PAGEPAGE1第2講大題考法——統(tǒng)計(jì)與概率考向一統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題【典例】(2024·全國卷Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)天數(shù)21636最高氣溫[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)2574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)eq\a\vs4\al(估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過,300瓶的概率.)(2)設(shè)六月份一天銷售這種eq\a\vs4\al(酸奶的利潤為Y)(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．[審題指導(dǎo)]①看到表格，想到表中最高氣溫與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系②看到估計(jì)概率，想到頻率與概率的關(guān)系可得估計(jì)值③看到酸奶的利潤，想到進(jìn)貨成本與售價，留意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價處理[規(guī)范解答](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25?， 2分由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6， 4分所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900?； 6分若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300?； 7分若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100?. 8分所以Y的全部可能值為900,300，－100. 10分Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8， 11分因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. ?處留意結(jié)合題意將需求量不超過300瓶轉(zhuǎn)化為最高氣溫的關(guān)系問題，再利用頻率估計(jì)概率，易不理解題意失誤．???處留意結(jié)合氣溫區(qū)間及需求量的關(guān)系，計(jì)算出Y值，易忽視賣不完的要降價處理．[技法總結(jié)]求解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題的一般步驟[變式提升]1．(2024·山西一模)某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過1kg的包袱收費(fèi)10元；重量超過1kg的包袱，除1kg收費(fèi)10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg計(jì)算)需再收5元．該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：包袱件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包袱件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126(1)某人準(zhǔn)備將A(0.3kg)，B(1.8kg)，C(1.5kg)三件禮物隨機(jī)分成兩個包袱寄出，求該人支付的快遞費(fèi)不超過30元的概率；(2)該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用．前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？解(1)由題意，寄出方式有以下三種可能：狀況第一包袱其次包袱甲支付的總快遞費(fèi)禮物重量(kg)快遞費(fèi)(元)禮物重量(kg)快遞費(fèi)(元)1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815303C1.515A，B2.12035全部3種可能中，有1種可能快遞費(fèi)未超過30元，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，所示概率為eq\f(1,3)．(2)將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包袱件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包袱件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)狀況如下：包袱件數(shù)(近似處理)50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.1平均攬件數(shù)50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260故公司平均每日利潤的期望值為260×5－3×100＝1000(元)；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)狀況如下：包袱件數(shù)(近似處理)50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.1平均攬件數(shù)50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.2＋300×0.1＝235故公司平均每日利潤的期望值為235×5－2×100＝975(元)．故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利．考向二回來分析與統(tǒng)計(jì)的交匯問題【典例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．附注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646．參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))．解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99．因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103．eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92．所以y關(guān)于t的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t．將2024年對應(yīng)的t＝9代入回來方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82．所以預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．[技法總結(jié)]破解回來分析問題的關(guān)鍵(1)會依據(jù)表格及公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))求線性回來方程中的參數(shù)的值，留意不要代錯公式．(2)已知變量的某個值去預(yù)料相應(yīng)預(yù)報變量時，只需把該值代入回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中．[變式提升]2．(2024·龍巖二模)2024年5月，“一帶一路”沿線的20國青年評比出了中國“新四大獨(dú)創(chuàng)”：高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購.2024年末，“支付寶大行動”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的運(yùn)用.某商家統(tǒng)計(jì)前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人贈送臺歷．(1)求獲得臺歷是三人中至少有一人的紅包超過5元的概率；(2)統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天運(yùn)用支付寶付款的人數(shù)x與商家每天的凈利潤y元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示，并作出了散點(diǎn)圖．x12162629252230y60100150270240210330①干脆依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，y＝a＋bx與y＝ec＋dx哪一個適合作為每天的凈利潤的回來方程類型．(a，b，c，d的值取整數(shù))②依據(jù)①的推斷，建立y關(guān)于x的回來方程，并估計(jì)運(yùn)用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，商家產(chǎn)天的凈利潤．參考數(shù)據(jù)：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))22.86194.29268.863484.29附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))．解(1)記事務(wù)“獲得臺歷的三人中至少有一人的紅包超過5元”為事務(wù)M,5名顧客中紅包超過5元的兩人分別記為A1，A2，不足5元的三人分別記為B1，B2，B3，從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人，共有抽取狀況如下：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2其中至少有一人的紅包超過5元的是前9種狀況，所以P(M)＝eq\f(9,10)．(2)①依據(jù)散點(diǎn)圖可推斷，選擇y＝a＋bx作為每天的凈利潤的回來方程類型比較適合．②由最小二乘法求得系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(3484.29,268.86)≈13，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝194.29－13×22.86≈－103，所以y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－103＋13x．當(dāng)x＝35時，商家產(chǎn)天的凈利潤y＝352元，故運(yùn)用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，預(yù)料商家產(chǎn)天的凈利潤為352元．考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率、統(tǒng)計(jì)的交匯問題【典例】(2024·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62．因此，事務(wù)A的概率估計(jì)值為0.62．(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2的觀測值＝eq\f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705．由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．[技法總結(jié)]獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的解題步驟(1)假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系；(2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表；(3)由公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)計(jì)算出K2的觀測值；(4)將K2的觀測值與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而得出統(tǒng)計(jì)推斷，這些臨界值，在考題中常會附在題后．[變式提升]3．(2024·六安二模)以“你我中國夢，全民建小康”為主題“社會主義核心價值觀”為主線，為了解A、B兩個地區(qū)的觀眾對2024年韓國平昌冬奧會準(zhǔn)備工作的滿足程度，對A、B地區(qū)的100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：特別滿足滿足合計(jì)A30y