1、高三數學第一輪復習：不等式的解法【本講主要內容】 不等式的解法【知識掌握】【知識點精析】 “”是不等“”與方程“”的聯合體，故相應解集是不等式解集與方程解集的并集。 1. 常見不等式的解法步驟： （1）對axb形式的不等式，當a0時解集為，當a0時解集為，當a0且b0時解集為R，當a0且b0時，解集為； 因未限制a的符號，故ax-b不必另行列出。 （2）一元二次不等式我們總可化為x2+bx+c0和x2+bx+c0x2+bx+c00 （3）特殊的高次不等式f （x）0或f（x）0或g（x）； 形如：； （6）指數、對數不等式，化為同底的方法是指數、對數不等式的基本解法，要注意定義域為前提，且必須

2、在原始不等式中求定義域，在無法確定指數、對數函數的單調性時，必須推論底與1的大小關系，然后分類解答。不同底的對數不等式需用換底公式化為同底不等式來解，底中含有未知數的對數不等式常常用換底公式化為常數為底的對數不等式。 （7）關于絕對值不等式，應首先理解絕對值（此處是指實數的絕對值）的意義：當a0時|a|a；當a0時|a|0；當a0時|a|-a。 對|x|0時，-axa，當a0時，xa或x-a；當a0時，x0；當a0，原式同解于。 解： 時，左右。 原不等式解集為 評講：采用序根法時，要注意兩點：（1）由于有等號，故分子相應的根標實點，分母相應的根用空圈，（2）對于，當x比最大根2大時，左為負值

3、，草圖應從右下開始，最好改寫為，則穿根時要從右上開始。 例2. 解關于x的不等式 分析：首先應考慮有意義：a2-2x20，知分界點為0，當a0時，原不等式即，解集為。當a0時，時左邊有意義，而右邊是否需要平方要看x-a是否成立，討論應圍繞-a與間的大小關系進行。 解：（1）當a0時，原不等式即。（2）當a0時，此時x+a0，原不等式同解于，即3x2+2ax0，。 3. a0時，此時x+a恒負，原不等式成立。 評講：解無理不等式的要點是去掉根號，化為有理不等式，方法通常是兩邊平方，但要注意這種變形的依據是不等式平方的性質：ab0a2b2， 其中a，b的非負條件不可缺少，若abb0（a）2（b）2

4、，即a2b2。 例3. 已知a0且a1，解關于x的不等式：。 分析：先利用指數函數的單調把兩邊的底數化去，再解一個關于對數式logax為變元的二次不等式。 解：原不等式 x11時，122log axlog a2x，； 0x22log axlog a2x，； （1）當a1時，原不等式等價于或，1xa或0x； （2）當0a1時，原不等式或,1x或0x1時，仍然使用同底法化為logax1logaa，然后根據a的取值范圍討論。【考點突破】【考點指要】 高考考綱要求:掌握簡單不等式的解法。 不等式是中學數學的重要內容，其知識滲透到中學數學的許多章節，再加上它的實際生活中的廣泛應用性，決定了它是高考常考的

5、熱點。高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數概念，特別是二次函數、指數函數、對數函數等有關概念和性質密切聯系，應重視；從歷年高考題目看，關于解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 列表如下：年份題號分值占總分比例題型考查知識200019128%解答題解不等式與函數的綜合200117128%選擇題解不等式2002453.5%選擇題解不等式2020353.5%選擇題解不等式2020全國153.5%選擇題集合與解不等式2020全國I9511.5%選擇題指數與對數不等式1912解答題二次函數與二次不等式2020全國I153.5%選擇題集合與解不等式2020福建21

6、128%解答題函數與二次不等式 縱觀近幾年高考試題中對不等式解法的考查，其分值約占總分的10%14%，從題型上看有以下幾個特點： 在選擇題中結合集合及其它知識點考查對簡單不等式的求解，有時還可能與函數、方程等內容的小綜合。 在填空題中考查簡單不等式的解法，建立不等式求參數的取值范圍，等。 在解答題中，解不等式仍是高考的熱點。【典型例題分析】 例4. （2020年上海）記函數f（x）的定義域為A，g（x）lg（xa1）（2ax）（a1）的定義域為B。 （1）求A； （2）若BA，求實數a的取值范圍。解：（1）20，得0，x0，得（xa1）（x2a）0。 a2a，B（2a,a+1）。 BA，2a1

7、或a+11，即a或a2，而a1 a0的解集為（ ） A. x|x3C. x|x3D. x|1x0且a1，解關于x不等式: |2|log ax2|2，Bxx6x+80的解集是_。 12. （2020年濰坊二模）不等式x2|x1|10的解集為_。三. 解答題 13. （1998全國文，20）設ab，解關于x的不等式a2xb2（1x）axb（1x）2。 14. （2020年南京二質檢）解關于x的不等式x（aR）。 15. 已知適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3。 （1）求p的值； （2）若f（x），解關于x的不等式f-1（x）（kR+）達標測試答案一. 選擇題： 1. 解析：解得

8、A（-,1）（1,+ ），B-3,2，所以AB 選A 2. 解析：由得：，即，故選D。 3. 解析：由|ax+2|6得6ax+26，即8ax4。不等式|ax+2|6的解集為（1，2），易檢驗a4。答案：C 4. 解法一：當x2時，原不等式化為， 去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2）， 即x2x6x2x6，2x2120，. 注意x2，得2x； 當0x2時，原不等式化為，去分母得x2x6x2x6 即2x0 注意0x2，得0x2. 綜上得0x，所以選C。 答案：C 解法二：特殊值法。取x2，適合不等式，排除A；取x2.5，不適合不等式，排除D；再取x，不適合不等式，所以排除B；選C。 5.

9、解法一：x+2x2+00x（x1）（x+1）01x0或x1。解法二：驗證，x2、不滿足不等式，排除B、C、D答案：A 6. 解法一：x0時，原不等式化為：（1x）（1x）0 （x1）（x1）0 0x1 x0時，原不等式化為：（1x）（1x）0（1x）20 x1 x0且x1 綜上，不等式的解集為x1且x1. 解法二：原不等式化為： 或 解得1x1 解得即x1 原不等式的解集為x1且x1 選D 7. 解析：由已知（x1）（x3）0，x3. 故原不等式的解集為x|x3 答案：C 8. 解析：原不等式等價于： 0x1. 答案：C二. 填空題： 9. 解析：ax2+（ab+1）x+b0的解集為x|1x2

10、， 解得或 a+b或3 答案：或3 10. 解析：由題意，知0、2是方程x2+（2m）x0的兩個根， 0+2 m1 11. 解析：將不等式變形得. 答案：x|2x4 12. 解析：0x+68，即6x+2，解之得三. 解答題： 13. 解： 所以，原不等式組的解集為x|x5. 14. 解：原不等式變形為ax2+（a2）x20. a0時，x1； a0時，不等式即為（ax2）（x+1）0， 當a0時，x或x1； 由于（1），于是 當2a0時，x1； 當a2時，x1； 當a2時，1x. 綜上，當a0時，x1； 當a0時，x或x1； 當2a0時，x1； 當a2時，x1； 當a2時，1x。 15. 解：原

11、不等式等價于|2log ax2|log ax2|1時，原不等式等價于（1） 或（2）或（3） 解（1）得xa，解（2）得axa2，不等式組（3）無解， 原不等式解集是x| aa2； 當0a1時，原不等式等價于（1） 或（2）或（3） 解（1）得ax，解（2）得a2xa，不等式組（3）無解 原不等式解集是x| a2a1時,原不等式的解集是x|aa2，當0a1時,原不等式解集是x|a2a【綜合測試答案】一. 選擇題： 1. 解析：A（-，-1）（3，+），A-1,3，又B（2,4），所以（A）B（2,3）選B 2. 解析：P（-，0）1，+，Q（1，+），解得（1，+） 選C 3. 解析：在數軸上

12、標出各根。 答案：A 4. 解析：條件集是結論集的子集，所以選B。 5. 解析：由|2x21|1得12x2110x21，即1x1 答案：A 6. 解析：不等式的解集是，即方程的解為故 選D 7. 解析：可化為 1x+13或-3x+1-1，解得0x2或-4x0，xloga3 . 選 C二. 填空題： 9. 答案：x|3x2 10. 解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1。 解法二：在同一直角坐標系下作出f（x）|x+2|與g（x）|x|的圖象，根據圖象可得x1。 解法三：根據絕對值的幾何意義，不等式|x+2|x|表示數軸上x到2的距離不小于到0的距離，x1。 答案：x|x1 11.

13、 解析：觀察表格中的數據可知，拋物線開口向上且對應二次方程的兩根為-2,3，故所求解集 12. 解析：當x10時，原不等式化為x2x0，解得0x1。x1； 當x10時，原不等式化為x2+x20，解得2x1。2x1. 綜上，2x1。答案：x|2x1三. 解答題 13. 解：將原不等式化為（a2b2）xb2（ab）2x22（ab）bxb2 移項，整理得（ab）2（x2x）0， ab，即（ab）20，x2x0，0x1 不等式的解集為x|0x1 14. 解法一：由x，得x0，即0 此不等式與x（ax1）0同解 若a0，則x0； 若a0，則x0； 若a0，則x0或x 綜上，a0時，原不等式的解集是（，0） a0時，原不等式的解集是（，0） a0時，原不等式的解集是（，0）（，+） 解法二：由x，得x0，即0 此不等式與x（ax1）0同解 顯然，x0 （1）當x0時，得ax10 若a0，則x，與x0矛盾 此時不等式無解； 若a0，則10，此時不等式無解； 若a0，則x （2）當x0時，得ax10 若a0，則x，得x0 若a0，則10，得x0； 若a0，則x，得x0； 綜上，a0時，原不等式的解集是（，0）； a0時，原不等式的解集是（，0）； a0時，原不等式的解集是（，0）（，+） 15. 解：（1）適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3， x30，|x3|3x。