第第頁2024年廣東省惠州市仲愷高新區中考二模數學試題一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．2024的倒數是（）A．2024 B．?2024 C．?12024 2．今年哈爾濱旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈爾濱市累計接待游客3047900人次，其中3047900這個數字用科學記數法表示為（）A．30.479×105 B．3.0479×105 C．3．剪紙文化是我國最古老的民間藝術之一，下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．為深入落實“立德樹人”的根本任務，堅持德、智、體、美、勞全面發展，某學校積極推進學生綜合素質評價改革，某同學在本學期德智體美勞的評價得分如圖所示，則該同學五項評價得分的眾數，中位數，平均數分別為（）?? A．8，8，8 B．7，7，7.8 C．8，8，8.6 D．8，8，8.45．下列運算正確的是（）A．3a+2b=5ab B．?8C．(?2a2)6．一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形7．不等式組x?1≤02x+6<2A． B．C． D．8．光線在不同介質中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，則∠2=（）A．61° B．58° C．48° D．41° 第8題圖 第10題圖9．2024年3月17日惠州舉辦了首屆馬拉松，本屆賽事以“暢跑山海惠州，盡享東坡文化”為主題，以弘揚惠州東坡文化為主旨，是一場體現文旅體深度融合的“嘉年華”賽事．已知總賽程約為42km，在同一場比賽中A選手的平均速度是B選手的1.2倍，最終A選手沖刺終點的時間比B選手提前20分鐘，若設B選手的平均速度是xkm/?，則可列方程為（）A．421.2x?42C．421.2x?4210．構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACA．2+1 B．2﹣1 C．2 D．二、填空題（本大題5小題，每題3分，共15分）11．因式分解：x2?1=12．反比例函數y＝k+1x的圖像經過點（－2，3），則k的值為13．如圖所示，點A、B、C對應的刻度分別為0、2、4，將線段CA繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點A1，則此時線段CA掃過的圖形的面積為． 第13題圖 第14題圖14．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠A＝110°，則∠BOD＝°．15．七巧板是我國祖先的一項卓越創造，被譽為“東方魔板”．由邊長為62的正方形ABCD可以制作一副如圖中圖1所示的七巧板，現將這副七巧板在正方形EFGH內拼成如圖中圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點Q，R分別與圖2中的點E，G重合，點P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題8分，共24分）16．計算：π?0.1417．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．18．某校九年級舉行了“中國夢”演講比賽活動，學校團委根據學生的成績劃分為A，B，C，D四個等級，并繪制了如下兩個不完整的兩種統計圖．根據圖中提供的信息，回答下列問題（1）參加演講比賽的學生共有人，并把條形圖補充完整；（2）扇形統計圖中，m＝；C等級對應的扇形的圓心角為度．（3）學校準備從獲得A等級的學生中隨機選取2人，參加全市舉辦的演講比賽，請利用列表法或樹狀圖法，求獲得A等級的小明參加市比賽的概率．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，求這棟高樓BC的高度．20．某商店銷售十臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和十臺B型的電腦利潤為3500元．（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中，B型電腦的進貨量不超過A型電腦的兩倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售利潤為y元，①求y關于x的函數關系式；②該商店購進A型，B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？21．歐幾里德，古希臘著名數學家．被稱為“幾何之父”．他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上最成功的教科書．他在第三卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖1，設點P是已知點，圓O是已知圓，對于上述命題，我們可以進行如下尺規作圖：①連接OP，作線段OP的中點A；②以A為圓心，以AO為半徑作圓A，與圓O交于兩點Q和R；③連接PQ、PR，則PQ、PR是圓O的切線．（1）按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形（保留作圖痕跡，痕跡要清晰）；（2）為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明“PQ、PR是圓O的切線”的過程；（3）如圖2，連接QO并延長交圓O于點B，連接BR，已知BR=2，圓O的半徑r=5，求PQ五、解答題（三）（本大題2小題，每小題12分，共24分）22．綜合與實踐問題情境在綜合與實踐課上，老師出示了兩張全等的三角形紙片ABC，DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，AC=DE=6，BC=FE=8．如圖1，三角形紙片ABC與三角形紙片DFE重合，然后將紙片△CDF繞點C順時針旋轉（旋轉角不超過90°），CF與AB交于點G，DF與AB交于點操作與計算（1）如圖2，當CD∥AB時，求GH的長．深度思考（2）“雄鷹”小組受到了啟發，提出了問題：如圖3，當CG=CD時，試猜想GH與HD的數量關系，并說明理由．拓展探究（3）“智慧”小組進一步研究．如圖4，過點F作AC的平行線交AB于點M，過點H作AC的平行線交CF于點N，連接MN．當∠BCF=∠B時，直接寫出四邊形MNHF的面積．23．定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵2024×1∴2024的倒數是12024故答案為：D．

【分析】利用倒數的定義（乘積為1的兩個數互為倒數）分析求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】3047900=3.0479×106，

故答案為：C。

【分析】把一個數表示成a×10n的形式時，a和n的確定方法如下：將原數的小數點移到從左到右第1個不是0的數字的后邊即可得到a的值n的確定方法有兩種：①n為比原數整數位數少1的正整數；②小數點向左移動了幾位，n就等于幾.3．【答案】A【解析】【解答】解：A、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意，選項正確；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意，選項錯誤；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，選項錯誤；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，選項錯誤；故答案為：A．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．4．【答案】D【解析】【解答】解：該同學五項評價得分分別為7，8，8，9，10，出現次數最多的數是8，所以眾數為8，這組數據從小到大排列后，位于中間位置的數是8，所以中位數是8，平均數為7+8+8+9+105故答案為：D.【分析】眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做眾數，(眾數可能有多個)，中位數：將一組數據按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數據的個數是奇數個時，則處在最中間的那個數據叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數個時，則處在最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此根據圖表讀出該同學五項評價得分，即可得出答案.5．【答案】C【解析】【解答】A、3a與2b不是同類項，不能合并，3a+2b≠5ab，故A不符合題意；B、?8a2÷4a=?2aC、(?2a2)D、4a3·3故答案為：C．

【分析】利用合并同類項、單項式除以單項式、單項式乘單項式及積的乘方和冪的乘方逐項判定即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：設所求正n邊形邊數為n，由題意得（n﹣2）?180°=360°×2解得n=6．則這個多邊形是六邊形．故答案為：C．【分析】利用多邊形的外角和內角和定理求解即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：x?1≤0解①得：x≤1，解②得：2x<?4，x<?2可以在數軸上表示：故答案為：D.

【分析】先利用一元一次不等式的計算方法及步驟（先移項并合并同類項，再系數化為“1”即可）分析求出解集，再在數軸上表示出解集即可.8．【答案】B【解析】【解答】如圖所示：

根據題意可得：AB//CD，AC//BD，

∴∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，

∵∠1=122°，

∴∠CAB=180°-∠1=180°-122°=58°，

∴∠2=∠CAB=58°，

故答案為：B.

【分析】利用平行線的性質可得∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，再求解即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵在同一場比賽中A選手的平均速度是B選手的1.2倍，B選手的平均速度是xkm/?，∴A選手的平均速度為1.2xkm/?，∵總賽程約為42km，最終A選手沖刺終點的時間比B選手提前20分鐘，20min=1∴42x故答案為：B．【分析】20分鐘化為1310．【答案】B【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，

設AC＝x，則BC＝x，AB＝2x，CD＝(1+2∴tan22.5°=tan∠D=故答案為：B.【分析】延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設AC＝x，則BC＝x，AB＝2x，CD＝(1+2)x11．【答案】(x+1)(x?1)【解析】【解答】解：x2?1故答案為：(x+1)(x?1)．

【分析】因式分解：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，根據定義求解。

12．【答案】-7【解析】【解答】∵反比例函數y=k+1x∴k+1=-2×3，∴k=-7．故答案為-7．

【分析】將點（-2，3）代入反比例函數y=k+1x13．【答案】8【解析】【解答】解：由題意，知AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°．由旋轉的性質，得A1C=AC=4．

在Rt△A1BC中，cos∠ACA1=BCA1C=12．

∴∠ACA1=60°．

∴扇形ACA1的面積為60×π×42360=83π．

即線段CA掃過的圖形的面積為14．【答案】140【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，

∴∠BOD＝2∠C＝140°．

故答案為：140

【分析】根據圓內接四邊形的性質求出∠C的度數，再根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可求出答案.15．【答案】6【解析】【解答】解：如圖2中，連接EG，作GM⊥EN交EN的延長線于M．∵正方形ABCD的邊長為62，∴PD=DR=RC=32∴PR=PD∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18，∴EG＝EM∴EH＝EG2故答案為：65【分析】連接EG，作GM⊥EN交EN的延長線于M，先利用正方形的性質求出PD=DR=RC=32，再求出GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18，利用勾股定理求出EG的長，最后求出EH＝EG16．【答案】解：π?0.140=1?2×2=1?2【解析】【分析】根據0指數冪，特殊角的三角函數值，二次根式的性質化簡，再計算即可求出答案.17．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，且AB＝CD，

∵AE＝CF，

∴BE＝DF，

∴BE∥DF且BE＝DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．【解析】【分析】先利用平行四邊形的性質可得AB∥CD，且AB＝CD，再利用線段的和差及等量代換可得BE＝DF，最后結合BE∥DF且BE＝DF，即可證出四邊形BFDE是平行四邊形．18．【答案】（1）32，B等級的人數為：32﹣4﹣12﹣8＝8，補全的條形統計圖如圖所示；

（2）37.5，135；（3）設小明用a表示，另外三名學生用b、c、d表示，樹狀圖如下圖所示，則獲得A等級的小明參加市比賽的概率是612即獲得A等級的小明參加市比賽的概率是12【解析】【解答】解：（1）參加演講比賽的學生共有：8÷25%＝32（人），

故答案為：32（2）m%＝1232即m＝37.5，C等級對應的扇形的圓心角為：360°×1232故答案為：37.5，135；【分析】（1）根據D等級的人數和所占的百分比可以求得參加演講比賽的學生，從而求得B等級的學生數，進而將條形統計圖補充完整；（2）根據統計圖中的數據可以求得m的值和C等級對應的扇形的圓心角的度數；（3）畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出獲得A等級的小明參加市比賽的結果，再根據概率公式即可求出答案.19．【答案】解：過點A作AD⊥BC于點D，

根據題意得，∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120，

在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD，

∴BD=120×33=403，

在Rt△ADC中，tan∠CAD=DCAD【解析】【分析】過點A作AD⊥BC于點D，利用正切定義可得tan∠BAD=BDAD20．【答案】（1）解：設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意得10a+20b=400020a+10b=3500，

解得：a=100答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.（2）解：①根據題意得，y=100x+150(100?x)，即y=?50x+15000；

②根據題意得，100?x≤2x，解得x≥331∵y=?50x+15000，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數，∴當x=34時，y取最大值，則100?x=66，此時最大利潤是y=?50×34+15000=13300．即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大，最大利潤是13300元．【解析】【分析】（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，根據“銷售十臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和十臺B型的電腦利潤為3500元”列方程10a+20b=400020a+10b=3500，再求解即可；

（2）①利用“總利潤=每件利潤×數量”列出函數解析式即可；

②21．【答案】（1）解：如圖，（2）解：連接AQ,OQ,AR,OR，∵AQ=AP=AO，∴∠APQ=∠AQP,∠AQO=∠AOQ，∵∠QAO+∠AQO+∠AOQ=180°∴∠APQ+∠AQP+∠AQO+∠AOQ=180°，∴∠AQP+∠AQO=90°，∴OQ⊥PQ，∵OQ是圓O半徑，∴PQ是圓O的切線，同理可得，PR是圓O的切線．（3）解：連接QR交OP于點H，連接OR，∵PQ、PR是圓O的切線，∴PQ=PR∵OQ=OR∴PO是線段QR的垂直平分線，∴HQ=HR，QR⊥OP，∵OQ=OB，BR=2，∴HO是△QRB的中位線∴HO=1∵∠PQO=∠QHO=90°，∠QOP=∠QOP，∴△QOH∽△POQ，∴OQ∴OQ∵圓O的半徑r=5，∴OP=OQ在Rt△PQO中，PQ∴PQ2+【解析】【分析】（1）根據題意畫圖即可；（2）連接AQ,OQ,AR,OR，由等邊對等角得到∠APQ=∠AQP,∠AQO=∠AOQ，再根據邊之間的關系可得∠AQP+∠AQO=90°，則OQ⊥PQ，再根據切線判定定理即可求出答案.（3）連接QR交OP于點H，連接OR，根據切線性質可得PQ=PR，根據垂直平分線性質可得HQ=HR，QR⊥OP，再根據三角形中位線定理可得HO=12BR=1，再根據相似三角形判定定理可得△QOH∽△POQ（1）如圖，（2）連接AQ,OQ,AR,OR，∵AQ=AP=AO，∴∠APQ=∠AQP,∠AQO=∠AOQ，∵∠QAO+∠AQO+∠AOQ=180°∴∠APQ+∠AQP+∠AQO+∠AOQ=180°，∴∠AQP+∠AQO=90°，∴OQ⊥PQ，∵OQ是圓O半徑，∴PQ是圓O的切線，同理可得，PR是圓O的切線．（3）連接QR交OP于點H，連接OR，∵PQ、PR是圓O的切線，∴PQ=PR∵OQ=OR∴PO是線段QR的垂直平分線，∴HQ=HR，QR⊥OP，∵OQ=OB，BR=2，∴HO是△QRB的中位線∴HO=1∵∠PQO=∠QHO=90°，∠QOP=∠QOP，∴△QOH∽△POQ，∴OQ∴OQ∵圓O的半徑r=5，∴OP=OQ在Rt△PQO中，PQ∴PQ2+22．【答案】解：（1）解：如圖2，當CD∥AB，有∠FGH=∠FED=90°，△FEG∽△FED，

∴CG⊥AB，

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=BC2+AC2=82+62=10，

∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CG，

∴12×6×8=12×10×CG，

∴CG=4.8，

即EG=4.8，

∴FG=FE?EG=8?4.8=3.2，

∵△FEG∽△FED，

∴FGFE=GHED，

即3.28=GH6，

∴GH=2.4；

（2）解：GH=HD，理由如下：

如圖，連接GD，

∵AC=DE，CD=CG，

∴CG=AC，

∴∠CGA=∠A，∠CGD=∠CDG=45°，

∵∠HGD=∠CGH?∠CGD，∠HDG=∠CDH?∠CDG，

∴∠HGD=∠HDG，

∴GH=HD；

（3）解：∵FM∥AC，HN∥AC，

∴FM∥HN，

∵∠BCF=∠B，∠EFD=∠B，

∴∠BCF=∠B=∠EFD，

∵∠BGC=∠FGH，

∴∠GFH=∠GHF，

∴GF=GH，

∵FM∥HN，

∴∠MFG=∠HNG，∠FMG=∠NHG，

∴△MGF≌△HGNAAS，

∴MF=HN，

∴四邊形MNHF為平行四邊形，

∵GF=GH，

∴MH=FN，

∴四邊形MNHF為矩形，

∴FH∥MN，∠NMF=90°，

∴∠GFH=∠GNM，

∴∠GNM=∠BCF，

∴MN∥BC，

∵∠BCF=∠B，

∴BG=CG，

∵∠B+∠A=90°，∠BCF+∠GCA=90°，

∴∠A=∠GCA