山西省太原市2023?2024學年高一下學期期中學業診斷考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在復平面內，復數對應的點的坐標是（

）A． B． C． D．2．已知，且∥，則實數（

）A． B．1 C． D．43．下列結論不正確的是（

）A．三棱錐是四面體 B．長方體是平行六面體 C．正方體是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面體4．在中，，則（

）A． B．2 C． D．5．已知正方形ABCD的邊長為2，則正方形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．6．在中，點在線段上，且，則（

）A． B． C． D．7．已知一個圓錐的底面半徑為，母線長為，則其內切球的體積為（

）A． B． C． D．8．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點在弧AC上，且，則（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知非零復數，其共軛復數為，則下列結論正確的是（

）A． B．C．若，則是純虛數 D．若，則是純虛數10．已知單位向量，下列結論正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則11．已知的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，則下列結論正確的是（

）A．若是直角三角形，則B．若是銳角三角形，則的取值范圍是C．若，則有一解D．若有兩解，則的取值范圍是12．如圖，在直三棱柱中，與相交于點，點是側棱上的動點，則下列結論正確的是（

）A．直三棱柱的體積是6 B．三棱錐的體積為定值C．的最小值為 D．直三棱柱的外接球表面積是三、填空題（本大題共4小題）13．復數，則．14．已知三棱臺的高為3,△ABC和分別是邊長為2和4的等邊三角形，則該棱臺的體積為．15．已知向量，是單位向量，且，則向量在上的投影向量的坐標為．16．已知滿足，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）17．已知復數滿足．(1)求的共軛復數；(2)若是關于的方程的一個根，求實數，的值．18．已知四邊形中，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．19．已知單位向量的夾角是．(1)證明：點A，B，C共線；(2)求與夾角的余弦值．20．如圖，某人開車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛3分鐘后，到達處，此時測得仰角，且．(1)求此山的高OP的值；(2)求該車從A到行駛過程中觀測點的仰角正切值的最大值．21．如圖，在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，，且．(1)求的大小；(2)設的平分線AD交BC于點，若，求周長的最小值．

參考答案1．【答案】B【詳解】在復平面內，復數對應的點的坐標是.故選：B.2．【答案】C【詳解】因為，且∥，所以，得，故選：C3．【答案】D【詳解】對于A，三棱錐是四面體，故A正確；對于B，長方體是平行六面體，故B正確；對于C，正方體是直四棱柱，故C正確；對于D，四棱柱的底面不一定是平行四邊形，四棱柱不一定是平行六面體，故D錯誤．故選：D．4．【答案】A【詳解】由正弦定理可得：.因為，所以.故選：A.5．【答案】B【詳解】正方形ABCD的邊長為2，則原圖面積S原由原圖與直觀圖的面積關系得S直故選：.6．【答案】D【詳解】因為，所以，.

故選：D.7．【答案】C【詳解】因為圓錐的底面半徑為，所以圓錐的底面直徑為，如圖圓錐內切球半徑為圓錐軸截面內切圓半徑，設內切球半徑為，內切球球心為I，連接IP,IQ,IS.三角形PQS是邊長為的等邊三角形，由等面積法有，12×23+2故所求為V=4故選：C.8．【答案】A【詳解】以為原點，為軸，點在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則有，，,為弧上的點且，則，，.故選：A.9．【答案】BC【詳解】對于A，取，則，故A錯誤；對于B，設，則，故B正確；對于C，設，則，故，而復數是非零復數，所以，則是純虛數，故C正確；對于D，設，則，故，而復數是非零復數，所以，則是實數，故D錯誤.故選：BC.10．【答案】ACD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，當時，不一定共線，所以不一定相等，故B錯誤；對于C，若，則，即，故C正確；對于D，，解得，故D正確.故選：ACD.11．【答案】BC【詳解】對于A，當為直角時，，當為直角時，，所以A錯誤，對于B，，是銳角三角形，若為最大角時，則，所以，所以，當為最大角時，則，所以，綜上，的取值范圍是，所以B正確，對于C，，因為，所以，因為，所以是唯一的，所以有一解，所以C正確，對于D，，有兩解，則，所以，由余弦定理得，所以，所以，解得，且，所以的取值范圍是，所以D錯誤.故選：BC12．【答案】ABD【詳解】A選項，直三棱柱中，，所以，直三棱柱的體積是，A正確；B選項，矩形的面積為，當是側棱上運動時，為定值，又點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，B正確；C選項，將矩形與矩形展開到同一平面內，如圖所示，連接，與相交于點，故的長即為的最小值，故最小值為，的最小值為5，C錯誤；D選項，將直三棱柱補形為長方體，則長方體的外接球即為直三棱柱的外接球，故外接球的半徑為，表面積為，D正確,故選：ABD13．【答案】【詳解】復數，則.故答案為：.14．【答案】【詳解】由題意得S△ABC因為棱臺的高為3，所以棱臺的體積為1=53故答案為：15．【答案】【詳解】設，則，①，因為，所以，可得，，②，由①②解得，或，所以，或，當，向量在上的投影向量的坐標為，當，向量在上的投影向量的坐標為，綜上，所以向量在上的投影向量的坐標為.故答案為：.16．【答案】【詳解】因為，所以，得，因為，所以，設，以為原點，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，則，設，則，因為，所以，所以，即，令，則點在以為圓心，為半徑的圓上，令，則,因為，所以，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，由圖可知當共線，且四點順序依次為時，最大，最大值為，即的最大值為.故答案為：17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）．則，,.（2）由（1）得，是關于的方程的一個根，則，，，解得.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，則，，，．（2）由（1）得，∵，或，當時，則不是四邊形，此時不符合題意，如圖所示：當時，則是四邊形，此時符合題意，如圖所示：．19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意得，，，且向量起點相同，故點A，B，C共線；（2）與夾角的余弦值為20．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，在中，因為，所以，同理，在中，，在中，由余弦定理得，所以，得，所以此山的高為．（2）由（1