1、第四章 計算機控制系統分析,4.1 穩定性分析 任何系統在擾動作用下，都會偏離原來的平衡工作狀態。所謂穩定性是指當擾動作用消失以后，系統恢復到原平衡狀態的性能。若系統能恢復平衡狀態，就稱系統是穩定的，否則為不穩定的。系統的穩定性是系統固有特性，它與擾動的形式無關。,因 (4.1) 用 代入 這樣，復變量Z的模值R及相角 與復變量S的實部與虛部的關系是 (4.2) （4.2）式就是S平面與Z平面的基本對應關系。,1. S平面與Z平面的相互關系,具體映射關系為： （1）S平面虛軸映射為Z平面單位圓（ 為0 ，) S左半平面映射在Z平面單位圓內（為 負， ） S右半平面映射在Z平面單位圓外（為 正，

2、 ）,(2）角頻率與Z平面相角關系 角頻率 與Z平面相角的關系為 ,當S平面的點沿虛軸由 變化到 時，Z平面的相角也從 變化到 .Z平面相角從0變化到 （即旋轉一周）,相當S平面 變化一個 。因此在S平面虛軸上 從 變化到 時，Z平面上相角將轉無窮多圈。,表4.2 角頻率 與Z平面相角的關系,（3）S平面上的主帶與旁帶，重復映射在整個Z平面上 S平面上可劃分成許多寬度為的平行帶子，其中 的帶子（從）稱為主帶，其余均稱為旁帶。由于Z平面的相角每隔一個轉一轉，結果主帶映射為整個Z平面，而其余每一個旁帶也都重疊映射在整個Z平面上，見表4.3、圖4.1、4.2。,圖4.2 旁帶映射,圖4.1 主帶映射

3、,例4.1 如圖4.3所示，在S平面上有3個點，分別為，若，求Z平面的映射。,解：,（4）S平面上實軸的平行線（即等頻率線），映射到Z平面是從原點出發的射線；S平面上虛軸的平行線（即等衰減系數線），映射到Z平面是同心圓。見表4.3，圖4.4，圖4.5。,圖4.4 實軸并行線的映射,圖4.5 虛軸并行線的映射,（5）S平面上等阻尼比線的映射 設S平面上有一對共軛復極點，它的二階振蕩系統特征方程 的根。 (4.3) （4.3）式中， 為阻尼比， 為無阻尼自然振蕩頻率。,圖4.6 等阻尼比較及其映射,式（4.4）表示，阻尼比 相同的特征根軌跡是從原點出發的射線。在該射線上，特征根的圖4.6（a）表示

4、了特征根與 和阻尼振蕩頻率 之間的幾何關系。從圖中可見： (4.4) 實部可用其虛部 來表示，即,將上式映射至Z平面得 由上兩式可見，當 （即阻尼比 ）為常值時，映射至Z平面，其模值隨 指數衰減，其相角隨 線性增長，構成一條對數螺旋線，見圖4.6（b）。,（6）S左半平面主帶的映射。 當S平面的點沿主帶左半平面的周邊走1圈時，其映射關系可用圖4.7表示。,表4-5 主帶左半平面的映射,表4-5 主帶左半平面的映射,圖4.7 S平面主帶左半平面的映射,通過圖4.7的說明，可以清楚地看到，S左半平面的主帶是如何具體地映射到Z平面單位圓內的。同理，S左半平面的旁帶也可以同樣方式重疊映射到Z平面單位圓

5、內。,（7）S右半平面主帶的映射,主帶右半平面的數學表達式為 根據與前述相同的分析方法，可得出S右半平面主帶區在Z平面上映射為單位圓的外部區域，如圖4.8所示。,圖4.8 S平面主帶右半平面的映射,根據與前述相同的分析方法，可得出S右半平面主帶區在Z平面上映射為單位圓的外部區域，如圖4.8所示。,2離散系統的穩定性,根據S平和Z平面的映射關系，離散系統穩定的充要條件是系統的特征全根部位于Z平面的單位圓內，只要有一個根在單位圓外，系統就不穩定。若系統的根位于單位圓上，系統處于穩定邊界，亦稱為系統不穩定。,若該脈沖傳遞函數為 個單極點 ，則 (4.7) 反變換后 (4.8) 要使系統穩定，當 時,

6、 衰減為零， (4.9) ，故 ，即特征根的模應小于1，即位于單位圓內。,上述結論，對 Y(z) 中有重根時也成立。為了解系統的穩定性，就需要求出它的全部特征根，但這對高階系統是很困難的。下面介紹Z平面的穩定性判斷其他方法。,4.2 離散控制系統的穩定性分析,本節首先討論線性定常離散系統的穩定性分析，主要介紹z域中的朱雷（Jury）和勞斯穩定判據。進一步討論李雅普諾夫穩定性分析。,朱雷穩定性判別表的規范格式，如表4.6所示。,在表4.6中，第一、第二行的元素是由 多項式的各項系數組成的。第一行是按 的升冪次序排列；第二行是按 的降冪次序排列。,在表4.6中，偶數行的各元素是它的前面奇數行的元素

7、按相反次序排列而成。,朱雷穩定判據是：當由(4.6)式所示的系統的特征方程式滿足下述條件時，那么該系統是穩定的，即,例4.2 已知系統的特征方程式為 試構成穩定判別表并寫出穩定性條件,解：參照表4.6，并考慮到 和 計算上的方便性，對表4.6的格式略作修改后，可構成一個4階系統的穩定性判別表，如表4.7所示。,表4.7 例4.2 4階系統的穩定判別表,在表4.7中，每一行的左邊給出了計算 和 的行列式，右邊寫出了 和 的值。,該系統穩定的條件是,（1） （2） （3） 偶數 （4）,解：首先列出z多項式的系數為,例4.3 已知系統的特征方程式為 試判別系統的穩定性。,顯然，第1個條件， 是滿足

8、的。現檢查第2個條件，因為 上式表明，至少有1個根在 處，因此該系統最多是臨界穩定的。現檢查第3個條件，,因為 n=3=奇數. 顯然，第3個條件是滿足的。,現檢查第4個條件，由行列式 計算得 和 ，因此 ，所以 第4個條件也是滿足的。,由上述分析可見，該特征方程的根，有1個處在單位圓上 ，其余兩個根處在單位圓內，故該系統是臨界穩定的。,例4.4 已知系統的開環脈沖傳遞函數為 試用朱雷穩定判據，求閉環離散控制系統為穩定時的增益K值的范圍。,因為這是1個2階系統，所以穩定判據的條件是 （1） （2） （3） 偶數,因為， 所以滿足第1個條件，可得 或,滿足第2個條件，可得 即,滿足第3個條件，可得

9、 即,同時滿足上述3個條件，可得增益K的范圍為,必須指出，離散控制系統與連續系統不同，在離散控制系統里，采樣周期是系統的一個重要參數，它的大小影響上述特征方程 中z的各階次的系數，可見對閉環系統的穩定性有明顯的影響。現舉例說明如下：,例4.5 已知某離散系統的開環傳遞函數為 現討論采樣周期T對系統穩定性的影響。,解：考慮零階保持環節后，系統開環組合Z傳遞函數為,閉環系統的特征方程式為,為了使系統穩定，要求特征根在單位圓內，即 得，,取 ，則 ； 取 ，則 ； 取 ，則 。 可見，當采樣周期減小時，使系統穩定， 的范圍將增大。,結論：采樣系統的穩定性比連續系統差，如對開環傳遞函數 的連續系統，在

10、 時均是穩定的。而在采樣系統中， 必須限制在一定范圍內。 采樣周期T也是影響穩定性的參數，T減小，穩定性增強,（2）雙線性變換的勞斯穩定判據,分析離散控制系統穩定性的另一個方法是雙線性變換的勞斯穩定判據。這種方法的優點是比較簡單、直接。但相對朱雷判據來說，計算量比較大。在應用雙線性變換的勞斯判據時，首先需要從z平面變換到另一個W 復平面中，所以稱為雙線性變換。,現在定義雙線性變換式為 （4.12） 由（4.12）式，可得 （4.13）,從下面的分析中，可以得到證明，在 平面中的單位圓映象為 平面中的左半平面。,因為，在 平面中的單位圓內，可表示為,將 W 分解為實部 和虛部 兩部分。即 （4.

11、14）,或 （4.15） 由(4.15)式，得 （4.16） 即 （4.17）,（4.17）式表明：在z平面中的單位圓的內部 ，相當于 W 平面中的左半平面。在z平面中的單位圓的圓周，映象為W平面的虛軸。在z平面中的單位圓的外部，映象為W平面的右半平面。,在用雙線性變換進行穩定性分析時，首先用 替代特征方程式中的z。,例如，特征方程式為 （4.18） 經過上述替換后，可得 （4.19）,將（4.19）式的等號兩邊乘上 ，可得 （4.20） 這樣，就可以在W域中使用勞斯穩定判據，用分析連續系統穩定性方法來分析離散系統的穩定性。,例4.6 已知離散控制系統的特征方程式為 試用雙線性變換的勞斯判據，

12、分析該離散系統的穩定性,解：將特征方程式中的z用 來替換，得,將上式的等號兩邊乘上 并經簡化后，得 對上式列出的勞斯陣列為 （4.21）,上述勞斯陣列中的第1行，即 W 的最高階次行，由 中偶數項的系數組成，即 上述勞斯陣列中的第2行，即 W 的次高階次行，由 中奇數項的系數組成，即,以下各行元素需要進行計算，即上述勞斯陣列中的第3行改為C1,C2,C3,等均需進行計算。,計算的公式如下： 其余依次類推。,根據上述計算，得例4.6的勞斯陣列，如式（4.21）所示。,勞斯穩定判據為 （1）勞斯陣列中，若第1列元數均為正或均為負，則系統穩定。 （2）若第一列元數的符號有變化，其變化的次數，即為單位圓外根的個數。 因為在上述陣列中的第1列元素中，有一次符號的改變，故有一個根在單位圓外，該系統是不穩定的。,勞斯穩定判據的特殊情況： （1）在勞斯陣列中，若任意一行中的第一個元素為零，其他不為零； （2）在勞斯陣列中，若任意一行中的所有元素均為零。,若遇到上述情況，為勞斯陣列的特殊情況。這種情況的產生，表示零元素上面一行的方程中有： 相反符號的實根對； 有一對虛根； 有一對稱原點的共軛復數根。,發生上述情況時，勞斯陣列需作特殊處理。對第1種情況，即第一個元素為零，可作如下處理。用一個小的正 ， 或小的負 來代替零元素。（正 還是負 ，視零元素上一行的符號而定。若零元素