PAGE1-第3節幾何概型【選題明細表】學問點、方法題號與長度、角度有關的幾何概型1,2,5,8,9,11與面積有關的幾何概型3,4,6,7,13與體積有關的幾何概型10,12基礎鞏固(時間:30分鐘)1.在集合{x|0≤x≤a,a>0}中隨機取一個實數m,若|m|<2的概率為,則實數a的值為(B)(A)5 (B)6 (C)9 (D)12解析:由幾何概型可得a=2÷=6.選B.2.(2024·順德區一模)在區間[1,4]上隨機取一個數x,則事務“log4x≥”發生的概率為(B)(A) (B) (C) (D)解析:由log4x≥,得x≥2,所以在區間[1,4]上隨機取一個數x,事務“log4x≥”發生的概率為P==.故選B.3.(2024·江西二模)如圖是我們古代數學家趙爽為證明勾股定理而繪制的,在我國最早的數學著作《周髀算經》中有具體的記載.若圖中大正方形的邊長為5,小正方形的邊長為2,現作出小正方形的內切圓,向大正方形所在區域模擬隨機投擲n個點,有m個點落在中間的圓內,由此可估計π的近似值為(D)(A) (B) (C) (D)解析:大正方形的邊長為5,總面積為25,小正方形的邊長為2,其內切圓的半徑為1,面積為π;則=,解得π=.故選D.4.已知區域Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},區域E={(x,y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0},若向區域Ω內隨機投一點P,則點P落在區域E內的概率為(D)(A) (B) (C) (D)解析:如圖,區域Ω表示的平面區域為△AOB的邊界及其內部,區域E表示的平面區域為△COD的邊界及其內部,所以點P落在區域E內的概率為==.選D.5.在以點O為圓心,1為半徑的半圓弧上,任取一點B,如圖所示,則△AOB的面積大于的概率為(C)(A) (B) (C) (D) 解析:如圖(1)所示,過點B作直線OA的垂線,垂足為D,則△AOB的面積大于等價于×1×|BD|>,即|BD|>.如圖(2)所示,作CO⊥OA,取P為CO的中點,過P作MN⊥OC,連接OM,ON,則當點B在上運動(不包括點M,N)時,|BD|>,故所求概率P==.故選C.6.(2024·樂山二模)在邊長為2的正方形ABCD內部任取一點P,則滿意∠APB<90°的概率為(B)(A) (B)1- (C) (D)1-解析:在正方形ABCD內作以AB為直徑的半圓,則當P落在陰影部分區域(不含邊界)時,∠APB<90°,所以P==1-.故選B.7.(2024·石家莊模擬)在區間[0,1]上任取兩個數,則這兩個數之和小于的概率是(C)(A) (B) (C) (D)解析:設這兩個數分別是x,y,則總的基本領件構成的區域是確定的平面區域,所求事務包含的基本領件構成的區域是確定的平面區域,如圖所示,陰影部分的面積是1-×（）2=,所以這兩個數之和小于的概率是.故選C.8.(2024·合肥質檢)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個圓弧DE,在∠DAB內任作射線AM,則射線AM與線段BC有公共點的概率為.

解析:(用幾何概型,化概率為角度之比)當點M在BC上時,AM與BC有公共點,此時AM掃過△ABC,所以P===.答案:實力提升(時間:15分鐘)9.某公司的班車在7:30,8:00,8:30發車,小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車,且到達發車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(B)(A) (B) (C) (D)解析:7:50到8:30為40分鐘,從7:50到8:00,8:20到8:30之間共20分鐘,P==.故選B.10.(2024·貴陽二模)在一球內有一邊長為1的內接正方體,一動點在球內運動,則此點落在正方體內部的概率為(D)(A) (B) (C) (D)解析:由題意可知邊長為1的內接正方體的體積為V1=1,又球的直徑是正方體的對角線,故球的半徑R=,球的體積V2=πR3=,則此點落在正方體內部的概率為==.故選D.11.在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點P,則三棱錐SAPC的體積大于的概率是.

解析:由題意可知>,三棱錐SABC的高與三棱錐SAPC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,則PM,BN分別為△APC與△ABC的高,所以==>,又=,所以>,故所求的概率為(即為長度之比).答案:12.(2024·長沙模擬)如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,點E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(點E與點B1不重合),且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點分別為點F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在長方體ABCDA1B1C1D1內隨機選取一點,則該點取自于幾何體A1ABFED1DCGH內的概率為.

解析:在等腰直角三角形B1EF中,因為斜邊EF=a,所以B1E=B1F=a,依據幾何概型概率公式,得P===1-=1-=1-=1-·a·a=1-=.答案:13.(2024·濮陽三模)已知A={(x,y)||x|≤2,|y|≤2},B={(x,y)|y≥},現向集合A所在區域內投點,則該點落在集合B所在區域內的概率為