九年級數學上冊教學計劃

二十一章一元二次方程

第1課時21.1一元二次方程

教學內容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念.

教學目標

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a*0)及其派生的概念；應用一元二次方程概念

解決一些簡單題目.

1.通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情.

重難點關鍵

1.重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題.

2.難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一

元二次方程的概念.

教學過程

一、復習引入

學生活動：列方程.

問題(1)古算趣題執竿進屋"

笨人執竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。

有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。

借問竿長多少數，誰人算出我佩服。

如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，長為________尺，

根據題意，得________.

整理、化簡，得：__________.

二、探索新知

學生活動：請口答下面問題.

(1)上面三個方程整理后含有幾個未知數？

(2)按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

(3)有等號嗎？還是與多項式一樣只有式子？

老師點評：(1)都只含一個未知數x;(2)它們的最高次數都是2次的；(3)都有等號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二

次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(ax0).這

種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0(aw0)后，其中ax?是二次項,a是二次項系數;bx

是一次項，b是一次項系數;c是常數項.

例1.將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項

系數及常數項.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a#0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必須運用整

式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：略

注意:二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都包括前面的符號.

例2.(學生活動：請二至三位同學上臺演練)將方程(x+1)?+(x-2)(x+2)=1化成一元二次

方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項.

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+1)，(x-2)(x+2)=1化成ax?+bx+c=0(a*0)的形

式.

解：略

三、鞏固練習

教材練習1、2

補充練習：判斷下列方程是否為一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2--=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0

x

四、應用拓展

例3.求證：關于x的方程(nV8m17)x2+2nx+1=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明自8rHi7h0即可.

證明：nV8m17=(m4)2+1

,.1(m4)230

(m4)2+1>0,BP(m4)2+1*0

.??不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

?練習：1.方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此

方程為一元一次方程？

4m

2.當m為何值時,方程(nt1)x'^+27nx+5=o是關于的一元二次方程

五、歸納小結(學生總結，老師點評)

本節課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a=0)和二次項、二次項

系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用.

六、布置作業

第2課時21.1一元二次

教學內容

1.一元二次方程根的概念；

2.根據題意判定一個數是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目.

教學目標

了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體

問題.

提出問題，根據問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再

由根的概念判定一個數是否是根.同時應用以上的幾個知識點解決一些具體問題.

重難點關鍵

1.重點：判定一個數是否是方程的根；

2.難點關鍵：由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學獨立完成下列問題.

問題1.前面有關"執竿進屋”的問題中,我們列得方程xJ8x+20=0

列表：

X1234567891011

2

x-8X+20???

問題2.前面有關長方形的面積的問題中,我們列得方程X2+7X-44=0即X2+7X=44

X123456???

X2+7X???

老師點評(略)

二、探索新知

提問：(1)問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開實際問題，問題2中還有其它解嗎？

老師點評:(1)問題1中x=2與x=10是x2-8x+20=0的解，問題2中，x=4是x2+7x-44=0的解.(2)

如果拋開實際問題，問題2中還有x=11的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：x2-8x+20=0有兩個根，一個是2,另一個是10，都滿足題意；但是，問題2中的x=11

的根不滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根

是否確實是實際問題的解.

例1.下面哪些數是方程2X2+10X+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個數是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程

2X2+10X+12=0的兩根.

例2.若x=1是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的一個根,求代數式2007(a+b+c)的值

練習：關于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一個根為0,則求a的值

點撥:如果一個數是方程的根,那么把該數代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維

方法經常用到,同學們要深刻理解.

例3.你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？

(1)X2-64=0(2)3X2-6=0(3)X2-3X=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數，可用直接觀察結合平方根的意義.

解：略

三、鞏固練習

教材思考題練習1、2.

四、歸納小結(學生歸納，老師點評)

本節課應掌握：

(1)一元二次方程根的概念；

(2)要會判斷一個數是否是一元二次方程的根；

(3)要會用一些方法求一元二次方程的根.("夾逼”方法；平方根的意義)

六、布置作業

1.教材復習鞏固3、4綜合運用5、6、7拓廣探索8、9.

2.選用課時作業設計.

第3課時21.2.1配方法

教學內容

運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程‘降次"，轉化為兩個一元一次方程.

教學目標

理解一元二次方程"降次"--轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷

移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點關鍵

1.重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n^0)的方程；領會降次一一轉化的數學思想.

2.難點與關鍵：通過根據平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)

2=n(n±0)的方程.

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題

問題1.填空

(1)X2-8X+_____=(x-_____尸;(2)9X2+12X+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+____)

2

問題1：根據完全平方公式可得：(1)164;(2)42;(3)(吏尸吏.

22

問題2:目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？

二次如何轉化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經講了X2=9,根據平方根的意義，直接開平方得x=±3,如果x換元為2t+1，即(2t+1)

2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學生分組討論)

老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x,那么2t+1=±3

即2t+1=3,2t+1=-3

方程的兩根為ti=1,t2=--2

例1：解方程：(1)(2x-1)2=5(2)x2+6X+9=2(3)x2-2x+4=-1

分析：很清楚，x?+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x+2).

解：(2)由已知，得:(x+3)2=2

直接開平方，得：x+3=±V2

即X+3=V2,x+3=-V2

所以，方程的兩根X1-3+V2,X2-3-V2

例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10吊提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率.

分析：設每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年

后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：設每年人均住房面積增長率為x,

則:10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2,1+x=-1.2

所以，方程的兩根是Xi=0.2=20%,x2—2.2

因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，Xz=2.2應舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

共同特點：把一個一元二次方程‘降次"，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次

轉化思想”.

三、鞏固練習

教材練習.

四、應用拓展

例3.某公司一月份營業額為1萬元，第一季度總營業額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業

額平均增長率是多少？

分析：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x,那么二月份的營業額就應該是(1+x),三月

份的營業額是在二月份的基礎上再增長的，應是(1+x)2.

解：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x.

那么1+(1+x)+(1+x)=3.31

把(1+x)當成一個數，配方得：

13

(1+x+-)J2.56,即(x+-)J2.56

22

333

x+—=±1.6,即x+—=1.6,x+——1.6

222

方程的根為x,=10%,X2=-3.1

因為增長率為正數，

所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%.

五、歸納小結

本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2=p(pz0),那么x=±&轉化為應用直接開平

方法解形如(nx+n)2=p(p士0),那么nx+n=±&,達到降次轉化之目的.若p<0則方程無解

六、布置作業

1.教材復習鞏固1、2.

第4課時22.2.1配方法(1)

教學內容

間接即通過變形運用開平方法降次解方程.

教學目標

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.

通過復習可直接化成x2=p(p20)或(n%+n)2=p(p20)的一元二次方程的解法，引入不能直接

化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點關鍵

1.重點：講清"直接降次有困難，如x，6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.

2.難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的"化為"的轉化方法與技巧.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們解下列方程

(1)3X2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7

老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(nx+n)2=p(p*0)的形式，那么可得

x=±y/p或nx+n=±yfp(p>0).

如：4X2+16X+16=(2x+4),,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9嗎？

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三個方程的解法呢？

問題2:要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16rA場地的長和寬各是多少？

(1)列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全

平方式而后二個不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我

們就來講如何轉化：

x?+6x-16=0移項TX2+6X=16

兩邊加(6/2)2使左邊配成x2+2bx+b2的形式-X2+6X+32=16+9

左邊寫成平方形式-(x+3)2=25降次->x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程TXI=2,x2=-8

可以驗證：x,=2,x?=-8都是方程的根，但場地的寬不能使負值，所以場地的寬為2m,常為8m

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.

例1.用配方法解下列關于x的方程

(1)X2-8X+1=0(2)X2-2X--=0

2

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同

上.

解：略

三、鞏固練習

教材p3s討論改為課堂練習，并說明理由.

教材P39練習12.(1X(2).

四、應用拓展

例3.如圖，在RtAACB中，4C=90°,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發分別沿AC.

BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1MS,幾秒后△PCQ的面積為RfACB面積的一半.

分析：設X秒后△PCQ的面積為RfABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形.根據已知列出等式.

解：設x秒后APCQ的面積為RtAACB面積的一半.

根據題意，得：一(8-x)(6-x)=-x—x8*6

222

整理，得：x2-14x+24=0

2

(x-7)=25即x,=12,X2=2

XF12,X2=2都是原方程的根，但*=12不合題意,舍去.

所以2秒后APCQ的面積為RtAACB面積的一半.

五、歸納小結

本節課應掌握：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，

可以直接降次解方程的方程.

六、布置作業

1.教材復習鞏固2.3(1)(2)

第5課時21.2.1配方法(2)

教學內容

給出配方法的概念，然后運用配方法解一元二次方程.

教學目標

了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復習上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目.

重難點關鍵

1.重點：講清配方法的解題步驟.

2.難點與關鍵：把常數項移到方程右邊后，兩邊加上的常數是一次項系數一半的平方.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

(學生活動)解下列方程：

(1)x2-4x+7=0(2)2x2-8x+1=0

老師點評：我們上一節課，已經學習了如何解左邊不含有x的完全平方形式，不可以直接開方降

次解方程的轉化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.

解：略.(2)與(1)有何關聯？

二、探索新知

討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：

(1)現將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數為1;(3)常數項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q20,方程的根是x=-p±Vq;如果q<0,方程無實根.

例1.解下列方程

(1)2X2+1=3X(2)3X2-6X+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x

的完全平方.

解：略

三、鞏固練習

教材P練習2.(31("(5、(6).

四、歸納小結

本節課應掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不僅僅表現在一元二次方程的解法中，也可通過

配方，利用非負數的性質判斷代數式的正負性(如例3)在今后學習二次函數，到高中學習二次曲線時，

還將經常用到。

六、布置作業

1.教材%復習鞏固3.(3)(4)

補充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,則求x+y+z的值

(2)求證：無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是正數

第6課時21.2.2公式法

教學內容

1.一元二次方程求根公式的推導過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學目標

理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程.

復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax?+bx+c=0(a*0)的求根公式的推導公

式，并應用公式法解一元二次方程.

重難點關鍵

1.重點：求根公式的推導和公式法的應用.

2.難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導.

教學過程

一、復習引入

1.前面我們學習過解一元二次方程的"直接開平方法”，比如，方程

(1)X2=4(2)(X-2)=7

提問1這種解法的(理論)依據是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種平方式等于非負數"的特殊二次方程有效,

不能實施于一般形式的二次方程。)

2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平

方”的形式。)

(學生活動)用配方法解方程2X2+3=7X

(老師點評)略

總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，老師點評).

(1)現將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數為1;(3)常數項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式,如果q>0,方程的根是x=-p±Vq;如果q<0,方程無實根.

二、探索新知

用配方法解方程

(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

(3)如果這個一元二次方程是一般形式ax，bx+c=0(a40),你能否用上面配方法的步驟求出它們

的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.

2/?+

問題：已知ax+bx+c=0(a*0),試推導它的兩個根x1="^~—,x?=±亞三逛(這

2a1a

個方程一定有解嗎?什么情況下有解？)

分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c也當成一個具體數字，根據上面

的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

Ac

二次項系數化為1,得X，一X二-

aa

配方，得：x2+-X+(—)2=--+(—)2

a2aa2a

日n/J、2從-4ac

即(x+—)=------------

2a4a2

—

v4a2>0,4a2>0,當b2?4ac20時----->0

4a

1

(x+與)2=(4b-4ac

)2

2ala

2

b\lb-4ac-b±\Jb2-4ac

直接開平方，得：X+—=±即x=

2a2a2a

-b+\jh~-4ac-b—\lb2-4ac

/.X,=------------------------------,X2=

2a2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根由方程的系數a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax，bx+c=0，當b2-4ac>0時，將a、hc

-b±^b-4ac

代入式子x=-就--得---到-方---程--的--根.(公式所出現的運算，恰好包括了所學過的六中運算,

2a

加、減、乘、除、乘方、開方，這體現了公式的統一性與和諧性。)

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2X2-X-1=0(2)X2+1.5=-3X(3)x2-V2x+-=0(4)4x2-3x+2=0

2

分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可.

補：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、鞏固練習

教材P42練習1.(1>(3>(5)或(2)、(4)、(6)

四、應用拓展

例2.某數學興趣小組對關于x的方程(nt1)/+2+(m2)x-1=0提出了下列問題.

(1)若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

(2)若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.(1)要使它為一元二次方程，必須滿足存1=2,同時還要滿足(用1)#0.

(2)要使它為一元一次方程，必須滿足：

fzn2+1=1一…['/+1=0—/f"2+1=0

①《或②《或③《

[(/??+!)+(/?-2)0[m-2^0[m-2^0

五、歸納小結

本節課應掌握：

(1)求根公式的概念及其推導過程；(2)公式法的概念；

(3)應用公式法解一元二次方程的步驟:1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量

讓a>0.2)找出系數a,b,c,注意各項的系數包括符號。3)計算b2-4ac,若結果為負數，方程無解，4)若

結果為非負數，代人求根公式，算出結果。

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業

教材復習鞏固4.

第7課時21.2.4判別一元二次方程根的情況

教學內容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判別ax2+bx+c=0(a*0)的根的情況及其運用.

教學目標

掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a*0)有兩個不等的實根，反之也成立；b2-4ac=0,ax?+bx+c=0(a*

0)有兩個相等的實數根，反之也成立；b2-4ac<0,ax?+bx+c=0(a*0)沒實根，反之也成立；及其它們

關系的運用.

通過復習用配方法解一元二次方程的b—4ac>0、bJ4ac=0、b-4ac<0各一題，分析它們根的情況，

從具體到一般，給出三個結論并應用它們解決一些具體題目.

重難點關鍵

1.重點：b2-4ac>0一一元二次方程有兩個不相等的實根；b-4ac=0—一元二次方程有兩個相等

的實數；b2-4ac<0“一元二次方程沒有實根.

2.難點與關鍵

從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0(ax0)的b2-4ac的情況與根的情況的關系.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

(學生活動)用公式法解下列方程.

(1)2X2-3X=0(2)3X2-2V3X+1=0(3)4x2+x+1=0

老師點評,(三位同學到黑板上作)老師只要點評(1)b2-4ac=9>0,有兩個不相等的實根;(2)

b2-4ac=12-12-0,有兩個相等的實根;(3)b2-4ac=|-4x4x1|=<0,方程沒有實根.

二、探索新知

Xi、X2的關系

方程b2-4ac的值b2-4ac的符號

(填相等、不等或不存在)

2X2-3X=0

3X2-2V3X+1=0

4X2+X+1=0

請觀察上表，結合b2-4ac的符號，歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的猜想。

從前面的具體問題，我們已經知道b2-4ac>0(<0,=0)與根的情況，現在我們從求根公式的角

度來分析：

求根公式:,當b2-4ac>0時，根據平方根的意義，一4。。等于一個具體數,

2a

所以一元一次方程的x尸土至三X尸4竺,即有兩個不相等的實根.當b2-4ac=0

2a2a

2

時，根據平方根的意義-4ac=0,所以X1=X2=—,即有兩個相等的實根；當b-4ac<0時，根據

2a

平方根的意義，負數沒有平方根，所以沒有實數解.

因此，(結論)(1)當b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)有兩個不相等實數根即

-b+y/b2-4ac-b-J/-4ac

Xi=-----------------------,x2=-----------------------.

2a2a

2

(2)當t>4ac=0時，一元二次方程ax+bx+c=0(a*0)有兩個相等實數根即x,=x2=—.

2a

(3)當b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)沒有實數根.

例1.不解方程，判定方程根的情況

(1)16X2+8X=-3(2)9X2+6X+1=0

(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進行分析即可.

解：(1)化為16X2+8X+3=0

這里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64^4x16x3=-128<0

所以，方程沒有實數根.

三、鞏固練習

不解方程判定下列方程根的情況：

31

(1)X2+10X+23=0(2)X2-X--=0(3)3x2+6x-5=0(4)4x2-x+—=0

416

(5)x2-V3x--=0(6)4X2-6X=0(7)X(2X-4)=5-8X

4

四、應用拓展

例2.若關于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數解，求ax+3>0的解集(用含a的式

子表示).

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉化為要判定a的值是正、負或。.因

為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數根，即(-2a)-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范

圍.

五、歸納小結

本節課應掌握：

b2-4ac>0——元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個不相等的實根；b2-4ac=0—一元二次方程

ax2+bx+c=0(a*0)有兩個相等的實根；心的。<0—一元二次方程ax，bx+c=0(a。0)沒有實數根及

其它的運用.

六、布置作業

教材復習鞏固6綜合運用9拓廣探索1、2.

第8課時21.2.3因式分解法

教學內容

用因式分解法解一元二次方程.

教學目標

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法--因式分解法解一元二

次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題.

重難點關鍵

1.重點：用因式分解法解一元二次方程.

2.難點與關鍵：讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡便.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)解下列方程.

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3X2+6X=0(用公式法)

老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數應為1,-的一半應為,，因此，

224

應加上(I/,同時減去(1)2(2)直接用公式求解.

44

二、探索新知

(學生活動)請同學們口答下面各題.

(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數項？

(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？

(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解：

因此，上面兩個方程都可以寫成：

(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0

因為兩個因式乘積要等于0,至少其中一個因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x,=0,

1

X2=------?

2

(2)3x=0或x+2=0,所以x,=O,X2=2.(以上解法是如何實現降次的?)

因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為

兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實現降次，這種解法叫做因式分

解法.

例1.解方程

13

(1)10X-4.9X2=0(2)x(x-2)+X-2=0(3)5x2-2x--=x2-2x+-

44

(4)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式乘積。)

練習：1.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(x-3)(x-5)=10x2,.-.x-3=10,x-5=2,/.Xi=13,x2=7

23

2

B.(2-5X)+(5X-2)=0,??.(5x-2)(5x-3)=0,/.Xi=-rx2=-

2

C.(x+2)+4X=0，.;Xi=2,x2=-2

D.x2=x兩邊同除以x,得x=1

三、鞏固練習

教材練習1、2.

例2.已知9a2-4b2=0,求代數式@一2-亡包的值.

baah

分析：要求2-空生的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關

baab

系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發生錯誤.

M目Ta2-b2-a2-b22b

解：原式:---------------=----

aba

v9a2-4b2=0

(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

22

a=—b或a=—b

33

2

當2=±1)時，原式=-23h=3

33

3

2

當a=—b時，原式=-3.

3

四、應用拓展

例3.我們知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可轉化為(x-a)(x-b)

=0,請你用上面的方法解下列方程.

(1)X2-3X-4=0(2)X2-7X+6=0(3)x2+4x-5=0

分析：二次三項式x2-(a+b)x+ab的最大特點是x2項是由x-x而成，常數項ab是由-a?(-b)而

成的，而一次項是由-a?x+(-b?x)交叉相乘而成的.根據上面的分析，我們可以對上面的三題分解

因式.

五、歸納小結

本節課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次因式等于0.

六、布置作業

教材復習鞏固5綜合運用8、10拓廣探索11.

第9課時一元二次方程的解法復習課

教學內容習題課

教學目標

能掌握解一元二次方程的四種方法以及各種解法的要點。會根據不同的方程特點選用恰當的方法，

是解題過程簡單合理，通過揭示各種解法的本質聯系，滲透降次化歸的思想方法。

重難點關鍵

1.重點：會根據不同的方程特點選用恰當的方法，是解題過程簡單合理。

2.難點：通過揭示各種解法的本質聯系，滲透降次化歸的思想。

教學過程

1.用不同的方法解一元二次方程3x—5x-2=0(配方法，公式法，因式分解發)

教師點評：三種不同的解法體現了同樣的解題思路一一把一元二次方程‘降次"轉化為一元一次方

程求解。

2把下列方程的最簡潔法選填在括號內。

(A)直接開平方法(B)配方法(Q公式法(D因式分解法

(1)7x-3=2x2()(2)4(9x-1)2=25()(3)(x+2)(x-1)=20()

(4)4X2+7X=2()(5)2(0.2t+3)2-12.5=0()(6)x2+2V2x-4=0()

說明:一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒有特殊說明一般不采用配方

法。其中，公式法是一般方法，適用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合

方程左邊易因式分解，右邊為0的特點的一元二次方程時，非常簡便。

3.將下列方程化成一般形式，在選擇恰當的方法求解。

(1)3x=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=-6(4)(x+1)<2(x-1)2=6x-5

說明：將一元二次方程化成一般形式不僅是解一元二次方程的基本技能，而節能為揭發的選擇提供

基礎。

4.閱讀材料，解答問題：

材料：為解方程(x2-1)J5(X2-1)2+4=0,我們可以視(x2-1)為一個整體，然后設x2-1=y,原方程可

222

化為y-5y+4=0①.解得y,=1,y2=4o當y>=1時，x_1=1即x=2,x=+V2.當y?=4時，x_1=4即x=5,

x=±V5O原方程的解為Xi=V2,x2-V2,x3=V5,

x4=-V5

解答問題：(1)填空：在由原方程得到①的過程中利用_______法，達到了降次的目的，體現_______

的數學思想。(2)解方程X4-X2-6=0.

5.小結(1)說說你對解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的認識

(消元、降次、化歸的思想)

(2)三種方法(配方法、公式法、因式分解法)的聯系與區別：

聯系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次.

②公式法是由配方法推導而得到.

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程.

區別：①配方法要先配方，再開方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次因式等于0.

作業％復習題221.

21.2.4一元二次方程根與系數的關系

【教學設計總意圖］：本課是一節公式定理的新知課第一課時，曾在舊版的教材中占據很重要的位置，

不但在中考中體現，延伸到高中的數學教學也有廣泛的應用.本冊教材又將曾一度刪去的內容恢復，可

見根系關系的重要.它為進一步解決一元二次方程、二次函數以及相關的數學問題提供一些新的思路.

但本課畢竟是第一課時，讓學生體會公式基本內容，在頭腦中形成積極印象很關鍵.所以從絕大多數同

學掌握的知識程度出發，針對本班學生的特點，本課在(a*0,b24ac>0)的前提條件下設計,所有

的一元二次方程均有解.

教學目標：1、理解根系關系的推導過程；

2、掌握不解方程，應用根系關系解題的方法；

3、體會從特殊到一般，再有一般到特殊的推導思路

教學重點：應用根系關系解決問題；

教學難點：根系關系的推導過程

教學流程：引入新知，推導新知，鞏固新知，應用新知，

教學過程：

一、前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對話，內容如下：

鄭：我說董沐青，我有一個秘密，你想聽嗎？

董：什么秘密？

鄭：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？

董：哦？

鄭：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程x2