《新高考高中或學法心知以點二全透視》

專題11.3空間向量的應用（精講精析篇）

1職京喬

一、核心素養

以幾何體為載體，考查空間線面的平行、垂直關系，考查空間角的函數值的計算，凸顯直觀想象、數學運

算、邏輯推理的核心素養.

二、考試要求

1.掌握空間兩點間的距離公式，會求向量的長度、兩向量夾角，并會解決簡單的立體

幾何問題.

2.埋解直線的方向向量與平面的法向量，會用向量方法證明直線、平面位置關系的有

關命題.

3.會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.

三、主干知識梳理

（一）空間向量的坐標表示及運算

（1）數量積的坐標運算

設a=3i，。2，。3），b=（b\>bi，歷），

則①。功=（。1坊I，坊2，。3坊3）；

②2a=（3，而2,幺〃3）；

?ab=a\b\+4262+0363.

（2）共線與垂直的坐標表示

設。=31,公，。3）,b=（bi，bi,63）,

則a〃》<=>a=勸0ai=AZh,。2=人岳，?3=XZ>3（A^R）,

a_Lb<=>a0=00。曲+。2/+a3b3=03，b均為非零向量）.

（3）模、夾角和距離公式

設。=3i，。2，。3），b=（bi，歷，①），

則悶=，^=，屆+屆+質,

..a-h______。仍i+42岳+。3A

cosa,團網「a彳+尾+屑7比+員+密

設A（G，bi，ci）,8（。2，bi,C2），

則"AS=1AB|=J（〃2-。］）2+（人2-瓦）~+G-。］）2.

（二）異面直線所成的角

①定義：設mb是兩條異面直線，過空間任一點0作直線加//a,b'//b,則4,與》所夾的銳角或直

角叫做。與人所成的角.

②范圍：兩異面宜線所成角J的取值范圍是（0,—］.

2

③向量求法：設直線4,。的方向向量為a,b,其夾角為9，則有cose=|cos*|j；

（三）直線與平面所成角

直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線/的方向向量為e,平面a的法向量為〃，直線,與平面。所

成的角為9，兩向量e與〃的夾角為仇則有5訪8=|8$例=占務

⑴如圖1,44、CO是二面角a一/一尸的兩個面內與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=（AB,CD）.

（2）如圖2、3,最名分別是二面角。一/一四的兩個半平面a,夕的法向量，則二面角的大小夕=<%,%>（或

TV-<nvn2>）.

（五）利用向量求空間距離

點面距的求法：如圖，設A8為平面Q的一條斜線段，〃為平面Q的法向量，則8到平面Q的距離1=糜且

怎樣考？小試牛刀強自信!

一、命題規律

解答題常以多面體為載體，第一問常?？疾榭臻g線面平行、垂直關系，突出考查學生的空間想象能力及推理

論證能力;第二間線線角、線面角和二面角是高考的熱點，重在考查空間向量的應用、數學運算、直觀想象等

核心素養.

二、真題展示

1.【多選題】（2021?全國高考真題）在正三棱柱ABC-A居G中，=，點產滿足麗=4配+〃西,

其中九?0』，//e[0,l],則（）

A.當4=1時，qP的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸-ABC的體積為定值

C.當2時，有且僅有一個點尸，使得

D.當〃=；時，有且僅有一個點〃，使得■平面八片尸

【答案】BD

【分析】

對于A,由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個數；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個數.

【詳解】

易知，點P在矩形3CG與內部（含邊界）.

對于A,當;1=1時，麗=配+〃砥=前+〃場，即此時尸w線段CG，周長不是定值，故A錯誤;

對于B,當〃=1時，麗=疵+麗=麗+網,故此時P點軌跡為線段8G，而BQ/BC,4G〃平面

A/C,則有戶到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當4=3時，加=;而+〃西，取BC,8G中點分別為Q,H,則麗二皿+〃西，所以尸點

軌跡為線段Q",不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，Ay,O,l,P（0,0,//）,則

\p=一日,0,〃一1）,即=（0,-；,〃），乖麗="（"-1）=0,所以〃=0或〃=1.故”，。均滿足，故C

錯誤；

對于D,當"=；時，而=4阮+g西，取叫,CG中點為麗=麗十;I麗，所以「點軌跡為線

段MN.設P，因為所以4P二一孝‘為'；，AB=一。亭’3'一1，所以

3111

—+—y"—=0=>.y=--,此時尸與N重合，故D正確.

420202

故選：BD.

2.（2021?天津高考真題）如圖，在棱長為2的正方體ABS-ABIGA中，E為棱8C的中點，產為棱

。。的中點.

（I）求證：〃平面AEG：

（II）求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

（III）求二面角A-AG-E的正弦值.

【答案】（D證明見解析；di）立；（n【）!.

93

【分析】

（I）建立空間直角坐標系，求出不及平面AEG的一個法向量記，證明即_L而，即可得證；

（II）求出宿，由sine^cos（茄，蕾）|運算即可得解；

（III）求得平面小C的一個法向量而，由cos（麗，記）=蠲有結合同角三角函數的平方關系即可得解.

【詳解】

（I）以A為原點，A8,ADM分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則4（0,0,0）,A（0,0,2）.5（2,0,0）,C（2,2,0|,0（020）（2,2,2）,（0,2,2）,

因為E為楂bC的中點，F為棱CD的中點，所以E（2,l,0）,尸（1,2,0）,

所以麗=（1,0,-2）,福=（2,2,0）.襦=（2,1,-2）,

設平面AEG的一個法向量為正=（%,/］，4）,

則_2L，令％=2,則帆=（2,-2,1）,

wrAE=2%+）1-2zj=0

因為耶?肩=2-2=0,所以即J_正，

因為。尸&平面AEG，所以2尸"平面AEG：

(II)由(1)得，Xq=(2,2,2),

設直線AG與平面AEG所成角為仇

則13H加砌=|睛＞袤邛：

（III）由正方體的特征可得，平面AAG的一個法向量為麗=（2,-2,0）,

則cos(OB,m)=DBm82yf2

|DB|.|^|-3x2>/2"~

所以二面角A-AG-E的正弦值為^-cos2（DB,m）=g.

考點01異面直線所成的角

【典例1】（2018?全國高考真題（理））在長方體ABCD-AMGA中，AB=BC=lt例=6,則異

面直線A］與DB.所成角的余弦值為（）

,1V5「石『、五

A.—RB.C.——D.---

5652

【答案】C

【解析】

以D為坐標原點，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

50,0,0）,A（1,O,O）,4（1,1,石）,A（O,O,石）,所以西二（一1,0,百），函=（1,1,石）,

因為8s（犯刀瓦"墻蠲=蒜=當

,所以異面直線4。與。所成角的余弦值為三，選

5

C.

【總結提升】

向量法求兩異面直線所成角的步驟

（1）選好基底或建立空間直角坐標系；

⑵求出兩直線的方向向量人%

\V\v^\

⑶代入公式Icos<v.,3\［求解.

\V\\\V2\

提醒：兩異面直線所成角。的范圍是（o,y,兩向量的夾角a的范圍是［0,兀］,當兩異面直線的方向向

量的夾角為銳角或直角時，就是這兩條異面直線所成的角；當兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其

補角才是兩異面直線所成的角.

考點02直線與平面所成角

【典例2】（2021?浙江高考真題）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面48CD是平行四邊形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15，M,N分別為8cpe的中點，PDtDC,PMtMD.

（1）證明：AB1PM：

（2）求直線AN與平面尸DW所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

6

【解析】

（1）要證，可證￡>C_LPM,由題意可得，尸力_LOC，易證OM_LDC,從而。CJ_平面&W,

即有DC_LPM,從而得證；

（2）取中點E，根據題意可知，ME,DW,PM兩兩垂直，所以以點M為坐標原點，建立空間直角坐

標系，再分別求出向量而和平面RW的一個法向量，即可根據線面角的向量公式求出.

【詳解】

（1）在中，DC=1，CM=2,NOCM=60‘，由余弦定理可得OM=J5，

所以。加2+。。2=CM?,...OM_L￡>C.由題意且P￡>cDM=O，平面PZM/，

而PMu平面PZW,所以DC_LPM,又AB//DC、所以

（2）由尸M_LMD，ABA.PM而AB與DW相交，所以PM_L平面ABC。，因為近，所以

PM=2日取4。中點E，連接ME，則ME,OM,尸M兩兩垂直，以點拉為坐標原點，如圖所示，建

立空間直角坐標系,

則4-石,2,0),P(0,0,2&),。(百,0,0).M(0,0,0),。點-1,0)

弓,何，麗，-|，&-

又N為PC中點,所以

由（1）得CQ_L平面PDM,所以平面PDW的一個法向量用=（04,0）

5

I麗?為1_5

從而直一線AN與平面PDM所成角的正弦曲為sin0=

\AN\\n\~[27~25^96.

V44

【典例3】（2020?北京高考真題）如圖，在正方體ABC?！?4G。中，￡為8瓦的中點.

（I）求證：BCJ/平面ARE；

（II）求直線A4與平面ARE所成角的正弦值.

2

【答案】（I）證明見解析；（II）y.

【解析】

(I)如下圖所示:

在正方體A5CO—ASG。中，45〃4圈且48=4S，A4〃GR且AA=GR,

.?.AB〃G”AB=CiDi，所以，四邊形ABC；R為平行四邊形，則BCJ/4A，

,/BQ(Z平面ADiE,ADiu平面ADXE,BCJ1平面A。E；

(H)以點A為坐標原點，AD>AB>AR所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標

系4一勾2,

設正方體A3CO-A與GA的棱長為2,則4（0,0,0）、A（0,0,2）,D,（2,0,2）,E（0,2,l）,

畫二（2,0,2）,通=（0,2,1）,

,、h-AD.=0（2x+2z=0

設平面ARE的法向量為〃=（x,y,z）,由＜_1,得八,

、7n-AE=0[2y+z=0

令z=-2，則x=2,y=l,則〃=（2,1,—2）.

—,n'AA42

cos</?,A4>=..—=--

1W.岡3x23-

2

因此，直線44,與平面4QE所成角的正弦值為

【規律方法】

利用向量法求線面角的方法

（1）分別求出斜線和它在平面內的射影宜線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面

所成的角.

考點03二面角

【典例4】（2021?全國高考真題（理））如圖，四棱錐尸―A5c。的底面是矩形，尸D_L底面A3CD,

PD=DC=1,M為3c的中點，且尸

⑴求8C；

（2）求二面角A—PM—B的正弦值.

【答案】（1）6；（2）叵

14

【解析】

（1）以點O為坐標原點，DA、DC、0P所在在線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標系，設BC=2〃,

由已知條件得出麗.麗？=0，求出。的值，即可得出BC的長；

（2）求出平面PAM、的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.

【詳解】

（1）?.?PD_L平面A3C。，四邊形45co為矩形，不妨以點￡>為坐標原點，DA.DC.。尸所在直線

分別為X、）'、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系。一孫z,

設3c=2a,則0（0,0,0）、P（0,0」）、8（陵,1,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

則方=（261,-1）,而=（一。,1,0）,

?.?PB_LAM，則麗?亞=—2/+1=0，解得。=變，故BC=2a=0.

2

（2）設平面的法向量為加=（x，y,zj,則AM=,1,0,AP=(->/2,0,l),

2

-^2

由，21,取x=J5,可得機=(J2』,2),

fh'AP=-虛%]+Z[=0

(42

設平面P8M的法向量為3=（%，必，Z2），麗=,0,0,BP=(-V2,-1,1),

2

n-BM=-^-x^=0i/、

由，2=，取必=1，可得〃=(O/,l)，

ri'BP=一應超一%+z2=0

--mn33>/14

cos<m,n>=1i=—j=——f==-------,

心眼瓜&14

2

所以，sin<myn>=^/1-cos<m,n>=~~

因此，二面角A-PM—8的正弦值為也e.

14

【典例5】（2020?天津高考真題）如圖，在三棱柱中，CG，平面

ABC,ACLBC,AC=BC=2,Cq=3,點D,E分別在棱AA,和棱CQ上，且AO=1CE=2,M

為棱4月的中點.

（I）求證：C\M

（II）求二面角B—四七―。的正弦值；

（III）求直線與平面。與E所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

依題意，以。為原點，分別以巨、而、eg的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如

圖）,

可得C（0,0,0）、A（2,0,0）、8（0,2,0）、G（0,0,3）、

A（2,0,3）、與（0,2,3）、0（2,0,1）、E（0,0,2）、

（I）依題意，Qi?=（1,1,0）,^D=（2,-2,-2）,

從而泵?麗=2—2+0=0,所以GM_LB1。；

（II）依題意，巨=（2,0,0）是平面8片E的一個法向量,

函二(0,2,1),赤二(2,0,-1).

設3=（x,y,z）為平面DB.E的法向量,

n?EB.=02y+z=0

則《_____!，即〈

n-ED=02x-z=0

不妨設x=l,可得7=(1,-1,2).

CAn_2_V6

cos<C4,n>=

|CA|.|W|~2XV6~6

71-cos2<CA,n>=廊

/.sin<G4,n>=丁

所以，二面角B-BE-O的正弦值為我;

6

(H1)依題意，=(-2,2,0).

ABn-A_6

由（）知（）為平面。用后的一個法向量,于是cos<AB,n

HG=LT,22V2W6~-T-

所以，直線48與平面。四后所成角的正弦值為正.

3

【規律方法】

利用向量法計算二面角大小的常用方法

（D找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到

二面角的大小.但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則

這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

考點04空間角有關的探索性問題

【典例6】（2021?全國高考真題（理））已知直三棱柱ABC-A用G中，側面叫片8為正方形，AB=BC=2,

E,產分別為4。和CG的中點，。為棱卜的點.BF1A.B,

（1）證明：BFLDE；

（2）當局D為何值時，面B8CC與面0FE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

【答案】（1）見解析；（2）用力=；

【分析】

通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直和求

出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案.

【詳解】

因為三楂柱ABC-A4C是直三棱柱，所以底面A8C,所以8與，48

因為A4/伏8,BF1,所以A尸_LAA,

又BBQBF=B,所以"_L平面BCC圈.

所以6ABe，四兩兩垂直.

以3為坐標原點，分別以3ABe所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

所以5(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0)，4(0,0,2)，A(20,2)C(022),

E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設。(〃,0,2)(0<?<2).

(1)因為訪=(0,2,l),DE=(l-a,l,-2),

所以旃?詼=0x(l—a)+2xl+lx(-2)=0,所以"_L￡)E.

(2)設平面。尸E的法向量為蔡二(x,y,z),

EF=(-1,1,1),DE=(l-?,1,-2),

「…佃.赤=0OH[-x+y+z=0

所以，_,即x0n.

mDE=0[(l-?)x+y-2z=0

令z=2-a,則加=(3,l+a,2-a)

因為平面長6用的法向量為麗=(2,0,0),

設平面BCC.fi,與平面DEF的二面角的平面角為6，

|加?麗|63

貝jicose=i，——.i=—?=/.

|同也02xV2a2-2a+14V2a2-2?+14

127

當4時，242.+4取最小值為子

【總結提升】

與空間角有關的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角有關的存在性問

題，常利用空間向量法求解.求解時，一般把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定

范圍內的解”等問題，并注意準確理解和熟練應用夾角公式.

其步驟是：（I）假設存在（或結論成立）；（2）建立空間直角坐標系，設（求）出相關空間點的坐標；（3）構建有關向

量；（4）結合空間向量，利用線面角或二面角的公式求解；（5）作出判斷.

考點05利用向量求空間距離

【典例7】（2021?云南省楚雄天人中學高二月考（理））如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A5C。是矩形，

R41平面A8CD,PA=AD=4fAB=2,“是PO中點.

（1）求直線與平面ACM的夾角余弦值；

（2）求平面ACQ和平面ACM的夾角的余弦值；

（3）求點尸到平面ACM的距離.

【答案】（1）叵;（2）邁；（3）巫.

663

【分析】

（1）建立空間直角坐標系，求出平面ACM的法向量和通的坐標，利用空間向量夾角公式即可求解;

（2）分別求平面ACQ和平面ACW的法向量，利用空間向量夾角公式即可求解；

（3）利用點面距離的向量公式求P到平面的距離.

【詳解】

因為PA_L平面4AO且四邊形AR67)是矩形.所以AB.A7XAP兩兩垂直.

所以分別以M，S4P所在的直線為XKZ軸建立如圖所示空間直角坐標系:

(1)力(0,0,0),。(。,4,0),C(2,4,0),P(0,0J),A/(0,2,2)

所以而=(0,4,0),AC=(2,4.0),前=(0,2,2)

設平面ACM的法向量為加=(x,y,z),

ACm=02x+4y=0

可得取y=1則z=T,x=-2,

而加=02y+2z=0

所以蔡=(-2,1,-1),

記直線AD和平面ACM的夾角為仇

則sin0=cosIAD,ni)=1i?-r=—?—=——,

'/|叫網4xV66

所以cc)s6=Vl-sin20=,

6

(2)由圖可知,平面ACD即MX平面.

所以平面wy的法向量為G=(o,o,i)

記面ACO和面ACM的夾角為a.

則8sM〃"麗=向=-工

由圖可知面AC。和面ACN夾角為銳角

所以8sa=返：

6

(3)尸(0,0,4),而=(0,0,4),平面ACM的法向量為正=(一2,1,-1)

設點P到平面ACM的距離為d,則4=空九=三=亞

|m|V63

所以點尸到平面ACM的距離為亞.

3

【典例8】(2021?全國高一專題練習)如圖在棱長為1的正方體488-48cA中，E為線段A區的中點,

廣為線段45的中點.

(1)求點8到直線AG的距離.

(2)判斷直線尸C與平面AEG的位置關系；如果平行，求直線FC到平面4EG的距離.

【答案】(1)在；⑵平行，逅.

36

【分析】

(1)首先如圖，建立空間直角坐標系，利用公式求點到直線的距離：

(2)利用線面平行，轉化為點尸到平面AEG的距離，求平面AEG的法向量，結合向量公式，即可求得點

到平面的距離.

【詳解】

解：以d為原點，DMi,DiG,。。所在直線為x軸、)，軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A(l,0,1),8(1,1,1),C(0,1,1),G(0,1,0),E(l,0),F(l,1),

4c^

(1)^La=a=AB=(O,LO),〃="=(一，則

02=1,5-w=^~

3

所以，點8到直線4G的距離為赤2一(1石y=RT

(2)因為4=國?尸卜1,/,。)，所以FC//EG,AE=(0,5，—l

所以「。〃平面AEG.所以點尸到平面AECi的距離

即為直線尸C到平面AEG的距離.

\nAE=O

設平面AEG的法向量為〃=(x,y,z),則1斤.羽=0

—y-z=0,

2所以y=2z,

所以

x=z.

-x+-y=0.

2

取z=l,貝i」x=l,y=2.

所以，元=(1,2,1)是平面AEG的一個法向量.

又因為標=(0,；,0),

所以點尸到平面AEG的距離為

麻臼

"一瓦x/6"V

即直線FC到平面AEG的距離為逅.

6

【總結提升】

1?點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎仍出于幾何法，如本題，事實上，作8"_1平

面CMN于”.由斯=或十瘋/及麗?〃=〃?麗，得|勵用=|〃的=|麗H川，所以|兩=也/，即〃=也翟1?

2.利用法向量求解空間線面角、面面角、距離等問題，關鍵在于“四破”：。破“建系關”，構建恰當的

空間直角坐標系；②破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；③破“求法向量關”，求出平面的法向量;

④破“應用公式關”.

考點06立體幾何“翻折”問題

【典例9】(2019年高考全國山卷理)圖1是由矩形49防Rt△力式和菱形品K組成的一個平面圖形，其

中仍1,BE=BF=2,NFBC=60：將其沿板比1折起使得陽與肝重合，連結"；，如圖2.

(1)證明：圖2中的4C,G,〃四點共面，且平面平面為?；?；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴見解析；(2)30。.

【解析】(1)由已知得49〃%CG"BE,所以力〃〃CG,故力〃CG確定一個平面，從而兒C,G,〃四點

共面.

由已知得加工第川吐8a故川吐平面肥GE.

又因為48U平面力8C,所以平面力比□_平面"石反

(2)作酸L8C,垂足為〃.因為EHU平面BCGE,平面8々龍_1平面4比；所以￡〃_L平面力收；.

由已知，菱形式'面的邊長為2,NEBC=600,可求得班M,EH=6

以防坐標原點，無的方向為諭的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系〃-燈z,

則才(一1,1,0),C(l,0,0),G(2,0,6),CG=(1,0,6),AC=(2,-1,0).

設平面力砌的法向量為斤Qx,y,z),則

CGn=0,x+y[3z=0,

_即?

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取ZF(3,6,->/3).

又平面比、應的法向量可取為赤(0,1,0),所以cos〈〃,m〉==走.

I利川2

因此二面角的大小為30°.

【總結提升】

解答翻折問題的兩個策略：

1.確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數量關

系的變與不變.一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數量關系不變，而位于“折痕”兩

側的點、線、面之間的位置關系會發生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則

要在立體圖形中解決

2.確定翻折后關鍵點的位置：所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點.因為這些點的位置移動，會帶

動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數量關系的變化.只有

分析涓楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計

算

的k能行！及時鞏固求提升！

1.【多選題】(2021?全國高三其他模擬)在棱長為1的正方體ABC。-A罔GA中，點七為線段上一動

點(不包含端點)，則下列說法正確的有()

A.4優_1_平面4?！辏?/p>

B.OE+A七的最小值為1+五

C.存在點E使得。

D.點Z）到平面AAE的距離為立

2

【答案】AD

【分析】

A選項通過證明44_1〃。,44_144來證得44_1_平面4?！?；通過展開平面，結合余弦定理求得最小值;

利用向量法判斷C選項的正確性；根據正方體的性質判斷D選項的正確性.

【詳解】

根據正方體的性質可知與,由于A]AcD|C=4，???44J■平面ARE,A正確.

展開平面如下圖所示，由圖可知小+AE的最小值為圖中叫下圖中，如人彳，入…八

l24-l2+2xlxlx^y=V2+>/2?所以B錯誤.

C

B

D

E

Aj

Di

以名為坐標原點建立空間直角坐標系，如下圖所示，設率=4麻（0＜九＜1）,

AE（l-2,ia）,D（l,l,l）,DE=（-2,0a-l）,4（1,0,0）,范=（一41,2）,

麗=（0,1,1）.若OE“O,

則詼?麗=0,即（一40,九一1）（0,1,1）=0=；1=1,

此時C與E重合，與已知矛盾，C錯誤.

根據正方體的性質可知OG，平面ARC，

???。到平面的距離d=；QG=等，D正確.

故選:AD

2.【多選題】（2021.湖南邵陽市?）如圖，棱長為1的正方體ABS-ABCQ中，尸為線段上的動點（不

含端點），則下列結論正確的是（）

AB

A.直線AP與AC所成的角可能是9

B.平面。M尸，平面A4P

C.三棱錐。尸的體積為定值

D.平面APQ截正方體所得的截面可能是等腰梯形

【答案】BCD

【分析】

對于力，以。為原點，0A為工軸，為），軸，。。為z軸，建立空間直角2標系，利用向量法求出直線

GP與AC所成的角為仔/J；對于8,由AQ_LM,A\DiLAB,得4QJ_平面4AP,從而平面Oi4P_L

平面44P：對于C,三棱錐COP的體積=匕"叫='為定值；對于。，當A尸延長線交851的

中點時，可以得到等腰梯形的截面.

【詳解】

對于4,以。為原點，D4為x軸，OC為），軸，。。為z軸，建立空間直角叢標系，

A(O,O,1),A(1,O,O),C(O,LO),設尸(lM，3(0vavl,0<b<l)

印唇(TLO)

8s(印，恁”=-J---------—<0

當。=1時,(印碼w；

當4=0/=1時，(即祠=當，

a-\1&

>_-=

?.?ov"i,o〈bvi,???4/1+/+,e/_1)2-、&FV727~2V'

，拜即可哼,

工直線D\P與AC所成的角為,

故A錯誤；

對于8,正方體A88-4BC1Q］中，AiDilMi,A\D\A.AB,

'：AA\{\AB=A,???4。」平面4AP,

平面Di4P,???平面。4RL平面4AP,故5正確；

對于C,vSaCOOl=1x1x1=^,P到平面CDZ)i的距離3C=1,

，三棱錐D)-CDP的體積：

%.皿=入叫=3白1=:為定值，故C正確;

對于。，當A尸延長線交88的中點E時，設平面APR與直線助G交于點八

因為平面4?！?gt;14〃平面BCCiBi,平面APR。平面ADDiAi=AD\,平面APD.n平面BCC山尸所以EF//

4)|,???尸為8。的中點，???截面4。尸￡為等腰梯形的截面，故。正確；

故選：BCD.

3.【多選題】(2021.臺州市路橋區東方理想學校高一月考)如圖，三棱柱ABC-A8c的各棱長均為2,側

棱8旦與底面4BC所成的角為60。，4切4為銳角，且側面A84A，底面4BC,下列四個結論正確的是

B

A

C

4

G

A.ZAB旦=60。B.AClBBt

C.直線AG與平面所成的角為45。D.5.C1AC,

【答案】ACD

【分析】

選項A,側棱8區與底面4BC所成角為601可得乙4A始=60。，又四邊形翅43為菱形，可判斷;

選項B,D,建立空間直角坐標系，轉化為判斷數量積是否為0,可判斷；

選項C,可知NGAH即為AQ與平面AAEB所成的角，即可判斷.

【詳解】

如圖，過A作〃為垂足，連結G”,如圖建立空間直角坐標系

對于A選項，側棱與底面ABC所成角為60、/A4歸為銳角，且側面4網AJ■底面A3C,

/.ZAA.B.=60,又三棱柱相。-4乃￡的各棱長相等，可知四邊形⑨鳥8為菱形，NA網=4儲8=60。,

故A選項正確:

對于B選項，易知A（O,O,G）,C（-1,6,6）,3（-2,0,石）,四（一1,0,0）,

衣=（-1,石,0）,西=（1,0,一揚，，/?西=-1/0，故B選項不正確;

對于C選項，由題意可知NCAH即為AG與平面AA^B所成的角，

rTJ

tanZC,AH=^-=l,：.ZCtAH=45\故C選項正確；

AH

對于D選項，而=（o,G,&）,愆=（0,6,_石），.?.而?斯=0

因此B|C_LAG，故D選項正確.

故選：ACD

4.【多選題】（2021.全國高二單元測試）如圖，在長方體AB6-ABCA,9=6犯=聲明=石，點尸

為線段AC上的動點，則下列結論正確的是（）

A.當*=2平時，用，尸，。三點共線

B.當麗_L咫時，APID^P

C.當水=3平時，〃平面BOG

D.當承=5平時，AC_L平面AAP

【答案】ACD

【分析】

以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系

對A,根據長方體的性質判定即可；

對B,根據而_L本可得點P的位置，再計算印?麗是否為0即可;

對C,求解平面BOG的法向量，并判斷印，日即可；

對D,根據水=5桿可得點P的位置，再分別證明AC，〃P，即可

【詳解】

在長方體八。84用。自中，以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐林系,

因為AB=>/3A￡)=\/3/Vlj=>/39所以4力-4^-1,

則A(1,O,O),4(1,0,1),c(o,G,o),D,(0,0,1),c[o,61),0(0,0,0),41,6,0),則方=(T,GT),

取=(l,0,T).

A選項，當/=2平時，P為線段AC的中點，根據長方體的結構特征，尸為體對角線的中點，因此尸也

為四。的中點，所以可，P,0三點共線，故A正確.

B選項，當而_1延時，AP1.A.C,由題意可得AC=J1+1+3=X/5,AC=y/l+3=2,由

S^AC=^AAiAC=^AiCAP,解得AP=￥，所以人2=乎，即點P為線段上靠近點A的五等分點,

r4J341___(4J3__(\J34y4341

所以P.則RP='AP=，所以〃PAP=-六+*一只=一三/0,所

JJJVVVJ

以衣與即不垂直，故B錯誤.

c選項，當*=3底時，F=g而=[4,孚一;?

XZ

_7?DC.=Gy+z=0_/廠廠、

設平面BOG的法向量為〃=",y,z),由____'；,令y=i,可得〃=.又

KDB=X+底=0、7

郎=平—布=：，所以卬G=o,因此印_LG,又點A不在平面8?！陜?，所以AP〃平

面B￡）G，故C正確.

—._,—1—（\?）—.—.—/4百1、

D選項，當AC=5A尸時，AP=gAC=，所以〃P=AP—AA=，-M，

所以咫?印=0,而?取=0,因此ACLRP,AC_LRA.

又RPcRA=A，則AC_L平面。①尸，故D正確.

故選：ACD.

5.（2021?浙江寧波市?鎮海中學高一期中）如圖，在正方體ABC。-A4GA中，點P為線段。石上的動點,

M,N分別為棱8CAB的中點，若OP〃平面與MN,則察=_______.

UyD

【分析】

以D為原點,亦反、國分別為小戶z軸正方向建立空間直角坐標系，設E方體4BCO-邊長為

2,用向量法求解.

【詳解】

如圖所示,以力為原點，次覺、西分別為小y、z軸正方向建立空間直角坐標系.

設正方體A8CO-ABCQ邊長為2,可得O(0,0,0)，A(0,0,2)，WN2,0)B,(22,2)M(l,2,0),N(2J0),

Dp...

設力=%，可得用=%麗=(242A,-2A),可得尸(24,22,2-24),,可得赤=(242/1,2-22).

設平面即四的一個法向量；H.y㈤，則有｛能二，即，-x-2z=0

-y-2z=0

不妨令廣-2,則6=(-2,-2,1).

因為OP〃平面旦MN,所以加G=(2424,2-2%)?-工-2,1)=-4義一4%+2-2；1=0,

1D.P1

解得一=丁即笳，

故答案為：

6.（2021?全國高二課時練習）已知正方體A3CO-A4CQ中，E為棱CG上的動點.

（1）求證：\EVBD.

（2）若平面AB。，平面即。，試確定E點的位置.

R

【答案】（1）證明見解析；（2）E為CG的中點.

【分析】

（1）推導出8O_LAC,BDlAAif從而5。_L平面ACQA,由此能證明4￡18及：

（2）設30的中點為。，正方體A5C3—&旦￡〃的棱長為2,設CE=m,（展以2）,連結0E,04）,以。

為原點，D4、DC、DA為x,y,z軸，建立空間宜角坐標系，利用向量法能求出當E為CG的中點時，

能使平面平面EBD.

【詳解】

（1）?.?正方體ABC?！狝qGA中，￡為棱CG上的動點.

:.BDA.AC,BD1AA,,

???ACnM=A，.?.BDJ"平面ACCA，

平面ACGA，--^ELBD.

DL---------------G

(2)設8。的中點為。，正方體A8CO—AB|GA的棱長為2,設CE=m,(溺〃2),

連結0E,0A，

以。為原點，D4、DC、DD\Rx,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則0(1,L0),E(0,2,M,8(2,2,0),。(0,0,0),42,0,2),

OE=(-\t1,⑼，BD=(-2,-2,0),

??FBCE-DCE,:.ED=EB，：.OE工BD,

?.?西=(1,-1,2),/.a\.BD=0,

O^LBD,

幺0E是二面角A-80-E的平面角,

?.?平面A8O_L平面Eg。，二/AOE后，

O\?OE=-1-1+2m=0,

解得m=l,

???當E為CG的中點時，能使平面平面E8O.

7.（2021?全國高一專題練習）如下圖所示，