的左，右焦點分別是C1的左，右頂點，而C2的左，右頂點分別是C1的左，右焦點. (1)求雙曲線C2的方程；,解答,設雙曲線C2的方程為 1(a0，b0)，,則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.,故C2的方程為 y21.,(2)若直線l：ykx 與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且 2(其中O為原點)，求k的取值范圍.,解答,將ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.,由直線l與雙曲線C2有兩個不同的交點，得,k2 且k21. ,設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,又 2，得x1x2y1y22，,解得 k23， ,由得 k21.,故k的取值范圍為 .,(1)研究直線與雙曲線位置關系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關于x或y的一元二次方程.當二次項系數等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數不等于0時，用判別式來判定. (2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關系問題，但需要檢驗.,思維升華,跟蹤訓練3 在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C： 1.設過點M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點若 ，則直線l的斜率 為_,答案,解析,設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,代入雙曲線方程聯立解得,所以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，,即直線l的斜率為 .,典例 已知雙曲線x2 1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？,直線與圓錐曲線的交點,現場糾錯系列10,(1)“點差法”解決直線與圓錐曲線的交點問題，要考慮變形的條件. (2)“判別式0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的通用方法.,錯解展示,現場糾錯,糾錯心得,返回,解 設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 且線段AB的中點為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意. 設經過點P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20). ,由題意，得 1，解得k2.,當k2時，方程可化為2x24x30. 162480，方程沒有實數解. 不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點， 且點P(1,1)是線段AB的中點.,返回,課時作業,1.(2016泰州聯考)已知雙曲線C： 1(a0，b0)的焦距為10， 點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為_.,答案,解析,依題意,解得,雙曲線C的方程為 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016全國乙卷改編)已知方程 1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是_.,答案,解析,方程 1表示雙曲線，,(1,3),(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由雙曲線性質，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2016鹽城模擬)已知雙曲線 1的左，右焦點分別為F1，F2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A，B兩點，若AB5，則ABF1的周長為_.,答案,解析,由雙曲線 1，知a4.,26,由雙曲線定義AF1AF2BF1BF22a8， AF1BF1AF2BF21621， ABF1的周長為AF1BF1AB21526.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016北京)已知雙曲線 1(a0，b0)的一條漸近線為2xy0，一個焦點為( ，0)，則a_，b_.,答案,解析,由2xy0，得y2x，所以 2.,1,又c ，a2b2c2，解得a1，b2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知點F是雙曲線 1(a0，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_.,答案,解析,由題意易知點F的坐標為(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，,ABE是銳角三角形，,(1,2),e(e33e31)1，e(1,2).,整理得3e22ee4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江)設雙曲線x2 1的左，右焦點分別為F1，F2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則PF1PF2的取值范圍是_.,答案,解析,如圖，由已知可得a1，b ，c2， 從而F1F24，由對稱性不妨設P在右支上， 設PF2m，則PF1m2am2， 由于PF1F2為銳角三角形，,結合實際意義需滿足,解得1 m3，又PF1PF22m2，, 2m28.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2016南京三模)設F是雙曲線的一個焦點，點P在雙曲線上，且線段PF的中點恰為雙曲線虛軸的一個端點，則雙曲線的離心率為_.,答案,解析,不妨設雙曲線方程為 1 (a0，b0)，,設F(c,0)，線段PF的中點為(0，b)，則P(c,2b).,由點P在雙曲線上，得 41，所以e .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.設雙曲線 1的左，右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線上位于 第一象限內的一點，且PF1F2的面積為6，則點P的坐標為_.,由雙曲線 1的左，右焦點分別為F1，F2，所以F1F26，,設P(x，y) (x0，y0)，,因為PF1F2的面積為6，所以 F1F2y 6y6，,解得y2，將y2代入 1得x .,所以P( ，2).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.已知F1，F2分別是雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得 0(其中O為坐標原點)，且 ，則雙曲線的離心率為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,在MF1F2中，邊F1F2上的中線等于F1F2的一半，可得 .,根據雙曲線定義得,雙曲線的離心率e 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.(2015課標全國改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C： y21上的一點， F1，F2是C的兩個焦點，若 0，則y0的取值范圍是_.,答案,解析,由題意知a ，b1，c ，,點M(x0，y0)在雙曲線上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點分別為F1，F2，點P在 雙曲線的右支上，且PF14PF2，則此雙曲線的離心率e的最大值為_.,答案,解析,由定義，知PF1PF22a.,又PF14PF2，PF1 a，PF2 a.,在PF1F2中，由余弦定理，得,要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，,當cosF1PF21時，得e ，即e的最大值為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(2015課標全國)已知F是雙曲線C：x2 1的右焦點，P是C的左支上一點，A( ).當APF的周長最小時，該三角形的面積為_.,答案,解析,設左焦點為F1，PFPF12a2， PF2PF1，APF的周長為AFAPPFAFAP2PF1，APF周長最小即為APPF1最小， 當A、P、F1三點在一條直線時最小，,過AF1的直線方程為 1，與x2 1聯立，,解得P點坐標為( )，此時,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.(2016江西豐城中學模擬)一條斜率為1的直線l與離心率為 的雙曲線 1(a0，b0)交于P，Q兩點，直線l與y軸交于R點，且 3， ，求直線和雙曲線的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,e ，b22a2，,設直線l的方程為yxm.,雙曲線方程可化為2x2y22a2.,x22mxm22a20，,4m24(m22a2)0，直線l一定與雙曲線相交. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x22m，x1x2m22a2.,x13x2，x2m， m22a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,消去x2，得m2a2.,x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m) 2x1x2m(x1x2)m2 m24a23， m1，a21，b22.,直線l的方程為yx1，雙曲線的方程為x2 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,