（1-1）4.1邏輯函數(shù)及其簡化邏輯代數(shù)邏輯函數(shù)的簡化公式化簡法卡諾圖法重點(diǎn)（1-2）內(nèi)容提要

本章是數(shù)字邏輯電路的基礎(chǔ)，主要內(nèi)容包含：

（1）基本邏輯概念，邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算（與、或、非）及其復(fù)合運(yùn)算（與非、或非、與或非、同或、異或等）。

（2）邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律（交換律、結(jié)合律、分配律、重疊律、反演律、調(diào)換律等）。

（3）邏輯代數(shù)基本運(yùn)算公式及三個(gè)規(guī)則（代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則）。

（4）邏輯函數(shù)的五種表示方法（真值表法、表達(dá)式法、卡諾圖法、邏輯圖法及硬件描述語言）及其之間關(guān)系。（5）邏輯函數(shù)的化簡方法（1-3）教學(xué)基本要求

要求掌握：

??（1）邏輯代數(shù)的基本定律和定理。

??（2）邏輯問題的描述方法。

??（3）邏輯函數(shù)的化簡與變換方法。

（1-4）重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章重點(diǎn)：（1）邏輯代數(shù)中的基本公式、基本定理和基本定律。

（2）常用公式。

（3）邏輯函數(shù)的真值表、表達(dá)式、卡諾圖表示方法及其相互轉(zhuǎn)換。（4）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念。

（5）邏輯函數(shù)公式化簡法和卡諾圖化簡法。（1-5）在數(shù)字電路中，研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義，這里的0和1只表示兩個(gè)對立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高、開關(guān)的開合等。4.1邏輯代數(shù)及運(yùn)算規(guī)則電平的高低一般用“1”和“0”兩種狀態(tài)區(qū)別，若規(guī)定高電平為“1”，低電平為“0”則稱為正邏輯。反之則稱為負(fù)邏輯。本書采用正邏輯。（1-6）（1）“與”邏輯A、B、C條件都具備時(shí)，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號2.1.1基本邏輯關(guān)系：（1-7）F=A?B?C邏輯式邏輯乘法邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表（1-8）（2）“或”邏輯A、B、C只有一個(gè)條件具備時(shí)，事件F就發(fā)生。1ABCF邏輯符號AEFBC（1-9）F=A+B+C邏輯式邏輯加法邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表（1-10）（3）“非”邏輯A條件具備時(shí)，事件F不發(fā)生；A不具備時(shí)，事件F發(fā)生。邏輯符號AEFRAF（1-11）邏輯式邏輯非邏輯反真值表AF0110（1-12）常見的邏輯符號（1-13）復(fù)合運(yùn)算(常用)與非：與+非&ABCF或非：或+非1ABCF（1-14）異或：相異為1=1ABF同或：相同為1=1ABF⊙ABY001100111001異或邏輯狀態(tài)表ABY001100100111同或邏輯狀態(tài)表（1-15）ABC&1&D>1Y與或非運(yùn)算Y=A·B+C·D邏輯表達(dá)式：>1&&YABCD邏輯符號（1-16）常見的復(fù)合邏輯符號（1-17）4.1.2

幾種基本的邏輯運(yùn)算

從三種基本的邏輯關(guān)系出發(fā)，我們可以得到以下邏輯運(yùn)算結(jié)果：0?0=0?1=1?0=01?1=10+0=00+1=1+0=1+1=1（1-18）1.常量與變量的關(guān)系邏輯代數(shù)運(yùn)算法則2.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則自等律0-1律重疊律還原律互補(bǔ)律交換律（1-19）2.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則普通代數(shù)不適用！證:結(jié)合律分配律A+1=1

AA=A.（1-20）110011111100反演律列狀態(tài)表證明：AB00011011111001000000證明邏輯公式的好辦法：列出真值表（摩根定理）（1-21）三、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對邏輯式進(jìn)行化簡。例如：被吸收(1)A+AB=A(2)A(A+B)=A（1-22）2.反變量的吸收：證明：例如：DCBCADCBCAA++=++被吸收（1-23）3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收吸收（1-24）其他公式（1）（2）（3）反變量原變量原函數(shù)反函數(shù)一般：AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的區(qū)別?。?-25）4.1.5邏輯函數(shù)的三個(gè)規(guī)則

二、反演定理（香農(nóng)定律）一、代入定理重要，記住例：“與”改為“或”時(shí)應(yīng)加括號錯(cuò)！摩根定理是反演定理的特例任何一個(gè)包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立（1-26）三、對偶規(guī)則F與F*互為對偶式1、對偶式例：求對偶式時(shí)，變量是保持不變的（1-27）設(shè)則F的對偶式F的反演式求對偶式變量保持不變求反演式總結(jié)（1-28）若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。2、對偶規(guī)則例：因F=G故F*=G*（1-29）1真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。設(shè)A、B、C為輸入變量，F(xiàn)為輸出變量。§4.1.3真值表與邏輯函數(shù)一個(gè)主裁A，兩個(gè)副裁B.C，包括主裁兩個(gè)及以上判罰合格，則運(yùn)動(dòng)員成績合格1表示合格：0表示不合格

0000

A

B

C

Y0010010001101000101111011111三輸入變量有八種組合狀態(tài)n輸入變量有2n種組合狀態(tài)列出所有可能的狀態(tài)EYBCA副裁判主裁判（1-30）把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式。2邏輯函數(shù)式F=A(B+C)EYBCA副裁判主裁判

0000

A

B

C

Y0010010001101000101111011111邏輯圖：（1-31）取Y=“1”(或Y=“0”)列邏輯式取Y=“1”由真值表寫出邏輯函數(shù)式對應(yīng)于Y=1，若輸入變量為“1”，則取輸入變量本身(如A)；若輸入變量為“0”則取其反變量(如A)。一種組合中，輸入變量之間是“與”關(guān)系，

0000

A

B

C

Y0010010001101000101111011111（1-32）各組合之間是“或”關(guān)系邏輯函數(shù)式反之，也可由邏輯式列出狀態(tài)表。

0000

A

B

C

Y0010010001101000101111011111F=A(B+C)？（1-33）反變量吸收提出AB=1提出A（1-34）4.1.6邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)最小項(xiàng)定義：原變量與反變量出現(xiàn)1次的乘積項(xiàng)最小項(xiàng)寫法：0----反變量1----原變量（1-35）最小項(xiàng)主要性質(zhì)：1）1個(gè)輸入組合，對應(yīng)的最小項(xiàng)為1，其它的最小項(xiàng)為02）兩相鄰最小項(xiàng)可合并：相鄰最小項(xiàng)定義：只有一個(gè)因子不同的最小項(xiàng)真值表中位置相鄰的最小項(xiàng)不一定是相鄰最小項(xiàng)例如：與（1-36）最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式（最小式表達(dá)式）1、由真值表直接寫出加法器（1-37）2、由邏輯函數(shù)寫出最小項(xiàng)之和＝＋＋ABC＋ABC例：F＝A＋BC＝＋A（B＋B

）BC（A＋A

）AB（C＋C

）AB（C＋C

）＝ABC＋ABC＋ABC＋ABC＋ABC＝m7

＋m6

＋m5

＋m4

＋m3＝

m（3，4，5，6，7）＝

（3，4，5，6，7）＝AB＋AB＋ABC＋ABC（1-38）二、最大項(xiàng)最大項(xiàng)定義：原變量與反變量出現(xiàn)1次的變量之和最小項(xiàng)寫法：0----反變量1----反變量最大項(xiàng)寫法：0----原變量1----反變量變量之和變量乘積（1-39）最大項(xiàng)主要性質(zhì)：1）1個(gè)輸入組合，對應(yīng)的最大項(xiàng)為0，其它的最小項(xiàng)為12）兩相鄰最大項(xiàng)可合并：相鄰最大項(xiàng)定義：只有一個(gè)因子不同的最大項(xiàng)3）（1-40）最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)形式（最大項(xiàng)表達(dá)式）由真值表直接寫出（1-41）加法器最小式表達(dá)式同一個(gè)函數(shù)最大式表達(dá)式?=jMj≠i其中下標(biāo)編號互補(bǔ)

（3，4，5，6，7）＝

M（0，1，2）（1-42）三、異或標(biāo)準(zhǔn)式四、同或標(biāo)準(zhǔn)式若最小式表達(dá)式則必有異或標(biāo)準(zhǔn)式若最大式表達(dá)式則必有同或標(biāo)準(zhǔn)式SUM=M0⊙M3⊙

M5⊙

M6（1-43）§4.2邏輯函數(shù)的簡化一、化簡的意義:節(jié)省器材++最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式不是最簡式4.2.1邏輯函數(shù)最簡形式（1-44）1.與或式表達(dá)式中與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少在滿足上述條件的情況下，要求每個(gè)與項(xiàng)中的變量的個(gè)數(shù)最少2.或與式表達(dá)式中或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少在滿足上述條件的情況下，要求每個(gè)或項(xiàng)中的變量的個(gè)數(shù)最少二、邏輯函數(shù)的最簡標(biāo)準(zhǔn)4.2.2常用化簡法1、代數(shù)法化簡(公式法)2、卡諾圖化簡3、計(jì)算機(jī)自動(dòng)化簡文字?jǐn)?shù)最少的“與或式”（1-45）例1：化簡1.邏輯代數(shù)法化簡（1）并項(xiàng)法例2：化簡（2）配項(xiàng)法（1-46）例3：化簡（3）加項(xiàng)法（4）吸收法吸收例4：化簡（1-47）例5：化簡吸收吸收吸收B提取后用吸收法（1-48）例6：反演配項(xiàng)被吸收被吸收（1-49）

2.應(yīng)用卡諾圖化簡卡諾圖:是與最小項(xiàng)對應(yīng)的按一定規(guī)則排列的方格圖，每一小方格填入一個(gè)最小項(xiàng)。（1）項(xiàng)數(shù)：對于n輸入變量,其相應(yīng)的乘積項(xiàng)也有2n個(gè)。如：三個(gè)變量，有8種組合，最小項(xiàng)就是8個(gè)，卡諾圖也相應(yīng)有8個(gè)小方格。在卡諾圖的行和列分別標(biāo)出變量及其狀態(tài)。（1-50）(2)卡諾圖BA0101二變量BCA0010011110三變量二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號AB00011110CD00011110四變量任意兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)之間只有一個(gè)變量改變（1-51）ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元編號0010，對應(yīng)于最小項(xiàng)：ABCD=0100時(shí)函數(shù)取值只有一項(xiàng)不同（1-52）(2)卡諾圖（a)根據(jù)真值表畫出卡諾圖如:ABC00100111101111將輸出變量為“1”的填入對應(yīng)的小方格,為“0”的可不填。

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111（1-53）(2)卡諾圖（b)根據(jù)邏輯式畫出卡諾圖ABC00100111101111將邏輯式中的最小項(xiàng)分別用“1”填入對應(yīng)的小方格。如果邏輯式中最小項(xiàng)不全，可不填。如:注意：如果邏輯式不是由最小項(xiàng)構(gòu)成，一般應(yīng)先化為最小項(xiàng)，或按例7方法填寫。（1-54）(3)應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)ABC00100111101111例6.用卡諾圖表示并化簡。解：

(a)將取值為“1”的相鄰小方格圈成圈;步驟1.卡諾圖2.合并最小項(xiàng)3.寫出最簡“與或”邏輯式(b)所圈取值為“1”的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n，(n=0,1,2…)（1-55）(3)應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)ABC00100111101111解：三個(gè)圈最小項(xiàng)分別為：

合并最小項(xiàng)

寫出簡化邏輯式卡諾圖化簡法：保留一個(gè)圈內(nèi)最小項(xiàng)的相同變量，而消去相反變量。（1-56）00ABC100111101111解：寫出簡化邏輯式多余AB00011110CD000111101111相鄰例6.應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(1)(2)（1-57）

相臨單元的個(gè)數(shù)是2N個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以合并。ABCD0001111000011110不是矩形（1-58）解：寫出簡化邏輯式AB00011110CD000111101例7.應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)111111111

含A均填“1”注意：1.圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少2.每個(gè)“圈”要最大3.每個(gè)“圈”至少要包含一個(gè)未被圈過的最小項(xiàng)。4.圈中“1”的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n，且為矩形5.所有的1都被圈過后，化簡結(jié)束。（1-59）三、“與或式”-----“與非門”實(shí)現(xiàn)

1.化簡為文字?jǐn)?shù)最少的“與或式”

2.取二次Bar：與非-與非式

3.用與非門實(shí)現(xiàn)非門也可用與非門實(shí)現(xiàn)因