湖南省雅禮教育集團2023?2024學年高一下學期4月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．命題“，”的否定為(

)A．， B．，C．， D．，2．設復數（其中a，，i為虛數單位），則“”是“z為純虛數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若角的終邊上有一點，則a的值為（

）A． B． C． D．4．函數在區間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．把按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，，那么是一個（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形6．已知實數滿足，設，則(

)A． B． C． D．7．已知正三角形ABC的邊長為4，點P在邊BC上，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．8．在中，為邊上一點，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題不正確的是（

）.A．棱臺的側棱長可以不相等，但上、下底面一定相似B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．若，直線平面，直線平面，且，則D．若條直線中任意兩條共面，則它們共面10．已知是復數，且為純虛數，則（

）A．B．C．在復平面內對應的點在實軸上D．的最大值為11．已知銳角三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，c=2．則下列結論正確的是（

）A．的面積最大值為2 B．的取值范圍為C． D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，且，則_________．13．已知，則的最小值為.14．已知，，若，或，則的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知正四棱錐的底面邊長是6，側棱長為5，求該正四棱錐的體積（2）如圖（單位：cm），求下圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的體積.

16．在中，角所對的邊分別為，.(1)求的值；(2)若，點是的中點，且，求的面積.17．已知函數.(1)求函數在上的單調遞減區間；(2)若在區間上恰有兩個零點，，求的值.18．已知函數對任意實數m、n都滿足等式，當時，，且．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷的單調性，求在區間上的最大值；(3)是否存在實數a，對于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．如果函數滿足以下兩個條件，我們就稱為型函數．①對任意的，總有；②當時，總有成立．(1)記，求證：為型函數；(2)設，記，若是型函數，求的取值范圍；(3)是否存在型函數滿足：對于任意的，都存在，使得等式成立？請說明理由．

參考答案1．【答案】D【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故命題“，”的否定為，.故選D.2．【答案】B【詳解】由復數當時，復數為純虛數，所以充分性不成立；反之：若復數為純虛數，則成立，所以必要性成立，所以“”是“z為純虛數”的必要不充分條件.故選：B.3．【答案】A【詳解】因為角的終邊上有一點，所以，又，所以，所以.故選：A4．【答案】A【詳解】∵，即，∴為偶函數；又∵當時，則，故，∴；綜上所述：A正確，B、C、D錯誤.故選：A.5．【答案】A【詳解】根據斜二側畫法還原在直角坐標系的圖形，如下圖所示：由圖得，，故為等邊三角形，故選：A6．【答案】D【詳解】因為，所以，又為減函數，所以，即，又，故，所以，故選D.7．【答案】D【詳解】記，因為，所以.故選：D8．【答案】A【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因為，所以為銳角，所以，所以.故選：A9．【答案】BD【詳解】對于A，棱臺的上、下底面相似，但側棱長不一定相等，故A正確；對于B，棱錐的定義為：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐.而有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體也可能是組合體，與棱錐的定義相矛盾，故B錯誤；對于C，因為直線平面，直線平面，且，所以面，且面，又，所以，故C正確；對于D，反例：正方體的側棱任意兩條都共面，但這4條側棱卻不共面，故D錯誤.故選：BD.10．【答案】ABD【分析】先設，，代入化簡，根據為純虛數得出；再根據向量模的計算方法可判斷選項A，根據共軛復數和復數乘法運算可判斷選項B；根據復數的幾何意義可判斷選項C和D.【詳解】設，.則.因為為純虛數，所以，即.所以，，故選項A正確，選項B正確.因為復數在復平面內對應的點為，所以復數在復平面內對應的點均不在實軸上，故選項C錯誤；因為的幾何意義為表示點到點，所以最大值為，故選項D正確.故選ABD.11．【答案】BCD【詳解】A選項，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，此時為銳角三角形，滿足要求，故，解得，故，A錯誤；B選項，由正弦定理得，所以，，因為為銳角三角形，所以，，解得，則，，，B正確；C選項，，由正弦定理得，C正確；D選項，，由C選項可知，所以，故，D正確.故選：BCD12．【答案】【詳解】因為，所以，解得，所以，所以，所以．故答案為：13．【答案】/【詳解】因為，則，可得，即，且，整理得，又因為，當且僅當時，等號成立，即，整理得，解得或（舍去），所以的最小值為，當且僅當時取等號.故答案為：14．【答案】【詳解】首先看沒有參數，從入手，顯然時，；當時，，而對，或成立即可，故只要時，（*）恒成立即可，當時，,不符合（*）式，舍去；當時，由得，并不對成立，舍去；當時，由，注意，故，所以，即，又，故，所以又，故，綜上，的取值范圍是，故答案為：.15．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）如圖，正四棱錐中，設為與交點，所以由正四棱錐的性質得平面，所以，因為正四棱錐的底面邊長是6，側棱長為5，所以，，所以，即正四棱錐的高為所以，該正四棱錐的體積為

（2）根據題意，圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體為圓臺中挖去一個半徑為的半球構成的組合體.因為圓臺的體積為，半球的體積為，所以，所求幾何體的體積為.16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由正弦定理得：，，則，，不等于0，.（2），，所以，聯立，，在中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：②由①②式得：故，.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）對于，令，解得，因為，當時，；當時，；所以在上的單調遞減區間為.（2）因為在區間上恰有2個零點，所以在有兩個根，令，解得，所以當時，函數圖像的對稱軸為，所以，則，又，則，所以.18．【答案】(1)奇函數；(2)為上的減函數；在上的最大值為6；(3)存在，實數a的取值范圍為．【詳解】（1）取，則，∴，取，，則，∴對任意恒成立，∴為奇函數；（2）任取且，則，因為，故，令，則有，即，∵時，，故時，，∴，∴．故為上的減函數．∴，，∵，，令，則，故，因為令，則，即，由（1）知：為奇函數，故，故，解得：，故，故在上的最大值為6；（3）∵在上是減函數，∴，∵，對所有，恒成立．∴，恒成立；即，恒成立，令，則，即，解得：或．∴實數a的取值范圍為．19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，理由見解析.【分析】（1）證明函數滿足型函數的定義即可；（2）根據是型函數，則由其滿足條件①推出，再結合其滿足條件②得關于b的不等式，利用構造函數，結合函數最值，即可求得答案；（3）舉出具體函數，說明其滿足型函數的定義，即可得結論.【詳解】（1）當時，，當，，時，，，則，因為，所以，所以，所以為型函數.（2）當時，由得，當，，時，，，由，得，即，即，即，令，則對