PAGEPAGE123.2第4課時坡角、坡比問題一、選擇題1．如圖37－K－1，修建抽水站時，沿著坡度為i＝2∶3的斜坡鋪設水管，若測得水管A處鉛垂高度為6m，則所鋪設水管AC的長度為()A．10mB.eq\r(13)mC．3eq\r(13)mD．11m圖37－K－12．［2024·巴中］一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數據如圖37－K－2所示，則下列關系或說法正確的是()A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°米D．AB＝eq\f(1.2,cos10°)米圖37－K－23．如圖37－K－3，斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1∶2，AC＝3eq\r(5)米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B與點A有一條彩帶相連．若AB＝10米，則旗桿BC的高度為()A．5米B．6米C．8米D．(3＋eq\r(5))米圖37－K－34．［2024·濟南］如圖37－K－4，為了測量山坡護坡石壩的坡度(坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度)，把一根長5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿長1m處的點D離地面的高度DE＝0.6m，又量得竿底與壩腳的距離AB＝3m，則石壩的坡度為()eq\f(3,4)B．3C.eq\f(3,5)D．4圖37－K－4二、填空題5．［2024·寧波］如圖37－K－5，一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝500米，則這名滑雪運動員的高度約下降了________米．(參考數據：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)圖37－K－56．活動樓梯如圖37－K－6所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度為1∶1，斜坡AC的坡面長度為8m，則走這個活動樓梯從點A到點C上升的高度BC為________m.圖37－K－67．［2024·德陽］如圖37－K－7所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長AB＝6eq\r(2)米，背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)(i為DF與FC的比值)，則背水坡CD的坡長為________米．圖37－K－7三、解答題8．如圖37－K－8，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的．測得坡長AB＝600米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度．(結果保留根號)圖37－K－89．［2024·荊門］如圖37－K－9，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq\r(3))米，小軍和小明同時分別從A處和B處向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)米/秒．若小明與小軍同時到達山頂C處，則小明的行走速度是多少？圖37－K－910．［2024·淮北期末］為緩解“停車難”的問題，某單位擬造地下停車庫，建筑設計師供應了該地下停車庫的設計示意圖如圖37－K－10所示．已知該坡道的水平距離AB的長為9m，坡面AD與AB的夾角∠BAD＝18°，石柱BC＝0.5m，按規定，地下停車庫坡道上方BC處要張貼限高標記，以便告知停車人車輛能否平安駛入．請你幫設計師計算一下CE的高度，以便張貼限高標記．(結果精確到0.1m，參考數值：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)圖37－K－1011．［2024·海南］為做好防汛工作，防汛指揮部確定對某水庫的水壩進行加高加固，專家供應的方案是水壩加高2m(即CD＝2m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如圖37－K－11所示，已知AE＝4m，∠EAC＝130°，求水壩原來的高度BC.(參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)圖37－K－1112［建模思想］［2024·濟寧］某地的一座人行天橋示意圖如圖37－K－12所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了便利行人推車過天橋，有關部門確定降低坡度，使新坡面的坡度為1∶eq\r(3).(1)求新坡面的坡角α；(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否須要拆除？請說明理由．圖37－K－12

1．[解析]CBC＝eq\f(AB,tanC)＝9m，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(62＋92)＝3eq\r(13)(m)．2．[解析]B斜坡AB的坡度是tan10°＝eq\f(BC,AC)，故B項正確．3．[解析]A設CD＝x米，則AD＝2x米．由勾股定理可得AC＝eq\r(x2＋（2x）2)＝eq\r(5)x(米)，∵AC＝3eq\r(5)米，∴eq\r(5)x＝3eq\r(5)，∴x＝3，∴CD＝3米，AD＝2×3＝6(米)．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(102－62)＝8(米)，∴BC＝8－3＝5(米)．故選A.4．[解析]B如圖，過點C作CF⊥AB于點F，則DE∥CF，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,CF)，即eq\f(1,5)＝eq\f(0.6,CF)，解得CF＝3m．在Rt△ACF中，AF＝eq\r(52－32)＝4(m)，則BF＝4－3＝1(m)，∴石壩的坡度為eq\f(CF,BF)＝eq\f(3,1)＝3.5．[答案]280[解析]在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈500×0.56＝280(米)，∴這名滑雪運動員的高度約下降了280米．6．[答案]4eq\r(2)[解析]依據題意可知∠A＝45°，∴BC＝sinA·AC＝eq\f(\r(2),2)×8＝4eq\r(2)(m)．7．[答案]12[解析]依據題意可知AE＝6eq\r(2)×sin45°＝6(米)．又∵背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)(i為DF與FC的比值)，∴tanC＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°，則CD＝2DF＝2AE＝12米．8．解：如圖所示，過點B作BG⊥AF于點G，則BG＝EF，BE＝GF.∵AB＝600米，∠BAF＝30°，∴EF＝BG＝eq\f(1,2)AB＝300米．在Rt△BCE中，∵BC＝200米，∠CBE＝45°，∴CE＝BC·sin∠CBE＝200×eq\f(\r(2),2)＝100eq\r(2)(米)，∴CF＝CE＋EF＝(300＋100eq\r(2))米，∴山峰的高度是(300＋100eq\r(2))米．9．解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.設AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒．∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝eq\r(2)x米．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(x,\f(1,2))＝2x(米)．∵小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)米/秒，且小明與小軍同時到達山頂C處，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.答：小明的行走速度是1米/秒．10．解：∵∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴∠ADB＝72°.在Rt△ABD中，BD＝AB·tan∠BAD≈9×0.32＝2.88(m)，∴CD＝BD－BC＝2.38m.在Rt△CDE中，CE＝CD·sin∠ADB≈2.3m.答：CE的高度約為2.3m.11．[解析]依據∠BAC的正切值，用含BC的代數式表示出AB的長，再由DE的坡度可知BD＝BE，由此列方程即可求出BC的長．解：設BC＝xm.在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，∴AB＝eq\f(BC,tan50°)≈eq\f(BC,1.2)＝eq\f(5BC,6)＝eq\f(5,6)x(m)．在Rt△BDE中，∵iDE＝DB∶EB＝1∶1，∴DB＝EB，∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x≈4＋eq\f(5,6)x，解得x≈12，故BC≈12.答：水壩原來的高度約為12m.12解：(1)∵新坡面的坡度為1∶eq\r(3)，∴tanα＝tan∠CAB＝eq\