陜西省寶雞南山高級中學2023?2024學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．用一個平面截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體不可能是（

）A．長方體 B．圓錐 C．棱錐 D．圓臺3．復平面內表示復數的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知，為非零實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運用的數學原理是（

）A．兩條相交直線確定一個平面B．兩條平行直線確定一個平面C．四點確定一個平面D．直線及直線外一點確定一個平面6．函數的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．7．若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形AOBC的面積為（

）

A． B． C． D．8．如圖，AB是底部不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點，某同學選擇地面CD作為水平基線，使得C，D，B在同一直線上，在C，D兩點用測角儀器測得A點的仰角分別是45°和75°，，則建筑物AB的高度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．分別在兩個相交平面內的兩條直線間的位置關系是（

）A．平行 B．相交C．異面 D．以上皆不可能10．已知指數函數在上的最大值與最小值之差為2，則實數的值為（

）A． B． C． D．11．已知滿足，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．在平行四邊形中，是直線上的一點，且，若，則.14．一個鋼筋混凝土預制件可看成一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，其尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個這樣的預制件需要立方米混凝土（鋼筋體積略去不計）．四、解答題（本大題共5小題）15．設是實數，復數，（是虛數單位）．(1)若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍；(2)求的最小值．16．某鄉鎮為全面實施鄉村振興戰略，大力發展特色農業，為提升特色農產品的知名度，讓廣告公司設計一個長米，寬米，面積為平方米的長方形廣告牌，其中.(1)求關于的函數，并寫出的取值范圍；(2)如何設計才能使廣告牌的周長最小.17．如圖，在正方體中，E，F分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；(2)設，證明：A，O，D三點共線.18．在平面四邊形中（在的兩側），.(1)若，求；(2)若，求四邊形的面積的最大值.19．如圖，在中，是的角平分線，且是上的一點，過的直線分別交邊于點，且的面積為．(1)求線段的長；(2)若，求的值．

參考答案1．【答案】D【分析】解一元二次不等式結合對數函數定義域以及交集的概念即可得解.【詳解】由可得，或，故．故選D．2．【答案】D【分析】作圖，結合空間想象，即可得出答案.【詳解】對于A項，如圖1，用平面截長方體，得到的截面是三角形，故A項正確；對于B項，如圖2，用平面截圓錐，得到的截面是三角形，故B項正確；對于C項，三棱錐各個面即為三角形；除三棱錐外，過棱錐底面不相鄰兩頂點和棱錐頂點的截面為三角形，故C項正確；對于D項，圓臺的截面不可能為三角形，故D項錯誤.故選D.3．【答案】C【分析】化簡復數可得，即可根據復數的幾何意義得出答案.【詳解】根據復數的除法運算求解，所以，復平面內表示該復數的點為，所以，復平面內表示復數的點位于第三象限.故選C.4．【答案】A【分析】利用特殊值法結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】由，即成立，故充分性成立；取，，則成立，但不成立，故必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選A.5．【答案】A【分析】利用平面的基本性質求解.【詳解】由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運用的數學原理是“兩條相交直線確定一個平面”.故選A.6．【答案】C【分析】根據函數的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【詳解】因為的定義域為，關于原點對稱，所以，即函數為奇函數，排除AB，當時，，排除D.故選C.7．【答案】D【分析】根據圖象，由“斜二測畫法”可得，四邊形水平放置的直觀圖為直角梯形，進而利用相關的面積公式求解即可.【詳解】在直觀圖中，四邊形為等腰梯形，，而，則，由斜二測畫法得原四邊形AOBC是直角梯形，，，如圖.

所以四邊形AOBC的面積為.故選D.8．【答案】A【分析】根據正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【詳解】在中，根據正弦定理可得，在中，，故選A.9．【答案】ABC【解析】利用空間中兩直線的位置關系求解.【詳解】當兩直線分別平行于交線時，這兩條直線平行，A正確；兩條直線可以交于交線上一點，故可以相交，B正確；一條直線和交線平行，另一條直線在另一個平面內過交線上一點和交線外一點時，兩直線異面，C正確；故選ABC.10．【答案】BD【分析】分和兩種情況，根據題意列方程求解即可.【詳解】當時，單調遞減，所以，，即，解得（負根已舍棄）；當時，單調遞增，所以，，即，解得（不符合條件的根已舍棄）.綜上，實數的值為或.故選BD.11．【答案】BCD【分析】根據平方關系求出，再根據兩角和的正弦公式即可判斷A；根據兩角差的余弦公式即可判斷B；根據結合兩角差的正弦公式即可判斷C；根據二倍角的正切公式即可判斷D.【詳解】因為，且，所以，，則，所以，故A錯誤；由，得，，所以，則，故B正確；由，，得，，，所以，故C正確；因為，所以，故，故D正確.故選BCD.12．【答案】【解析】根據函數解析式，由內而外，逐步計算，即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此．故答案為：.13．【答案】3【分析】將向量進行轉化得，從而得解.【詳解】記，又，所以，所以，解得.故答案為：3.14．【答案】324【分析】將預制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，可求得截面的面積，由柱體的體積公式即可求得預制件的體積.【詳解】將預制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體．所以（平方米），設該預制件的高為h，則該預制件的體積（立方米）．故澆制一個這樣的預制件需要約324立方米的混凝土．故答案為：324.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據復數的幾何意義，列出不等式組，求解即可得出答案；(2)由已知可得，根據復數的模的公式化簡，結合二次函數的性質，即可得出答案.【詳解】(1)由已知可得，.因為在復平面內對應的點在第二象限，所以有，解得.(2)由已知可得，，所以，所以，，所以，當時，有最小值為.16．【答案】(1)；(2)長、寬分別為米，米時，廣告牌的周長最小.【分析】(1)根據矩形的面積公式列式求解即得.(2)由(1)列出周長的表達式，再利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】(1)依題意，，整理得，由，得，解得，所以關于的函數.(2)由(1)知，，，因此廣告牌的周長，當且僅當，即時取等號，此時，所以廣告牌的長、寬分別為米，米時，廣告牌的周長最小.17．【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【分析】(1)連接，利用中位線定理得到，再根據正方體的性質得到，進而證明四邊形是平行四邊形，從而得到，由此可證四點共面；(2)先證平面，且平面ABCD，又平面平面，所以，進而得到A，O，D三點共線.【詳解】(1)證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，又，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以四點共面；(2)證明：由，所以，又平面，所以平面，同理平面ABCD，又平面平面，所以，即A，O，D三點共線.18．【答案】(1)；(2).【分析】(1)在中用余弦定理求出，再由角度之間的關系，在中用正弦定理可求出；(2)將四邊形，分成，，的面積為定值，的面積可用余弦定理與三角形面積公式求出最大值.【詳解】(1)在中，由余弦定理得，即.因為，，所以，又，所以.在中，由正項定理得，所以，又，所以，所以；(2)設，所以.在中，由余弦定理得.所以的面積，所以，此時，又的面積，所以四邊形的面積的最大值為.19．【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用向量線性運算得到，利用角平線的性質得，從而由余弦定理得，再利用，即可求出結果；(2)