第一章緒論

（一）基本知識類題型

1-1.什么是計量經濟學？

1-2.簡述當代計量經濟學發展的動向。

1-3.計量經濟學方法與一般經濟數學方法有什么區別？

1-4.為什么說計量經濟學是經濟理論、數學和經濟統計學的結合？試述三者之關系。

1-5.為什么說計量經濟學是一門經濟學科？它在經濟學科體系中的作用和地位是什么？

1-6.計量經濟學的研究的對象和內容是什么？計量經濟學模型研究的經濟關系有哪兩個基

本特征？

1-7.試結合一個具體經濟問題說明建立與應用計量經濟學模型的主要步驟。

1-8.建立計量經濟學模型的基本思想是什么？

1-9.計量經濟學模型主要有哪些應用領域？各自的原理是什么？

1-10.試分別舉出五個時間序列數據和橫截面數據，并說明時間序列數據利橫截面數據有利

異同？

1-11.試解釋單方程模型和聯立方程模型的概念，并舉例說明兩者之間的聯系與區別。

1-12.模型的檢驗包括兒個方面？其具體含義是什么？

1-13.常用的樣本數據有哪些？

1-14.計量經濟模型中為何要包括隨機誤差項？簡述隨機誤差項形成的原因。

1-15.估計量和估計值有何區別？哪些類型的關系式不存在估計問題？

1-16.經濟數據在計量經濟分析中的作用是什么？

1-17.下列假想模型是否屬于揭示因果關系的計量經濟學模型？為什么？

（1）S,=112.0+0.12/?,其中S,為第，年農村居民儲蓄增加額（億元）、均為第f年城鎮

居民可支配收入總額（億元）。

（2）5,.1=4432.0+0.30/?,其中S_i為第（f-1）年底農村居民儲蓄余額（億元）、&為

第f年農村居民純收入總額（億元）。

1-18.指出下列假想模型中的錯誤，并說明理由：

（1）RS,=8300.0-0.24/?/,+1.12/V,

其中，RS,為第f年社會消費品零售總額（億元），R/,為第，年居民收入總額（億元）（城鎮

居民可支配收入總額與農村居民純收入總額之和），IV,為第f年全社會固定資產投資總額

(億元)。

(2)C,=180+1.27,

其中，C、丫分別是城鎮居民消費支出和可支配收入。

(3)In匕=1.15+1.621nK,-0.281nL,

其中，Y,K、L分別是工業總產值、工業生產資金和職工人數。

1-19.下列假想的計量經濟模型是否合理，為什么？

(1)GDP=a+W^GDPj+e

其中，GDR(i=1,2,3)是第，產業的國內生產總值。

(2)51=a+/3S2+￡

其中，、S2分別為農村居民和城鎮居民年末儲蓄存款余額。

(3)Y,=&+//+夕23+￡

其中，Y、/、L分別為建筑業產值、建筑業固定資產投資和職工人數。

(4)Y,=a+/3P,+s

其中，丫、P分別為居民耐用消費品支出和耐用消費品物價指數。

(5)財政收入=/(財政支出)+￡

(6)煤炭產量=/(L,K,X],X2)+e

其中，L、K分別為煤炭工業職工人數和固定資產原值，X2分別為發電量和鋼鐵產

量。

1-20.模型參數對模型有什么意義？

習題參考答案

第一章緒論

1-1.答：計量經濟學是經濟學的一個分支學科，是以揭示經濟活動中客觀存在的數量關系

為內容的分支學科，是由經濟學、統計學和數學三者結合而成的交叉學科。

1-2.答：計量經濟學自20年代末、30年代初形成以來，無論在技術方法還是在應用方面

發展都十分迅速，尤其是經過50年代的發展階段和60年代的擴張階段，使其在經濟學科占

據重要的地位，主要表現在：①在西方大多數大學和學院中，計量經濟學的講授已成為經濟

學課程表中有權威的一部分；②從1969~2003年諾貝爾經濟學獎的XX位獲獎者中有XX位

是與研究和應用計量經濟學有關；著名經濟學家、諾貝爾經濟學獎獲得者薩繆爾森甚至說:

“第二次世界大戰后的經濟學是計量經濟學的時代”。③計量經濟學方法與其他經濟數學方

法結合應用得到發展;④計量經濟學方法從主要用于經濟預測轉向經濟理論假設和政策假設

的檢驗；⑤計量經濟學模型的應用從傳統的領域轉向新的領域，如貨幣、工資、就業、福利、

國際貿易等：⑥計量經濟學模型的規模不再是水平高低的衡量標準，人們更喜歡建立一些簡

單的模型，從總量上、趨勢上說明經濟現象。

1-3.答：計量經濟學方法揭示經濟活動中各個因素之間的定量關系，用隨機性的數學方程

加以描述；一般經濟數學方法揭示經濟活動中各個因素之間的理論關系，用確定性的數學方

程加以描述。

1-4.答：

1-5.答：從計量經濟學的定義看，它是定量化的經濟學；其次，從計量經濟學在西方國家

經濟學科中居于最重要的地位看，也是如此，尤其是從諾貝爾經濟學獎設立之日起，已有多

人因直接或間接對計量經濟學的創立和發展作出貢獻而獲得諾貝爾經濟學獎;計量經濟學與

數理統計學有嚴格的區別，它僅限于經濟領域；從建立與應用計量經濟學模型的全過程看，

不論是理論模型的設定還是樣本數據的收集，都必須以對經濟理論、對所研究的經濟現象有

透徹的認識為基礎。綜上所述，計量經濟學確實是一門經濟學科。

1-6.答：計量經濟學的研究對象是經濟現象，是研究經濟現象中的具體數量規律（或者說,

計量經濟學是利用數學方法，根據統計測定的經濟數據，對反映經濟現象本質的經濟數量關

系進行研究）。計量經濟學的內容大致包括兩個方面：一是方法論，即計量經濟學方法或理

論計量經濟學；二是應用，即應用計量經濟學；無論是理論計量經濟學還是應用計量經濟學,

都包括理論、方法和數據三種要素。

計量經濟學模型研究的經濟關系有兩個基本特征：-是隨機關系；二是因果關系。

1-7.答：

1-8.答：計量經濟學方法，就是定量分析經濟現象中各因素之間的因果關系。所以，第一

步，要根據經濟理論分析所研究的經濟現象，找出經濟現象之間的因果關系及相互間的聯系，

把問題作為被解釋變量，把影響問題的主要因素作為解釋變量，把非主要因素歸入隨機項；

第二步，要按照它們之間的行為關系選擇適當的數學形式描述這些變量之間的關系，一般是

用一組數學上彼此獨立、互不矛盾、完整有解的方程組表示。在建立理論模型的時，要求理

論模型在參數估計、模型檢驗的過程中不斷得到修正，以便得到一個較好的、能夠解釋過去

的、反映客觀經濟規律的數學模型。此外，還可以通過散電圖或模擬的方法，選擇一個擬合

效果較好的數學模型。

1-9.答：計量經濟學模型主要有以下幾個方面的用途：①結構分析，即研究一個或幾個經

濟變量發生變化及結構參數的變動對其他變量以至整個經濟系統產生何種的影響；其原理是

彈性分析、乘數分析與比較靜力分析。②經濟預測，即用其進行中短期經濟的因果預測：其

原理是模擬歷史，從已經發生的經濟活動中找出變化規律；③政策評價，即利用計量經濟模

型定量分析政策變量變化對經濟系統運行的影響，是對不同政策執行情況的“模擬仿真”。

④檢驗與發展經濟理論，即利用計量經濟模型和實際統計資料實證分析某個理論假說的正確

與否；其原理是如果按照某種經濟理論建立的計量經濟模型可以很好地擬合實際觀察數據，

則意味著該理論是符合客觀事實的，否則則表明該理論不能說明客觀事實。

1-10.答：時間序列數據的例子如：改革開放以來25年中的GDP、居民人均消費支出、人

均可支配收入、零售物價指數、固定資產投資等；橫截面數據的例子如：2003年各省的GDP、

該年各工業部門的銷售額、該年不同收入的城鎮居民消費支出、該年不同城鎮居民的可支配

收入、該年各省的固定資產投資等。這兩類數據都是反映經濟規律的經濟現象的數量信息，

不同點：時間序列數據是含義、口徑相同的同一指標按時間先后排列的統計數據列；而橫截

面數據是批發生在同一時間截面上不同統計單元的相同統計指標組成的數據列。

1-11.答：如果模型系統只包含一個方程，即只研究單一的經濟活動過程，揭示其因素之間

的單向因果關系，則稱該模型為單方程模型；如果模型系統涉及到多個經濟關系而需要構造

一個方程組，則稱該模型為聯立方程模型。二者之間有著密切聯系，如：單方程模型是聯立

方程模型的組成元素，而聯立方程模型又是由若干個單方程模型有機組合而成。二者又有區

別，如：單方程模型都是隨機方程，而聯立方程模型中既有隨機方程也又恒等方程。

1-12.答：模型的檢驗主要包括：經濟意義檢驗、統計檢驗、計量經濟學檢驗、模型的預測

檢驗。在經濟意義檢驗中，需要檢驗模型是否符合經濟意義，檢驗求得的參數估計值的符號

與大小是否與根據人們的經驗和經濟理論所擬訂的期望值相符合；在統計檢驗中，需要檢驗

模型參數估計值的可靠性，即檢驗模型的統計學性質；在計量經濟學檢驗中，需要檢驗模型

的計量經濟學性質，包括隨機擾動項的序列相關檢驗、異方差性檢驗、解釋變量的多重共線

性檢驗等;模型的預測檢驗主要檢驗模型參數估計量的穩定性以及對樣本容量變化時的靈敏

度，以確定所建立的模型是否可以用于樣本觀測值以外的范圍。

1-13.答：常用的樣本數據包括：時間序列數據、橫截面數據、虛變量數據和面板數據。

1-14.答：由于客觀經濟現象的復雜性，以至于人們目前仍難以完全地透徹地了解它的全貌。

對于某?種經濟現象而言，往往受到很多因素的影響，而人們在認識這種經濟現象的時候，

只能從影響它的很多因素中選擇一種或若干種來說明。這樣就會有許多因素未被選上，這些

未被選上的因素必然也會影響所研究的經濟現象。因此，山被選因素構成的數學模型與由全

部因素構成的數學模型去描述同一經濟現象，必然會有出入。為使模型更加確切地說明客觀

經濟現象，所以有必要引入隨機誤差項。隨機誤差項形成的原因：①在解釋變量中被忽略的

因素；②變量觀測值的觀測誤差；③模型的關系誤差或設定誤差；④其他隨機因素的影響。

1-15.答:

1-16.答：經濟數據是通過對經濟變量進行觀測和統計得到的，它們反映經濟活動相關方面

的水平和情況。從計量經濟學的角度看，經濟數據是計量經濟分析的材料，或者說發現經濟

規律的信息載體，對經濟規律的實證研究起十分關鍵的作用。為此，要求經濟數據須具備完

整性、準確性、可比性和一致性。

1-17.

1-18.

1-19.

1-20.

第二章經典單方程計量經濟學模型：一元線性回歸模型

一、內容提要

本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸

函數、樣本回歸模型與樣木回歸函數這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想。總體回

歸函數是對總體變量間關系的定量表述，山總體回歸模型在若干基本假設下得到，但它只是

建立在理論之上，在現實中只能先從總體中抽取一個樣本，獲得樣本回歸函數，并用它對總

體回歸函數做出統計推斷。

本章的一個重點是如何獲取線性的樣本回歸函數，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）

的學習與掌握。同時?，也介紹了極大似然估計法（ML）以及矩估計法（MM）。

本章的另個重點是對樣本回歸函數能否代表總體回歸函數進行統計推斷，即進行所

謂的統計檢驗。統計檢驗包括兩個方面，一是先檢驗樣本回歸函數與樣本點的“擬合優度”,

第二是檢驗樣本回歸函數與總體回歸函數的“接近”程度。后者又包括兩個層次：第一，檢

驗解釋變量對被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關系，通過變量的t檢驗完成；第二，

檢驗回歸函數與總體回歸函數的“接近”程度，通過參數估計值的“區間檢驗”完成。

本章還有三方面的內容不容忽視。其一，若干基本假設。樣本回歸函數參數的估計以

及對參數估計量的統計性質的分析以及所進行的統計推斷都是建立在這些基本假設之上的。

其二，參數估計量統計性質的分析，包括小樣本性質與大樣本性質，尤其是無偏性、有效性

與一致性構成了對樣本估計量優劣的最主要的衡量準則。Goss-markov定理表明OLS估計量

是最佳線性無偏估計量。其三，運用樣本回歸函數進行預測，包括被解釋變量條件均值與個

值的預測，以及預測置信區間的計算及其變化特征。

二、典型例題分析

例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數目，educ表示該婦女接受過教育的年數。生

育率對教育年數的簡單回歸模型為

kids=A+ftxeduc+〃

(1)隨機擾動項〃包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關嗎？

(2)上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。

解答：

(1)收入、年齡、家庭狀況、政府的相關政策等也是影響生育率的重要的因素，在上

述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機擾動項之中。有些因素可能與增長率水平相關，如

收入水平與教育水平往往呈正相關、年齡大小與教育水平呈負相關等。

(2)當歸結在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關時，上述回

歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因為這時出現解釋變量與隨機擾

動項相關的情形，基本假設4不滿足。

例2.已知回歸模型E=a+網+〃，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金(元),

N為所受教育水平(年隨機擾動項〃的分布未知，其他所有假設都滿足。

(1)從直觀及經濟角度解釋a和

(2)OLS估計量6和方滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由。

(3)對參數的假設檢驗還能進行嗎？簡單陳述理由。

解答：

(1)a+網為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。當N為零時，平均薪金

為a,因此a表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。月是每單位N變化所引起的E的

變化，即表示每多接受一年學校教育所對應的薪金增加值。

(2)OLS估計量6和仍方滿足線性性、無偏性及有效性，因為這些性質的的成立無需

隨機擾動項〃的正態分布假設。

(3)如果〃，的分布未知，則所有的假設檢驗都是無效的。因為t檢驗與F檢驗是建立

在〃的正態分布假設之上的。

例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由元改為100元，估計的

截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距

項與斜率項有無變化？

解答：

首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金，則

E=￡1*xlOO=a+/3N+〃

由此有如下新模型

E*=(a/100)+(夕/100)N+(〃/100)

或E*-a*+j3*N+/.i*

這里e*=a/100,，*=夕/100。所以新的回歸系數將為原始模型回歸系數的1/100。

再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度,

則N*=12N,于是

E-a+]3N+〃=a+/?(N*/12)+〃

或E=a+(￡/12)N*+〃

可見，估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸系數的1/12,

例4、對沒有截距項的一元回歸模型

匕=夕陽+從

稱之為過原點回歸(regrissionthroughtheorigin)。試證明

(1)如果通過相應的樣本回歸模型可得到通常的的正規方程組

=。

Z/X,=0

則可以得到目的兩個不同的估計值：耳=1/又，I=(Zx,4)/(zx；)。

(2)在基本假設后(從)=0下，月與A均為無偏估計量。

(3)擬合線戶=&X通常不會經過均值點(兀歹)，但擬合線歹=21X則相反。

(4)只有A是e的OLS估計量。

解答：

(1)由第一個正規方程Z9=0得

?匕一分區)=0

或￡匕=耳Zx,

求解得=Y/X

由第2個下規方程ZX,（匕一夕X,）=0得

求解得6=（ZX/）/（ZX,2）

（2）對于區=歹/又，求期望

?_/一11

成用）=鳳y/x）二歹E［-3x,+4）］

=5［成壑）+既從）］

Xn

Y

吟B、=B\

A

這里用到了X,的非隨機性。

對于6=（Zx』）/（zx,2），求期望

E（B\）=ERX"EX；）

=（y^T）Z/）=（yJT）XE【X,（4X,+4）］

=（式7冽》卡（式隹X，E"）=A

_____,x丫

（3）要想擬合值P=6X通過點（兄Y）,6又必須等于Y,但W3又

'X,

通常不等于「。這就意味著點（招,「）不太可能位于直線曠=Rx上。

相反地，由于反元=「，所以直線？=31X經過點（兄力。

（4）OLS方法要求殘差平方和最小

MinRSS=￡e；=￡（X「B\Xj2

關于自求偏導得

即次氏-6X,）=0

自0匕0：）

可見自是OLS估計量。

例5.假設模型為匕=。+俄，+〃,。給定〃個觀察值（X”K）,（x2,y2）,

（X,,,%）,按如下步驟建立p的一個估計量：在散點圖上把第1個點和第2個點連接起來

并計算該直線的斜率；同理繼續，最終將第1個點和最后一個點連接起來并計算該條線的斜

率；最后對這些斜率取平均值，稱之為公,即￡的估計值。

（1）畫出散點圖，給出6的幾何表示并推出代數表達式。

（2）計算方的期望值并對所做假設進行陳述。這個估計值是有偏的還是無偏的？解

釋理由。

（3）證明為什么該估計值不如我們以前用OLS方法所獲得的估計值，并做具體解釋。

解答：

（1）散點圖如下圖所示。

首先計算每條直線的斜率并求平均斜率。連接和（x,，z）的直線斜率為

（匕—K）/（X,—X。。由于共有〃一1條這樣的直線，因此

（2）因為X非隨機且E（〃,）=0,因此

司…]=磯3+外，+從）-9+外|+從）]=°+y=p

LvVJLVVJ'uvVJ'

[y\,jj]yA.1?

這意味著求和中的每一項都有期望值￡,所以平均值也會有同樣的期望值，則表明是無偏

的。

（3）根據高斯一馬爾可夫定理，只有尸的OLS估計量是最付佳線性無偏估計量，因此,

這里得到的B的有效性不如P的OLS估計量，所以較差.

例6.對于人均存款與人均收入之間的關系式S,=a+尸匕+〃，使用美國36年的年度數

據得如下估計模型，括號內為標準差：

S,=384.105+0.067匕

（151.105）（0.011）

R2=0.5385=199.023

（1）4的經濟解釋是什么？

（2）a和，的符號是什么？為什么？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，

你可以給出可能的原因嗎？

（3）對于擬合優度你有什么看法嗎？

（4）檢驗是否每一個回歸系數都與零顯著不同（在1%水平下）。同時對零假設和備擇假

設、檢驗統計值、其分布和自由度以及拒絕零假設的標準進行陳述。你的結論是什么？

解答：

（1）月為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預期平均變

化量。

（2）由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預期零收入時的平均儲蓄為負，因此a符

號應為負。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預期的符號為正。

實際的回歸式中，夕的符號為正，與預期的一致。但截距項為負，與預期不符。這可能與

由于模型的錯誤設定形造成的。如家庭的人口數可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對

截距項的估計產生影響；另種可能就是線性設定可能不正確。

（3）擬合優度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優度，

表明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8%的變動。

（4）檢驗單個參數采用t檢驗，零假設為參數為零，備擇假設為參數不為零。雙變量

情形下在零假設下t分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側1%下的臨界值位于

2.750與2.704之間。斜率項計算的t值為0.067/0.011=6.09,截距項計算的t值為

384.105/151.105=2.54o可見斜率項計算的t值大于臨界值，截距項小于臨界值，因此拒絕

斜率項為零的假設，但不拒絕截距項為零的假設。

三、習題

（-）基本知識類題型

2-1.解釋下列概念：

1）總體回歸函數

2）樣本回歸函數

3）隨機的總體回歸函數

4）線性回歸模型

5）隨機誤差項（u,）和殘差項（5）

6）條件期望

7）非條件期望

8）回歸系數或回歸參數

9）回歸系數的估計量

10）最小平方法

11）最大似然法

12）估計量的標準差

13）總離差平方和

14）回歸平方和

15）殘差平方和

16）協方差

17）擬合優度檢驗

18）t檢驗

19）F檢驗

2-2.判斷正誤并說明理由：

1）隨機誤差項&和殘差項5是一回事

2）總體回歸函數給出了對應于每一個自變量的因變量的值

3）線性回歸模型意味著變量是線性的

4）在線性回歸模型中，解釋變量是原因，被解釋變量是結果

5）隨機變量的條件均值與非條件均值是一回事

2-3.回答下列問題：

1）線性回歸模型有哪些基本假設？違背基本假設的計量經濟學模型是否就不可估計？

2）總體方差與參數估計誤差的區別與聯系。

3）隨機誤差項Ui和殘差項5的區別與聯系。

4）根據最小二乘原理，所估計的模型已經使得擬合誤差達到最小，為什么還要討論模型的

擬合優度問題？

5）為什么用決定系數R2評價擬合優度，而不用殘差平方和作為評價標準？

6）R2檢驗與F檢驗的區別與聯系。

7）回歸分析與相關分析的區別與聯系。

8）最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？說明它們有何區別？

9）為什么要進行解釋變量的顯著性檢驗？

10）是否任何兩個變量之間的關系，都可以用兩變量線性回歸模型進行分析？

2-2.下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什么？

(1)yt=a13xt，=1,2,…,〃

(2)yt=a+/3xt-v]Litr=1,2,…,〃

(3)f=1,2,…,〃

(4)少=6+//+從t-

(5)yt=apxt1=1,2,…,〃

(6)yt=a+pxtt-1,2,???,/:

(7)H=&+//+Af=1,2,…,〃

(8)yt=a+px,+fj,r=1,2,…,”

其中帶“八”者表示“估計值”。

2-3.下表列出若干對自變量與因變量。對每一對變量，你認為它們之間的關系如何？是正

的、負的、還是無法確定？并說明理由。

因變量自變量

GNP利率

個人儲蓄利率

小麥產出降雨量

美國國防開支前蘇聯國防開支

棒球明星本壘打的次數其年薪

總統聲譽任職時間

學生計量經濟學成績其統計學成績

日本汽車的進口量美國人均國民收入

(二)基本證明與問答類題型

2-4.對于一元線性回歸模型，試證明:

(1)￡(y,)=a+/3Xj

⑵。(先)"

(3)Cov(yi,yj)=0ij

2-5.參數估計量的無偏性和有效性的含義是什么？從參數估計量的無偏性和有效性證明過

程說明，為什么說滿足基本假設的計量經濟學模型的普通最小二乘參數估計量才具有無偏性

和有效性？

2-6.對于過原點回歸模型匕+%,試證明

ACT2

y=會

2-7.試證明:

(1)工令=0,從而：e=0

⑵、項=0

(3)Z6*=0；即殘差e,與匕的估計值之積的和為零。

2-8.為什么在一元線性方程中，最小二乘估計量與極大似然估計量的表達式是一致的？證

明：。2的ML估計量為a?=」支￡,并且是有偏的。

〃,=i

2-9.熟悉t統計量的計算方法和查表判斷。

22

2-10.證明：R=（ryx）；其中R?是一元線性回歸模型的判定系數，Q是y與x的相關

系數。

2-11.試根據置信區間的概念解釋t檢驗的概率意義，即證明：對于顯著性水平a,當

卜,|>，％時，b,的100（1-a）%的置信區間不包含0。

2-12.線性回歸模型

yt=a+/3xt+^itt=1,2,…,〃

的0均值假設是否可以表示為4之M=0?為什么？

2-13.現代投資分析的特征線涉及如下回歸方程：r,=瓦+d小+匕；其中：r表示股票

或債券的收益率；環表示有價證券的收益率（用市場指數表示，如標準普爾500指數）；t

表示時間。在投資分析中，Bi被稱為債券的安全系數B,是用來度量市場的風險程度的，

即市場的發展對公司的財產有何影響。依據1956?1976年間240個月的數據，Fogler和

Ganpathy得到IBM股票的回歸方程；市場指數是在芝加哥大學建立的市場有價證券指數：

r,=0.7264+1.0598/r2=0.4710

（0.3001）（0.0728）

要求：（1）解釋回歸參數的意義；（2）如何解釋”?（3）安全系數6>1的證券稱為不穩定

證券，建立適當的零假設及備選假設，并用t檢驗進行檢驗（a=5%）。

A?1-

2-14.已知模型匕=a+",+處,證明：估計量a可以表示為：a=Y（――/叱）乃這

里叱=—^

2-15.已知兩個量X和Y的一組觀察值（xi，y）i=l,2,?,,,n。

證明：Y的真實值和擬合值有共同的均值。

2-16.一個消費分析者論證了消費函數G=。+小匕是無用的，因為散點圖上的點（G，X）

不在直線G=a+8匕上。他還注意到，有忖Yi上升但Ci下降。因此他下結論：Ci不是Yi

的函數。請你評價他的論據（這里G是消費，Yj是收入）。

2-17.證明：僅當R2=l時，y對x的線性回歸的斜率估計量等于x對y的線性回歸的斜率

估計量的倒數。

AQA

2-18.證明：相關系數的另一個表達式是：r=夕一其中/為一元線性回歸模型一次項

系數的估計值，Sx、Sy分別為樣本標準差。

2-19.對于經濟計量模型：匕=%+4*,+%，其OLS估計參數片的特性在下列情況下

會受到什么影響：（1）觀測值數目n增加；（2）Xi各觀測值差額增加；（3）Xi各觀測值近

似相等；（4）E（u2）=0。

2-20.假定有如下的回歸結果：￡=2.6911—0.4795X,,其中，Y表示美國的咖啡的消費

量（每天每人消費的杯數），X表示咖啡的零售價格（美元/杯），t表示時間。

要求：

（1）這是一個時間序列回歸還是橫截面序列回歸？做出回歸線；

（2）如何解釋截距的意義，它有經濟含義嗎？如何解釋斜率？

（3）能否求出真實的總體回歸函數？

（4）根據需求的價格彈性定義：彈性=斜率X（X/Y）,依據上述回歸結果，你能求出對咖

啡需求的價格彈性嗎？如果不能，計算此彈性還需要其他什么信息？

（三）基本計算類題型

2-21.下面數據是對X和Y的觀察值得到的。

EYi=1110:SXi=1680：SXiYi=204200

EXj2=315400；EYi2=133300

假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，要求：（1）b］和b2?（2）b］和b2的標準差？（3）

2

r?（4）對Bi、B2分別建立95%的置信區間？利用置信區間法，你可以接受零假設：B2=0

嗎？

2-22.假設王先生估計消費函數（用模型。，=a+匕匕+%表示），并獲得下列結果：

6=15+0.81匕，n=l9

（3.1）（18.7）R2=0.98這里括號里的數字表示相應參數的T比率值。

要求：（1）利用T比率值檢驗假設：b=0（取顯著水平為5%）；（2）確定參數估計量的標準

方差；（3）構造b的95%的置信區間，這個區間包括。嗎？

2-23.下表給出了每周家庭的消費支出Y（美元）與每周的家庭的收入X（美元）的數據。

每周收入（X）每周消費支出（Y）

8055,60,65,70,75

10065,70,74,80,85,88

12079,84,90,94,98

14080,93,95,103,108,113,115

160102,107,110,116,118,125

180110,115,120,130,135,140

200120,136,140,144,145

220135,137,140,152,157,160,162

240137,145,155,165,175,189

260150,152,175,178,180,185,191

要求：

（1）對每一收入水平，計算平均的消費支出，E（Y|X3即條件期望值；

（2）以收入為橫軸、消費支出為縱軸作散點圖；

（3）在散點圖中，做出（1）中的條件均值點；

（4）你認為X與Y之間、X與Y的均值之間的關系如何？

（5）寫出其總體回歸函數及樣本回歸函數；總體回歸函數是線性的還是非線性的？

2-24.根據上題中給出的數據，對每一個X值，隨機抽取一個Y值，結果如下：

Y70659095110115120140155150

X80100120140160180200220240260

要求：

（1）以Y為縱軸、X為橫軸作圖，并說明Y與X之間是怎樣的關系？

（2）求樣本回歸函數，并按要求寫出計算步驟；

（3）在同一個圖中，做出樣本回歸函數及從上題中得到的總體回歸函數：比較二者相同嗎？

為什么？

2-25.下表給出了1990?1996年間的CPI指數與S&P500指數。

年份CPIS&P500指數

1990130.7334.59

1991136.2376.18

1992140.3415.74

1993144.5451.41

1994148.2460.33

1995152.4541.64

1996159.6670.83

資料來源：總統經濟報告，1997.CP1指數見表B-60,笫380頁：S&P指數見表B-93,笫406支.

要求：（1）以CPI指數為橫軸、S&P指數為縱軸做圖；

（2）你認為CPI指數與S&P指數之間關系如何？

（3）考慮下面的回歸模型：（S&P）,=4+當。h，+%,根據表中的數據運用OLS

估計上述方程，并解釋你的結果；你的結果有經濟意義嗎？

2-26.下表給出了美國30所知名學校的MBA學生1994年基本年薪（ASP）、GPA分數（從

1?4共四個等級）、GMAT分數以及每年學費的數據。

學校ASP/美元GPAGMAT學費/美元

Harvard1026303.465023894

Stanford1008003.366521189

Columbian1004803.364021400

Dartmouth954103.466021225

Wharton899303.465021050

Northwestern846403.364020634

Chicago832103.365021656

MIT805003.565021690

Virginia742803.264317839

UCLA740103.564014496

Berkeley719703.264714361

Cornell719703.263020400

NUY706603.263020276

Duke704903.362321910

CarnegieMellon598903.263520600

NorthCarolina698803.262110132

Michigan678203.263020960

Texas618903.36258580

Indiana585203.261514036

Purdue547203.25819556

CaseWestern572003.159117600

Georgetown698303.261919584

MichiganState418203.259016057

PennState491203.258011400

SouthernMethodist609103.160018034

Tulane440803.160019550

Illinois471303.261612628

Lowa416203.25909361

Minnesota482503.260012618

Washington441403.361711436

要求：（1）用雙變量回歸模型分析GPA是否對ASP有影響？

（2）用合適的回歸模型分析GMAT分數是否與ASP有關？

（3）每年的學費與ASP有關嗎？你是如何知道的？如果兩變量之間正相關，是否意

味著進到最高費用的商業學校是有利的；

（4）你同意高學費的商業學校意味著高質量的MBA成績嗎？為什么？

2-27.從某工業部門抽取10個生產單位進行調查，得到下表所列的數據：

單位序號年產量（萬噸）y工作人員數（千人）X

1210.87.062

2210.17.031

3211.57.018

4208.96.991

5207.46.974

6205.37.953

7198.86.927

8192.16302

9183.26.021

10176.85.310

要求：假定年產量與工作人員數之間存在線性關系，試用經典回歸估計該工業部門的生產函

數及邊際勞動生產率。

2-28.下表給出了1988年9個工業國的名義利率（Y）與通貨膨脹率（X）的數據：

國家Y(%)X(%)

澳大利亞11.97.7

加拿大9.44.0

法國7.53.1

德國4.01.6

意大利11.34.8

第西哥66.351.0

瑞典2.22.0

英國10.36.8

美國7.64.4

資料來源：原始數據來自國際貨幣基金組織出版的《國際金融統計》

要求:

（1）以利率為縱軸、通貨膨脹率為橫軸做圖；

（2）用OSL進行回歸分析，寫出求解步驟；

（3）如果實際利率不變，則名義利率與通貨膨脹率的關系如何？

（四）自我綜合練習類題型

2-29.綜合練習：自己選擇研究對象，收集樣本數據（利用我國公開發表的統計資料），應

用計量經濟學軟件（建議使用Eviews3.1）完成建立計量經濟學模型的全過程，并寫出詳細

的研究報告。（通過練習，能夠熟練應用計量經濟學軟件Eviews3.1中的最小二乘法）

四、習題參考答案

2-1.答：

⑴總體回歸函數是指在給定X,下的丫的分布的總體均值與x,.有函數關系。

⑵樣本回歸函數指對應于某個給定的x的丫值的一個樣本而建立的回歸函數。

⑶隨機的總體回歸函數指含有隨機誤差項的總體回歸函數，形如：

匕=A+62匕+W,

⑷線性回歸模型指對參數△為線性的回歸，即只以它的1次方出現，對x可以是或

不是線性的。

⑸隨機誤差項也稱誤差項，是一個隨機變量，針對總體回歸函數而言。

⑹殘差項是一隨機變量，針對樣本回歸函數而言。

⑺條件期望又稱條件均值，指x取特定X,值時的丫的期望值。

⑼回歸系數（或回歸參數）指.、用等未知但卻是固定的參數。

（10）回歸系數的估計量指用公、身等表示的用已知樣本所提供的信息去估計出來的量。

?估計量的標準差指度量一個變量變化大小的標準。

（M）總離差平方和用TSS表示，用以度量被解釋變量的總變動。

（15）回歸平方和用ESS表示，用以度量由解釋變量變化引起的被解釋變量的變化。

?殘差平方和用RSS表示，用以度量實際值與擬合值之間的差異，是由除解釋變量以

外的其他因素引起的。

（17）協方差用Cov（X,Y）表示，是用來度量X、Y二個變量同時變化的統計量。

2-2.答：錯；錯：錯；錯；錯。（理由見本章其他習題答案）

2-3.答:

⑴線性回歸模型的基本假設（實際是針對普通最小二乘法的基本假設）是：解釋變量是

確定性變量，而且解釋變量之間互不相關；隨機誤差項具有0均值和同方差；隨機誤差項在

不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關；隨機誤差項與解釋變量之間不相關；隨機誤差

項服從0均值、同方差的正態分布。違背基本假設的計量經濟學模型還是可以估計的，只是

不能使用普通最小二乘法進行估計。

⑸判定系數=至!=1_壁，含義為山解釋變量引起的被解釋變量的變化占被解

TSSTSS

釋變量總變化的比重，用來判定回歸直線擬合的優劣。該值越大說明擬合得越好。

⑩不是。

2-8.證明：

由于。?'=當YX工,Y,，因

此

、xyxrxY

",1J

=yX'，￡x,2(y2

1M〃N"(Zx曠IX

2-9.證明：

⑴根據定義得知，

=z（x-*）=二z(匕一四一四X,)=Z匕一〃A—從ZXi

=?y-n/?,-n/32X=n(Y-P,-P2X)

=0

Ve

從而使得：V=)

n

證畢。

⑵

V工平[=Z(匕-Yi)(Xi-招)=Z(KX-xy,.-XtY+9)

=Z憶X,-利-(匕-ejx,+M-/

=Z(匕X,—xy,-匕X,+eiXi+XY,-e,X

=2＞因一6區)

=Z?(〃T)

=0

??E氏=0

證畢。

(3)

￡e￡=Zc+0?xi)=Z?We，+四￡e,.X,

=B》ej+〃鄧

=0

證畢。

2-14.答：線性回歸模型：％=a+，x,+4中的。均值假設E(“2)=O不可以表示為：

工=0,因為前者表示取完所的可能的樣本組合后的平均狀態，而后者只是一個樣本的

nz=i

平均值。

2-16.證明：

Zx%=EA（y,-歹）=一=ZKX

i=l1=1i=li={i=l

nyjYHll1V

?=宜—EAX-=E（--^—）X

n

，T（=l<=1儲；

i=li=\

證畢。

2-17.證明：

?.?龍利方滿足正規方程f-(1+慶)]=0

1=1

X=?+慶

f（%-少）=0即表明Y的真實值與擬合值有共同的均值。

/=）

證畢。

2-18.答：他的論據是錯誤的。原因是他忽略了隨機誤差項內,這個隨機誤差項可取正

值和負值，但是E（%）=0,將G與匕的關系表達為G=a+PL是不準確的，而是個

平均關系。

2-19.證明：

設：y,.=a0+dtXi，

X=片+用加

由于：要逑=1=\＞；=岑等

線性回歸的斜率估計量：加=登旦=?.二.，

=A

證畢。

2-20.證明：

%，

,?/=溪又：s.,=廬[s,.=]

n-l

"s「三呢"一

V72-1

證畢。

2-22.解：

⑴這是一個橫截面序列回歸。（圖略）

⑵截距2.6911表示咖啡零售價在f時刻為每磅0美元時，美國平均消費量為每天每人

2.6911杯，這個數字沒有經濟意義；斜率-0.4795表示咖啡零售價與消費量負相關，在，時刻,

價格上升1美元/磅，則平均每天每人消費量減少0.4795杯；

⑶不能；

⑷不能；在同一條需求曲線上不同點的價格彈性不同，若要求出，須給出具體的X值

及與之對應的y值。

2-23.解：

_yx,._2匕

⑴<X=^^=168,=

nn

Z（x,.—招）（匕一「）=z（x,xft國+和）

=204200-1680x111-168x1110+10x168x111

=17720

又???Z（X,-KT=Z（X：-2X3+砰）

=ZX；-2xl0》2+io》2

=315400-10x168x168

=33160

Z（X：-K）（yj-「）17720

=0.5344

A-Z（X,-9A-33160

舟=「—為》=U1—05344x168=21.22

_Z（K—KM_Z（?—2yx+疔）

⑵人

n-2~10-2-8

?.?匕=21.22+0.5344X,.

Z（匕2_2匕p+￡2）=￡（邛_2X21.22匕一2X0.534