專業好文檔最新小抄經濟數學基礎第一部分 微分學一、單項選擇題1函數 的定義域是（ 且 ）1lgxy1x02若函數 的定義域是0，1，則函數 的定義域是( )(f )2f ,(3下列各函數對中，（ ， ）中的兩個函數相等 f2cossin)(xg4設 ，則 =（ ）xfx15下列函數中為奇函數的是（ ）ly6下列函數中，（ 不是基本初等函數)ln(y7下列結論中，（奇函數的圖形關于坐標原點對稱）是正確的 8. 當 時，下列變量中（ ）是無窮大量x0x219. 已知 ，當（ ）時， 為無窮小量.tan)(f 0)(xf10函數 在 x = 0 處連續，則 k = ( 1)si,fxk11. 函數 在 x = 0 處（右連續 ）,1)(f12曲線 在點（0, 1）處的切線斜率為（ ） xy 2113. 曲線 在點(0, 0)處的切線方程為（ y = x ）sin14若函數 ，則 =（ ）f)()(xf215若 ，則 （ ）xcocossin16下列函數在指定區間 上單調增加的是（e x）,17下列結論正確的有（ x0是 f (x)的極值點 ）18. 設需求量 q 對價格 p 的函數為 ，則需求彈性為 Ep=（ ） pq2332二、填空題1函數 的定義域是 -5，20,152)(xxf2函數 的定義域是(-5, 2 )ln3若函數 ，則5(2f (f6x4設函數 ， ，則1)ux)()u435設 ，則函數的圖形關于 y 軸對稱20(xf6已知生產某種產品的成本函數為 C(q) = 80 + 2q，則當產量 q = 50 時，該產品的平均成本為 3.67已知某商品的需求函數為 q = 180 4p，其中 p 為該商品的價格，則該商品的收入函數 R(q) = 45q 0.25q 2專業好文檔最新小抄8. 1 .xxsinlim9已知 ，當 時， 為無窮小量 f)(0x)(xf10. 已知 ，若 在 內連續，則 2 .12xaxf f,a11. 函數 的間斷點是1()exf012函數 的連續區間是 ， ，)2()1,()2,(),(13曲線 在點 處的切線斜率是y1, ).5y14函數 y = x 2 + 1 的單調增加區間為(0, + )15已知 ，則 = 0fln)()(f16函數 的駐點是3x17需求量 q 對價格 的函數為 ，則需求彈性為p2e1)(pqEp218已知需求函數為 ，其中 p 為價格，則需求彈性 Ep = 320 10三、極限與微分計算題1解 = = = 4lim2x)2(1li2xx )2(limx42解： = 31li1xlix= 21)(2x3解 = 0sinlm1x0)sinli(x x= =2 2 = 4 xxlim104解 =234lisn()x3()lisnx= = 2 3li(1)i()xx5解 2talm)1ta(li21 xx1)tn(lili1xx 316解 = )32)(li65x )2)(li625xx= (65專業好文檔最新小抄7解： (x)= = y)cos2x2cosinl2x= 2cosinlx8解 xf x1si2)(9解 因為 5lnsi2)co(5ln)5coscos2co xxy所以 li(10解 因為 )(ll331xy31ln2ln2所以 xydl3d11解 因為 )(cos5)(sie4in xxinco所以 yx di12解 因為 )(2l)(s132 xxnco3x所以 xyxd)2ls(d213解 (cs)in) xx2ol14解： )5(e)(l3)(2 xyx515解 在方程等號兩邊對 x 求導，得)e()1ln(2yy0 yxxye1e)1ln(故 )l(xyy16解 對方程兩邊同時求導，得0ecosxyy)(專業好文檔最新小抄= .)(xyyecos17解：方程兩邊對 x 求導，得 yxeye1當 時，0x所以， dx0118解 在方程等號兩邊對 x 求導，得)(e)cos(yy11in)sin()(e yxxy siyy故 xyd)in(e1d四、應用題1設生產某種產品 個單位時的成本函數為： （萬元）,x xxC625.01)(求：（1）當 時的總成本、平均成本和邊際成本；10（2）當產量 為多少時，平均成本最小？1解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： xxC625.)(， 0165.0)(xC所以， 18.)(2，.6150.)1(C（2）令 ，得 （ 舍去）2.x20x因為 是其在定義域內唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當 20 時，平均成本最小. x x2某廠生產一批產品，其固定成本為 2000 元，每生產一噸產品的成本為 60 元，對這種產品的市場需求規律為（ 為需求量， 為價格）qp10qp2解 （1）成本函數 = 60 +2000C()因為 ，即 ，10q01所以 收入函數 = =( ) = Rq()p102q（2）因為利潤函數 = - = -(60 +2000) L()C1專業好文檔最新小抄= 40 - -2000 q102且 =(40 - -2000 =40- 0.2L()q令 = 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，它是 在其定義域內的唯一駐點q() L()所以， = 200 是利潤函數 的最大值點，即當產量為 200 噸時利潤最大q(3設某工廠生產某產品的固定成本為 50000 元，每生產一個單位產品，成本增加 100 元又已知需求函數 ，其中 為pq420價格， 為產量，這種產品在市場上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？3解 （1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利潤函數 L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得 p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當價格為 p =300 元時，利潤最大. （2）最大利潤 （元）1025304)3( 4某廠生產某種產品 q 件時的總成本函數為 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為 p = 14-0.01q（元/件），試求：（1）產量為多少時可使利潤達到最大？（2）最大利潤是多少？4解 （1）由已知 01.401.4(pR利潤函數 222 0.1 qCL 則 ，令 ，解出唯一駐點 .q04.q5q因為利潤函數存在著最大值，所以當產量為 250 件時可使利潤達到最大， （2）最大利潤為（元）12300250.251)( 5某廠每天生產某種產品 件的成本函數為 （元）.為使平均成本最低，每天產量應為多少？此時，每件q986.)(qqC產品平均成本為多少？5. 解 因為 = = （ ） C()3698.= = q)050q52.令 =0，即 =0，得 =140， = -140（舍去）.()2.1=140 是 在其定義域內的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 1C所以 =140 是平均成本函數 的最小值點，即為使平均成本最低，每天產量應為 140 件. 此時的平均成本為qq()= =176 （元 /件）()4051369804.6已知某廠生產 件產品的成本為 （萬元）問：要使平均成本最少，應生產多少件產品？q()2126解 （1） 因為 = = Cq()0= = )552q令 =0，即 ，得 =50， =-50（舍去），()201q1=50 是 在其定義域內的唯一駐點q1C專業好文檔最新小抄所以， =50 是 的最小值點，即要使平均成本最少，應生產 50 件產品q1C()第二部分 積分學一、單項選擇題1在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ y = x2 + 3 ）2. 若 = 2，則 k =（1） 0d)(k3下列等式不成立的是（ ） )d(lnx4若 ，則 =（ ）.cxfx2e)(f2e4x5. （ ） dx6. 若 ，則 f (x) =（ ）fx11)( 217. 若 是 的一個原函數，則下列等式成立的是( ) F (d)(aFxfxa8下列定積分中積分值為 0 的是（ ）xd2e19下列無窮積分中收斂的是（ ）110設 (q)=100-4q ，若銷售量由 10 單位減少到 5 單位，則收入 R 的改變量是（350 ）R11下列微分方程中，（ ）是線性微分方程xye212微分方程 的階是（1）.0)()432y二、填空題1 xde222函數 的原函數是- cos2x + c (c 是任意常數)fsin)(23若 ，則c2)1)(f14若 ，則 =xFf(d)( xdecFx)e(5 0 e12lnx6 02)(x7無窮積分 是收斂的（判別其斂散性）0d18設邊際收入函數為 (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，則平均收入函數為 2 + R q39. 是 2 階微分方程.e)(23yx10微分方程 的通解是 cxy3三、計算題 解 cxxx1os)(dsin1sin2專業好文檔最新小抄2解 cxxx2ln)(d23解 cxsinoscosin4解 = 1)l( xxd1)(2l1)(22= c4ln5解 = = = xxd)e1(3ln023l02)ed(1)(xx 3ln0)e(x566解 ld2lnlnl 11e1 e1e142d2xxe17解 = = = xdln12e)lnd(l2e1x 2e1lx)3(8解 = - = =cos2020sisi20cos49解法一 = xxxd1)1ln(d)1ln(e0e xd)1(e1e= =1 e0l解法二 令 ，則u= uuxdlndl)1ln( e1ee0 ee110解 因為 ， P(2Q用公式 d1)ee2d1cxxy d1)e(eln2lncxx2443由 ， 得 712)1(3cy1c所以，特解為 xy4311解 將方程分離變量： yde32等式兩端積分得 cxy1e2將初始條件 代入，得 ， c = 3)1(33e13e61專業好文檔最新小抄所以，特解為： 3e2e3xy12解：方程兩端乘以 ，得 1xln2即yl)(兩邊求積分，得 cxxx2ln)(dlln通解為： cy2由 ，得1x所以，滿足初始條件的特解為： xy2ln13解 將原方程分離變量 dcotl兩端積分得 lnln y = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14. 解 將原方程化為： ，它是一階線性微分方程，ln1，xP1)(xQ)(用公式 ()d()deePycdeln1dcxxln1llx lc)(c15解 在微分方程 中，y2xQx2)(,1)(由通解公式 deded cyxx )()(cxx2x16解：因為 ， ，由通解公式得xP1)(sin)()deiedcxy= =sn(llx)dsin(1cx= )ico1cx四、應用題1投產某產品的固定成本為 36(萬元)，且邊際成本為 =2x + 40(萬元/百臺). 試求產量由 4 百臺增至 6 百臺時總成本的增量，及)(C產量為多少時，可使平均成本達到最低.專業好文檔最新小抄1解 當產量由 4 百臺增至 6 百臺時，總成本的增量為= = 100（萬元） d)02(xC642)0(又 = = cx0)( 3x3令 ， 解得 .3612 6xx = 6 是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產量為 6 百臺時可使平均成本達到最小. 2已知某產品的邊際成本 (x)=2（元/件），固定成本為 0，邊際收益 (x)=12-0.02x，問產量為多少時利潤最大？在最大利潤產量C R的基礎上再生產 50 件，利潤將會發生什么變化？2解 因為邊際利潤=12-0.02x 2 = 10-0.02x )()(RxL令 = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產量為 500 件時，利潤最大.當產量由 500 件增加至 550 件時，利潤改變量為=500 - 525 = - 25 （元）50250 )1.0(d)2.1( x即利潤將減少 25 元. 3生產某產品的邊際成本為 (x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為 (x)=100-2x（萬元/百臺），其中 x 為產量，問產量為多少時，利潤C R最大？從利潤最大時的產量再生產 2 百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x LR令 (x)=0, 得 x = 10（百臺）又 x = 10 是 L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值點，即當產量為 10（百臺）時，利潤最大. 又 xd)10(d120120 205(12即從利潤最大時的產量再生產 2 百臺，利潤將減少 20 萬元. 4已知某產品的邊際成本為 (萬元/百臺)， x 為產量(百臺)，固定成本為 18(萬元)，求最低平均成本.34C4解：因為總成本函數為= xxd)() c2當 x = 0 時， C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 1832又平均成本函數為 xxA183)(令 ， 解得 x = 3 (百臺)0)(2xA該題確實存在使平均成本最低的產量. 所以當 x = 3 時，平均成本最低. 最底平均成本為(萬元/百臺) 918)3(5設生產某產品的總成本函數為 (萬元)，其中 x 為產量，單位：百噸銷售 x 百噸時的邊際收入為C（萬元/百噸），求：xR21)(1) 利潤最大時的產量；(2) 在利潤最大時的產量的基礎上再生產 1 百噸，利潤會發生什么變化？5解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 2x )(x)()(CxRL令 ，得 x = 7 0)(L由該題實際意義可知， x = 7 為利潤函數 L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產量為 7 百噸時利潤最大. (2) 當產量由 7 百噸增加至 8 百噸時，利潤改變量為專業好文檔最新小抄=112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）87287 )14(d)214(xxL即利潤將減少 1 萬元. 第三部分 線性代數一、單項選擇題1設 A 為 矩陣， B 為 矩陣，則下列運算中（ AB ）可以進行.2332設 為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（, T11T)()(B