第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)四川省成都市成實(shí)外教育集團(tuán)2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為(

)

A.B∩(A∪C) B.B∩(A∩C)

C.B∩?U(A∪C)2.已知直線2x+y?2m=0與直線4x?my?3=0平行，則它們之間的距離是(

)A.1155 B.115103.現(xiàn)有1，3，7，9四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的數(shù)(

)A.5 B.6 C.7 D.124.已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“其圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形”是“函數(shù)y=f(x+a)?b為奇函數(shù)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線C：x2=y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交C于P1，P2兩點(diǎn)，若l的一個(gè)方向向量為(2,4)，則A.4 B.54 C.6 D.6.已知銳角α，β滿足α+β=π4，則1sinαA.2 B.22 C.47.設(shè)虛數(shù)z=(2?1?i1+i)5，則zA.41 B.?41 C.121 D.?1218.已知函數(shù)f(x)=12?13x+1，數(shù)列{an}滿足a1A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的是(

)A.對(duì)于隨機(jī)事件A與B，P(A)>0，P(B)>0，若P(A|B)=P(A)，則事件A與B相互獨(dú)立

B.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.3x+0.2，則樣本中心點(diǎn)為(3,1)

C.數(shù)據(jù)2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15的75%分位數(shù)為12

D.隨機(jī)變量X～B(6,0.5)，當(dāng)P(X=k)最大，則k10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π<φ<?π2)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的1110倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，則A.g(x+π3)為偶函數(shù)

B.g(x)的最小正周期是π

C.g(x)的圖像關(guān)于直線x=2π3對(duì)稱

D.將g(x)11.我國(guó)知名品牌小米公司的Logo(圖3)具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美，設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于數(shù)學(xué)中的曲線C：|xa|n+|yb|n=1(a、b為常數(shù)，A.對(duì)任意的n∈R且n≠0，曲線C總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.當(dāng)a=1，b=2時(shí)，曲線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)

C.當(dāng)a=b=1，n=23時(shí)，曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為12

D.當(dāng)a=b=n=2時(shí)，曲線C與直線y=kx+2(k∈R)交于P(x1,三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=?ln(?x)的切線，則k+b=______．13.在平行四邊形ABCD中，DA=DB，E是平行四邊形ABCD內(nèi)(包括邊界)一點(diǎn)，DE?DA|DA|=DE?DB|14.在△ABC中，AC=2，AB=mBC(m>1)，若當(dāng)△ABC面積取最大值時(shí)，B=π6，則m=

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosA是bcosC與ccosB的等差中項(xiàng)．

(1)求角A；

(2)若角A的角平分線交BC于D，若AD=2，求△ABC面積的最小值．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)當(dāng)a=12時(shí)，求(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．17.(本小題15分)

如圖，菱形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn)．

(1)若∠DAB=π2，證明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)若∠DAB=π3，當(dāng)三棱錐M?ACD體積最大時(shí)，

(i)求直線MA與平面MBC所成角的正弦值；

(ii)求平面MAB與平面18.(本小題17分)

馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，在人工智能、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt?2，Xt?1，Xt，Xt+1，…，那么Xn+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P(Xt+1|…,Xt?2,Xt?1,Xt)=P(Xt+1|Xt).已知甲盒子中裝有2個(gè)黃球和1個(gè)黑球，乙盒子中裝有1個(gè)黃球和2個(gè)黑球(6個(gè)球的大小形狀完全相同).記操作τ：從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中.在重復(fù)n次τ操作后，記甲盒子中黃球個(gè)數(shù)為Xn，恰有3個(gè)黃球的概率為Pn，恰有219.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，分別以x軸和y軸為實(shí)軸和虛軸建立復(fù)平面.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，在復(fù)平面內(nèi)滿足|z+2i|+|z?2i|為定值的點(diǎn)Z的軌跡為曲線Γ.且點(diǎn)P(1,3)在曲線Γ上．

(1)求曲線T的平面直角坐標(biāo)系方程；

(2)若斜率為3的直線l與曲線Γ交于A、B兩點(diǎn)(直線PA斜率為正)，直線PA、PB(若P、B重合，直線PB即為橢圓Γ在P點(diǎn)處的切線)分別與x軸交于M、N兩點(diǎn)，H為PN中點(diǎn)．

(i)證明：kPA+kPB為定值；

(ii)∠PMH最大時(shí)，將坐標(biāo)平面沿x軸折成二面角P?MN?A，在二面角P?MN?A參考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.D

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.1e13.2

14.315.解：(1)因?yàn)?acosA=bcosC+ccosB，

所以由正弦定理得：2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA．

又因?yàn)閟inA≠0，所以cosA=12，

因?yàn)锳∈(0,π)所以A=π3；

(2)因?yàn)榻茿的角平分線交BC于D，

所以S△ABC=S△ACD+S△ABD，

即12bcsinA=12b?2sinπ6+12c?2sinπ6，

則32令f′(x)=0，得x=2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表．x(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0?f(x)增函數(shù)ln減函數(shù)故f(x)在定義域上有極大值f(2)=ln(2)由(1)知，函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=1當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x∈0,1a當(dāng)x∈1a,+∞時(shí)，f′(x)<0故函數(shù)在x=1綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=117.解：(1)證明：因?yàn)镃D為半圓直徑，M在半圓弧CD上，所以DM⊥MC，

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DMC，平面ABCD∩平面DMC=DC，AD⊥DC，AD?平面ABCD，

所以AD⊥平面DMC，

因?yàn)镸C?平面DMC，所以AD⊥MC，因?yàn)锳D∩DM=D，

所以MC⊥平面AMD，

因?yàn)镸C?面BMC，

所以平面ADM⊥平面BMC；

(2)因?yàn)閂M?ACD=13S△ACD?d，

則三棱錐M?ACD體積最大時(shí)，有d最大，

此時(shí)M在弧CD中點(diǎn)，

以D為原點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為P，以直線DP為x軸，直線DC為y軸，過(guò)D點(diǎn)與面ABCD垂直的射線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，則M(0,1,1)，C(0,2,0)，B(3,1,0),A(3,?1,0)，

則MA=(3,?2,?1)，MB=(3,0,?1)，MC=(0,1,?1)，

(i)設(shè)平面MBC的法向量為n1=(x1,y1,z1)，

則MB⊥n1MC⊥n1，則MB?n1=0MC?n1=0，即3x1?z1=0y1?z1=0，

令x1=1,n1=(1,3,3)，

記直線MA與平面MBC所成角為θ，

則sinθ=|MA?n1||MA|?|n1|=4214，

所以直線MA與平面MBC所成角的正弦值為4214；

(ii)記平面MAB的法向量為n2=(x2,y2,z2)

則MA⊥n2MB⊥n2X3210P441324E(X2)=3×4+2×41+1×32+0×481=149，

(3)證明：記重復(fù)n次r操作后，甲盒子中恰有1個(gè)黃球的概率為Rn

E(Xn)=3Pn+2Qn+Rn，

而Pn+1=Pn?0+Q19.解：(1)因?yàn)閦=x+yi(x,y∈R)，在復(fù)平面內(nèi)滿足|z+2i|+|z?2i|為定值的點(diǎn)Z的軌跡為曲線Γ，

所以曲線Γ是以(0,2)，(0,?2)為焦點(diǎn)的橢圓，又點(diǎn)P(1,3)在曲線Γ上，

令曲線Γ：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，

則c=2，(3)2a2+1b2=1，

解得a=6，b=2，

所以所求方程為：y26+x22=1；

(2)(1)證明：設(shè)直線l：y=3x+m，

由y=3x+my26+x22=1，

消去y得6x2+23mx+m2?6=0，

設(shè)A(x1,y1)，B