湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高考數(shù)學(xué)考前模擬卷試題（一）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為為虛數(shù)單位，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：D.3.一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時(shí)，留在圓柱形容器內(nèi)的水的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出圓柱體積及球的體積，再相減即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知留在容器內(nèi)水的體積為等于圓柱體積減去實(shí)心球的體積，即.故選：B4.恩格爾系數(shù)是由德國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩斯特?恩格爾提出的，計(jì)算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國(guó)際上通用的衡量居民生活水平高低的一項(xiàng)重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.如圖是近十年我國(guó)農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結(jié)論正確的是（）A.城鎮(zhèn)居民從2013年開(kāi)始進(jìn)入“最富裕”水平B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于D.全國(guó)居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，直接觀察折線統(tǒng)計(jì)圖即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合平均數(shù)的定義以及圖中數(shù)據(jù)判斷即可；對(duì)于C，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于D，無(wú)法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，由此即可判斷.【詳解】對(duì)于A：從折線統(tǒng)計(jì)圖可知2015年開(kāi)始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開(kāi)始進(jìn)入“最富?！彼?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017?2018?2019這三年在30%到32%之間，其余年份均大于，且2012?2013這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對(duì)應(yīng)的年份）前5位分別為2019?2018?2017?2021?2020，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對(duì)于D：由于無(wú)法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國(guó)居民恩格爾系數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，不符合函數(shù)圖象，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，且的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不符合函?shù)圖象，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，解析式符合圖象特征.故選：D.6.已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A. B.12 C. D.24【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把的兩邊平方，利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由已知非零向量的夾角為，所以，由，兩邊平方得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為24.故選：D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，利用正弦定理即可求解.【詳解】由已知，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則，因?yàn)橹本€與拋物線相切.設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當(dāng)時(shí)，.在三角形中由正弦定理可知：.故選：A8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則“”是“"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可解得，再由集合間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，該函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增.由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，顯然集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，并將不等式變形，利用單調(diào)性解不等式即可得結(jié)論.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.【答案】ABD【解析】【分析】由即可判斷A，由代入檢驗(yàn)法即可判斷B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性即可判斷，通過(guò)數(shù)形結(jié)合以及對(duì)稱性即可驗(yàn)算.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，得，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，依題意有，結(jié)合圖象可知，，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.函數(shù)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)C.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.對(duì)任意，不等式恒成立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷選項(xiàng)A；先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，求出最值，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)作出的大致圖象可判斷選項(xiàng)B；先將函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，再利用函數(shù)的大致圖象可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)的大致圖象求出，再根據(jù)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)椋划?dāng)時(shí)，，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又由為奇函數(shù)，，，，可得的大致圖象如下所示，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn).由圖象可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)樗越Y(jié)合函數(shù)的圖象可得：當(dāng)時(shí)，，.所以對(duì)任意，，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為為底面的中心，交平面于點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（）A.三點(diǎn)共線B.點(diǎn)到平面的距離為C.用過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的較小部分的體積為D.用過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個(gè)多面體的能容納的最大球的半徑均為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，只需證明三點(diǎn)都在平面與平面上（即在交線上）即可判斷；對(duì)于B，首先證明平面，然后通過(guò)解三角形知識(shí)即可驗(yàn)算；對(duì)于C，首先得出過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺(tái)，結(jié)合棱臺(tái)體積公式驗(yàn)算即可；對(duì)于D，首先算出，，，【詳解】由已知平面平面平面，又平面平面平面，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因?yàn)椋矫?，所以平面，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，所以正三角形的邊長(zhǎng)為，所以，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，故B錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋缘妊菪尉褪沁^(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面，如圖：所以過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺(tái)，其體積為，故C正確；過(guò)點(diǎn)且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個(gè)多面體全等，如下圖所示，該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐的內(nèi)切球（如下圖所示），，設(shè)為的中心，則，高，設(shè)正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，①在中，，得，，代入①，得，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)出圖形計(jì)算正三棱錐的表面積體積，由等體積法即可順利得解.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知隨機(jī)變量，則__________.【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.13.已知數(shù)列滿足則的值為_(kāi)_________.【答案】32【解析】【分析】由遞推式推導(dǎo)出構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得（要注意下標(biāo)為連續(xù)的偶數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)應(yīng)是下標(biāo)的一半）.【詳解】因?yàn)椋?，兩式相除得，故?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，所以.故答案為：32.14.已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先，故，其次由題意由點(diǎn)差法得①，同理②，由三點(diǎn)共線，所以，代入得，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】由題意，，故，設(shè)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則，兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以①，同理②，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)椋裕裕噪p曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用點(diǎn)差法來(lái)得到①，同理②，結(jié)合三點(diǎn)共線以及離心率公式即可順利得解.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由已知條件，列出關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的方程組，進(jìn)行求解即可.（2）利用裂項(xiàng)相消求出，再結(jié)合不等式的性質(zhì)證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，依題意可得即解得所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以.16.某無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無(wú)人飛機(jī)，在投放市場(chǎng)前對(duì)100架新能源無(wú)人飛機(jī)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無(wú)人飛機(jī)，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則）（3）該無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心依據(jù)新能源無(wú)人飛機(jī)的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計(jì)分析可知卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場(chǎng)前決定分別按卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機(jī)共抽取6架，然后再?gòu)倪@6架中隨機(jī)抽取3架進(jìn)行綜合性能測(cè)試，記隨機(jī)變量是綜合性能測(cè)試的3架中卓越A型的架數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）由直方圖中每個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率再相加可得；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)計(jì)算；（3）隨機(jī)變量的可能取值為，分別求出其概率后得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【小問(wèn)1詳解】估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.【小問(wèn)2詳解】，.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)可知抽取的6架新能源無(wú)人飛機(jī)中，卓越A型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機(jī)變量的可能取值為.，，隨機(jī)變量的分布列如下表：0123.17.如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大小；（2）若，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的余弦公式，二倍角余弦公式，誘導(dǎo)公式將條件式化簡(jiǎn)，求得的值得解；（2）設(shè)，由正弦定理求得，結(jié)合條件，求得，結(jié)合角的范圍求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又為鈍角，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，四邊形內(nèi)角和為，由（1）的結(jié)論知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，則，即，即，，即，，即，即的大小為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）直接由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意,恒成立，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可．為此需要求出則，并令，則，確定存在時(shí)，，然后得出的極值，比較和的大小即可得．【小問(wèn)1詳解】由得函數(shù)，所以，令得，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由，得，又，所以，即對(duì)任意,恒成立，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立求參數(shù)范圍，可通過(guò)分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求新