第3章功和能本章重點：3.1；3.2；3.3；3.4本章作業：1/273.1功保守力力對空間積累

？3.1.1、功（work）由所作功∶1、外力對質點功元功：直角坐標下：2/272、多個力作用時功（對質點）協力對質點所作功，等于每個分力所作功代數和。（1）功是標量（可正、可負、可為零）（2）功與路徑相關，是過程函數（過程量）（3）功是力對空間積累（4）功單位為焦耳（J）說明3/271彈簧彈力功。解當物體處于

x處時所受彈力為：物體由xa移動到xb處時彈性力所作功為：由此可見：彈簧伸長時，彈力作負功；彈簧收縮時，彈力作正功。 彈性力功A大小僅與始末狀態相關，而與路徑無關。3.1.2、幾個常見力功4/272重力功

作用于質點上重力

位移元在由P1到P2過程中重力做功為:重力功只與始、末位置相關，與詳細路徑無關。質點下降時重力作正功，質點上升時重力作負功。5/273萬有引力功。m1

在m2引力場沿其橢圓軌道由ra移到rb。求引力對m1所作功。解：討論①萬有引力功A大小僅與始末狀態相關,而與路徑無關。②在不一樣位置，其功正負和數值不一樣，在c,d點A=0,在f點附近作正功，在e點附近作負功。③軌道為圓形時，A=0.6/274摩擦力功

質量為m質點，在固定粗糙水平面上由初始位置P1沿某一路徑L1運動到末位置P2，路徑長度為s，如圖所表示。因為摩擦力方向總是與速度方向相反。所以元功質點由P1點沿L1運動到P2點過程中，摩擦力所做功為:摩擦力功不但與始、末位置相關，而且與詳細路徑相關。

7/273.1.3、保守力與非保守力特點：功只與初、末位置相關，而與質點詳細路徑無關．1、保守力：作功只與物體始末位置相關，而與路徑無關力。例：重力、萬有引力、彈性力、靜電力等8/27保守力環流等于零。3、非保守力：力所做功與路徑相關，或力沿閉合路徑功不為零。這種力為非保守力。

如摩擦力、沖力、火箭推進力等2、保守力沿任何一閉合路徑所作功為零。證實：9/27平均功率：瞬時功率：3.1.4、功率(power)表示作功快慢物理量定義：功隨時間改變率.SI單位:焦耳/秒(瓦特)10/273.2勢能3.2.1、勢能從3.1中得到，相關重力、萬有引力、彈性力做功公式分別為與始末位置坐標改變相關，而與路徑無關。保守力做功必定伴伴隨能量改變，而這種能量僅與位置坐標相關。我們把這種與位置坐標相關能量稱為勢能：積分路徑是任意。質點從a點移到零勢能點過程中，保守力作功。11/27重力勢能為

萬有引力勢能為

彈性勢能為

③只有保守力場才能引入勢能概念。①勢能是屬于整個系統。②勢能只有相正確意義，在零勢能點確定之后，各點勢能才含有唯一確實定值。說明12/27質點在保守力場中任意兩點（如點a和點b）勢能差等于把質點從a點經過任意路徑移到b點過程中保守力F所做功。即得重力勢能差、萬有引力勢能差和彈性勢能差分別為可統一寫成

13/273.2.2、保守力與勢能梯度在保守力場中，質點在某點所受保守力等于該點勢能梯度矢量負值。—哈密頓算符14/273.3.1、質點動能定理末態狀態量初態狀態量造成狀態量改變1.質點動能標量因為運動而含有能量狀態量3.3動能定理15/272.質點動能定理合外力對質點做功等于該質點動能增量。—質點動能定理①功是動能改變量度 外力作正功，質點動能增加

外力作負功，質點動能降低②A為過程量，與過程相關，而Ek為狀態量③A與v應對應同一慣性系說明3.用動量表示動能mpEK22=動能定理微分形式動能定理積分形式16/27例題3.1質量為m、線長為l單擺，可繞o點在豎直平面內擺動。初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求擺線與水平線成角時，擺球速率和線中張力。解擺球受擺線拉力T和重力mg,協力作功為由動能定理牛頓第二定律法向分量式為:

17/27證實：由牛頓第二定律：又因為故有：即：亦即：補充例題在光滑水平桌面上平放有半圓形屏障。質量為m滑塊以速度v0沿切線方向進入屏障內，滑塊與屏障間摩擦系數為μ，試證實：當滑塊從屏障另一端滑出時，摩擦力所作功為：18/27作定積分，得：即：故：由質點動能定理得：19/27質點系全部內力之和為零1、質點系內力和外力：外力：質點系以外物體對系統作用力稱為外力。內力：質點系內各質點之間相互作用力稱為內力。注意:質點系中任意一個質點，比如第i個質點受系統內其它質點作用力矢量和不一定為零。

質點系內各質點受外力矢量和稱為質點系受合外力，即3.3.2、質點系動能定理：含兩個或兩個以上質點力學系統。

20/27對m1:對m2:對各質點應用動能定理：兩式相加，得：即2、質點系動能定理：21/273.4.2、機械能守恒定律只有每一微小過程中外力作功和非保守內力作功之和為零時，則此過程中機械能守恒。語言表述：假如一個系統所受外力和非保守內力對它所作總功一直為零，或只有保守內力作功而其它內力和外力都不作功，則系統各物體動能和勢能能夠相互轉換，但其和為一恒量。上式是不是機械能守恒定律條件和表示式？問：3.4.3、能量守恒定律：各種形式能量能夠相互轉換，但不論怎樣轉換，能量既不能產生，也不能毀滅，總量保持不變。22/27例題3.3如圖所表示，有一質量略去不計輕彈簧，其一端系在鉛直放置圓環頂點P，另一端系一質量為m小球，小球穿過圓環并在圓環上作摩擦可略去不計運動。設開始時小球靜止于A點，彈簧處于自然狀態，其長度為圓環半徑R。當小球運動到圓環底端B點時，小球對圓環沒有壓力。求此彈簧勁度系數。解取彈簧、小球和地球為一個系統，小球與地球間重力、小球與彈簧間作用力均為保守內力。而圓環對小球支持力和P點對彈簧拉力雖都為外力，但都不做功，所以，小球從A運動到B過程中，系統機械能守恒。取彈簧為自然狀態時彈性勢能為零；取B點處重力勢能為零，由機械能守恒定律可得B點時由牛頓第二定律得方程

23/27例題3-4要使物體脫離地球引力范圍，求從地面發射該物體速度最小值為多大？

解：由機械能守恒定律得到

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例題3.5

當前，天體物理學家預言有一類天體，其特征是它引力非常之大，以至包含光在內任何物質都不能從它上面發射出來，這種天體被稱為黑洞（blackhole)。若因為某種原因，太陽變成了一個黑洞，它半徑必須小于何值？

解

由機械能守恒定律當時m要從M上逃逸，有：逃逸速度為v與m無關，與R,M相關.光也不能從此天體上逃逸出來，成為黑洞若一個質量M天體，只要半徑R縮小