2023～2024學年高二5月質量檢測卷數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，第二冊，第三冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知隨機變量，則（）A．B．C．D．2．拋物線的焦點坐標為（）A．B．C．D．3．統計x與y兩個變量的五組對應數據如下表所示，若y與x之間的經驗回歸直線方程為，估計當時，y的值為（）x12345y85100100105110A．125B．130C．133D．1664．在某次物理測評中，學生的成績X服從正態分布，若參加物理測評的學生有500人，則測評成績在60分至90分之間的學生約有（）參考數據：若，則，．A．341人B．409人C．460人D．477人5．的展開式中項的系數為（）A．112B．136C．184D．2566．已知P是圓上一動點，則點P到直線的距離的取值范圍為（）A．B．C．D．7．如果方程能確定y是x的函數，那么稱這種方式表示的函數為隱函數．隱函數的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數的導數，將方程的兩邊同時對x求導，則有（y是x的函數，需要用復合函數的求導法則求導），得．利用隱函數求導方法可求得曲線在點處的切線方程為（）A．B．C．D．8．設是雙曲線的左、右焦點，點A是C的右支上一點，若的內切圓M的半徑為a（M為圓心），且，使得（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．2D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知正項等差數列的前n項和為，，公差為d，若，則（）A．或B．C．D．10．甲、乙、丙、丁4人每人隨機選取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三種編程語言之一進行學習，每種編程語言至少有1人學習，A表示事件“甲學習VisualBasic編程語言”；B表示事件“乙學習VisualBasic編程語言”；C表示事件“乙學習VisualC＋＋編程語言”，則（）A．事件A與B相互獨立B．事件A與C不是互斥事件C．D．11．如圖，正方體的棱長為3，E，F分別為棱上的點，且，平面AEF與棱交于點G，若點P為正方體內部（含邊界）的點，滿足，則（）A．點P的軌跡為四邊形AEGF及其內部B．當時，點P的軌跡長度為C．當時，D．當時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量X的分布列，則_______．13．給如圖所示的圓環涂色，將圓環平均分成A，B，C，D四個區域，現有紅，黃、藍、綠四種顏色可供選擇，要求每個區域只涂一種顏色且相鄰區域的顏色不同，則不同的涂色方法有____種．14．若關于x的不等式恒成立，則實數a的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在數列中，．（1）求；（2）求數列的前n項和．16．（本小題滿分15分）某超市為調查顧客單次消費金額與性別是否有關，隨機抽取70位當日來店消費的顧客，其中女性顧客有40人，統計發現，單次消費超過100元的占抽取總人數的，男性顧客單次消費不超過100元的占抽取總人數的．（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為顧客單次消費是否超過100元與性別有關聯?（2）在“單次消費超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從這7人中任選3人參與問卷調查，記3人中女性人數為X，求X的分布列與數學期望．參考公式：（其中）．參考數據：0.0500.0250.013.8415.0246.63517．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中平面底面ABCD，，．（1）求值：平面PBD；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若對恒成立，求a的取值范圍．19．（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為c，且過點．（1）求的方程；（2）若AB分別為的上、下頂點．O為坐標原點，直線l過的右焦點F與交于C，D兩點，與y軸交于P點；①若E為CD的中點求點E的軌跡方程；②若AD與直線BC交于點Q，求證為定值．

2023～2024學年高二5月質量檢測卷·數學參考答案，提示及評分細則1．C因為．所以．故選C．2．D由題意知該拋物線的焦點在y軸上，且，所以，故其焦點坐標為．故選D．3．C，因為回歸直線必過點，即點，所以，所以，所以，故當時，．故選C．4．B由題意知，所以，故符合條件的學生人數約為．故選B．5．B的展開式的通項為，要得到項，必有，所以，所以，或．當時，，而展開式中的項為，故中項的系數為；當時，，而中的常數項為1，故中項的系數為，所以所求項的系數為．故選B．6．D由，得，由，得，故l過定點，因為點P在圓O上，，當時，點P到l的距離最大，最大距離為，又因為此時，故l的斜率為1，此時無解，故這樣的直線l不存在，所以距離，當直線l與圓O相交時，點P到l的距離最小，最小距離為0，故點P到l的距離的取值范圍為．故選D．7．D由，得，則，將點的坐標代入，得，即，所以所求切線的方程為，即．故選D．8．A設，由對稱性不妨設點A在第一象限，此時M也在第一象限，因為，所以，所以，又，解得，所以，所以，解得，所以，代入雙曲線方程，得，解得，，所以．故選A．9．BCD由等差數列的性質以及，得，即，解得或，若，則，符合題意，若，，不符合題意，故A錯誤，B正確；易求，所以，故C正確；則，所以，故D正確．故選BCD．10．BCD4人選擇3種編程語言之一，每種編程語言至少有1人學習，共有種安排方案，甲學習VisualBasic編程語言、乙學習VisualBasic編程語言、乙學習VisualC+＋編程語言，各有種方案，∴；甲、乙均學習VisualBasic編程語言，有種方案，∴；甲學習VisualBasic編程語言且乙學習VisualC＋＋編程語言，有種方案，∴，對于A，∵，∴事件A與B不相互獨立，故A錯誤；對于B，∵，∴事件A與C不是互斥事件，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選BCD．11．ABD對于A，取上一點H，使得，連接EH，FH，HB，易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以，所以四邊形AEGF為平行四邊形，因為，由空間向量基本定理可知，所以P在四邊形AEGF內（或邊界上），故A正確；對于B．當時，，所以，即，P在線段EG上，點P的軌跡長度為線段EG的長，所以，故B正確；對于C，當時，易得點P為線段AF的中點，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，得．則．則，所以不成立，故C錯誤；對于D，當時，．分別取AF，EG的中點M，N．連接MN，P在線段MN上，．所以由，可得，平面ABCD的一個法向量為．設AP與平面ABCD所成的角為，所以，設，因為，則，則代入上式并化簡可得，當時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為，D正確．故選ABD．12．由分布列的性質知，所以．13．84由題意可知：四個區域最少涂兩種顏色，最多涂四種顏色，所以分以下三類：當涂兩種顏色時；A和C相同，B和D相同，共有種涂色方法；當涂三種顏色時：分A和C相同和A，C不同兩種情況，此時共有種涂色方法；當涂四種顏色時：四個區域各涂一種，此時共有種涂色方法．綜上，不同的涂色方法有種．14．不等式即，所以．設，則，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以．令，則．當時，，單調遞增，則，故滿足條件；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，設，則，則在上單調遞減，又，所以，所以，所以a的最大值為．15．解：（1），兩邊同乘以2，得，2分兩式相減，得5分所以．6分（2）由（1）知，所以8分10分13分16．解：（1）由題意得如下2×2列聯表：單次消費超過100元單次消費不超過100元合計女性152540男性201030合計353570零假設：顧客的單次消費是否超過100元與性別無關聯，由列聯表中的數據，計算得故依據小概率值的獨立性檢驗，能認為顧客單次消費是否超過100元與性別有關聯．6分（2）在“單次消費超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取的7人中，女性有人，7分所以X的可能取值為0，1，2，3，則．9分，11分故X的分布列為X0123P所以．15分17．（1）證明：過點D作于N，1分因為，所以，所以，所以，所以，3分因為平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，所以平面PAD，5分又平面PAD，所以，又，BD，平面PBD，所以平面PBD．7分（2）解：因為，所以，如圖，以D為坐標原點，DN，DC所在直線分別為x軸，y軸，以過點D且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以．9分設平面PBC的一個法向量為，則，令，則，所以，12分設直線PA與平面PBC所成角為，則所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．15分18．解：（1）由題意知的定義域為，，當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；3分當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減．6分（2）由，得，即，令，問題轉化為恒成立，，8分令，則當時，所以，也就是在上單調遞增，所以．11分①當，即時，在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，滿足題意；12分②當時，即時，因為當．時，，所以存在，使得，所以存在，使得，14分所以對，，所以在上單調遞減，所以，不合題意．綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為．17分19．（1）解：設的焦距為2c，則．則1分所以，又，2分所以，所以的方