絕對(duì)值化簡(jiǎn)一-“分類思想”

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;

一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。即

a.(a>0)

0,(a—0)

-a.{a<0)

顯然，任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)n0.

化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的式子，關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)。先根據(jù)所給的條件，確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的。

的正負(fù)(即。〉0,。<0,還是。=0)。如果已知條件沒有給出其正負(fù)，應(yīng)該分類討論(即

分別討論a〉0,a<0,還是a=0的情形)。分類思想是數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想。下面

以一道例題來分析：

2|x|-3x

例：化簡(jiǎn)2x-|4x|

【解析】題目沒有給出X的正負(fù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)，必須討論％的取值。顯然，由

于分母不能為o,因此

①當(dāng)x>0時(shí)，

2國-3%2%-3%__1

2x—|4x||2x-4x||-2x|2x2

②當(dāng)x<0時(shí)，

2國-3%-2x-3x_-5x_-5x_5

2x-|4x|||2x-(-4x)||6x|-6x6

通過剛才例題的分析，想必大家對(duì)分類討論的思想已有所了解了吧，下面兩道絕對(duì)值

化簡(jiǎn)的題目大家可以練習(xí)一下哦。

x|-

1.當(dāng)％<0,化簡(jiǎn)

|%-3卜國

（提示：一工）

2.試化簡(jiǎn)

（提示：當(dāng)。〉0時(shí),；當(dāng)。<0時(shí),

2■

七年級(jí)數(shù)學(xué)核心題目賞析

有理數(shù)及其運(yùn)算篇

【核心提示】

有理數(shù)部分概念較多,其中核心知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、乘方.

通過數(shù)軸要嘗試使用“數(shù)形結(jié)合思想”解決問題，把抽象問題簡(jiǎn)單化.相反數(shù)看似簡(jiǎn)單,

但互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加等于0這個(gè)性質(zhì)有時(shí)總忘記用..絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，它

貫穿于初中三年，每年都有不同的難點(diǎn)，我們要從七年級(jí)把絕對(duì)值學(xué)好，理解它的幾何意義.

乘方的法則我們不僅要會(huì)正向用，也要會(huì)逆向用，難點(diǎn)往往出現(xiàn)在逆用法則方面.

【核心例題】

1

例i計(jì)算：+……+2006x2007

1x22x33x4

分析此題共有2006項(xiàng)，通分是太麻煩.有這么多項(xiàng)，我們要有一種“抵消”思想，如

能把一些項(xiàng)抵消了，不就變得簡(jiǎn)單了嗎？由此想到拆項(xiàng)，如第一項(xiàng)可拆成‘=』々可

1x21

1

利用通項(xiàng)―,——T--———,把每一項(xiàng)都做如此變形，問題會(huì)迎刃而解.

nx（n+1）nn+1

解原式=（』—』）+（!—』）+（!—』）+11

+C)

12233420062007

,1111111

=1------1---—I-----FH----------

2233420062007

=1———

2007

2006

一2007

例2已知有理數(shù)a、Ac在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

ABC

A、B、C（如右圖）,化簡(jiǎn)時(shí)+向—卜+卜一.-O-

aObc

分析從數(shù)軸上可直接得到a、b、c的正負(fù)性，但本

題關(guān)鍵是去絕對(duì)值，所以應(yīng)判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)性.我們知道''在數(shù)軸上，右邊

的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，大數(shù)減小數(shù)是正數(shù)，小數(shù)減大數(shù)是負(fù)數(shù)，可得到a-b〈0、c-b>0.

解由數(shù)軸知,a<0,a-b<0,c-b>0

所以，時(shí)+,一。|+卜一同二-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c

例3計(jì)算:1一擊1-4"41-1

分析本題看似復(fù)雜，其實(shí)是紙老虎，只要你敢計(jì)算，馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的技巧，問題

會(huì)變得很簡(jiǎn)便.

999897211

解原式=-------X------X-------XX—X—=--------

100999832100

例4計(jì)算:2-22-23-24-……-218-219+220.

分析本題把每一項(xiàng)都算出來再相加，顯然太麻煩.怎么讓它們“相互抵消”呢？我們可

先從最簡(jiǎn)單的情況考慮.2-2,23=2+22(-1+2)=2+2'6.再考慮2-22-23+2J2-22+23(-1+2)

=2-22+23=2+22(-1+2)=2+2?=6.這怎么又等于6了呢？是否可以把這種方法應(yīng)用到原題呢？

顯然是可以的.

解原式=2-22-23-24-……-218+219(-1+2)

=2-22-23-24--218+219

二2-22-23-24-...-217+218(-1+2)

=2-22-230--217+218

=2-22+23

=6

【核心練習(xí)】

1、已知|ab-2|與|b-1|互為相反數(shù)，試求：

1

X+_________+?--------\--------r的值.

ab(?+1X^+1)……(a+2006)僅+2006)

(提示：此題可看作例1的升級(jí)版，求出a、b的值代入就成為了例1.)

2、代數(shù)式J+M+*的所有可能的值有()個(gè)(2、3、4、無數(shù)個(gè))

同H\ab\

【參考答案】

2007

1、2、3

2008

字母表示數(shù)篇

【核心提示】

用字母表示數(shù)部分核心知識(shí)是求代數(shù)式的值和找規(guī)律.求代數(shù)式的值時(shí)，單純代入一個(gè)

數(shù)求值是很簡(jiǎn)單的.如果條件給的是方程，我們可把要求的式子適當(dāng)變形，采用整體代入法

或特殊值法.

【典型例題】

例1已知：3x-6y-5=0,則2x-4y+6=

分析對(duì)于這類問題我們通常用“整體代入法”，先把條件化成最簡(jiǎn)，然后把要求的代

數(shù)式化成能代入的形式，代入就行了.這類問題還有一個(gè)更簡(jiǎn)便的方法，可以用“特殊值法”,

528

取y=0,由3x-6y-5=0,可得x=—，把x、y的值代入2x-4y+6可得答案一.這種方法只對(duì)

33

填空和選擇題可用，解答題用這種方法是不合適的.

解由3x-6y-5=0,得x—2y=g

528

所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=2x——F6二——

33

例2已知代數(shù)式x"+x("T)+l,其中n為正整數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，代數(shù)式的值是,

當(dāng)x=-l時(shí)，代數(shù)式的值是.

分析當(dāng)x=l時(shí)，可直接代入得到答案.但當(dāng)x=-l時(shí)，n和(n-1)奇偶性怎么確定呢？因

n和(n-1)是連續(xù)自然數(shù)，所以兩數(shù)必一奇一偶.

解當(dāng)x=l時(shí)，

xn+x("T+1=1"+1^+1=3

當(dāng)x=-l時(shí),

Xn+1=(—1)"+(—1)"T)+1=1

例315=225=100X1(1+1)+25,25=625=100X2(2+1)+25

352=1225=100X3(3+1)+25,452=2025=100X4(4+1)+25...

75%625=,85:7225=

(1)找規(guī)律，把橫線填完整；

(2)請(qǐng)用字母表示規(guī)律；

(3)請(qǐng)計(jì)算2005?的值.

分析這類式子如橫著不好找規(guī)律，可豎著找，規(guī)律會(huì)一目了然.100是不變的，加25

是不變的，括號(hào)里的加1是不變的，只有括號(hào)內(nèi)的加數(shù)和括號(hào)外的因數(shù)隨著平方數(shù)的十位數(shù)

在變.

解(1)752=100X7(7+1)+25,85=100X8(8+1)+25

(2)(10n+5)2=100Xn(n+1)+25

(3)2005=100X200(200+1)+25=4020025

例4如圖①是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖②，再分別連接圖

②中間小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖③.S表示三角形的個(gè)數(shù).

(1)當(dāng)n=4時(shí)，S=,

(2)請(qǐng)按此規(guī)律寫出用n表示S的公式.

①②③

分析當(dāng)n=4時(shí)，我們可以繼續(xù)畫圖得到三角形的個(gè)數(shù).怎么找規(guī)律呢？單純從結(jié)果有

時(shí)我們很難看出規(guī)律，要學(xué)會(huì)從變化過程找規(guī)律.如本題，可用列表法來找，規(guī)律會(huì)馬上顯

現(xiàn)出來的.

解⑴S=13

(2)可列表找規(guī)律：

n123???n

S159???4(n-l)+l

S的變化過程11+4=51+4+4=9???1+4+4+,??+4=4(n-l)+1

所以S=4(n-1)+L(當(dāng)然也可寫成4n-3.)

【核心練習(xí)】

1、觀察下面一列數(shù)，探究其中的規(guī)律：

1，，，，，

23456

①填空：第11,12,13三個(gè)數(shù)分別是，,—.；

②第2008個(gè)數(shù)是什么？

③如果這列數(shù)無限排列下去，與哪個(gè)數(shù)越來越近？.

2、觀察下列各式：1+1X3=22,1+2X4=32,1+3X5=42,……請(qǐng)將你找出的規(guī)律

用公式表示出來:

【參考答案】

11

1、①——，——，-----:②-----

11121312008

2、1+nX(n+2)=(n+1)2

平面圖形及其位置關(guān)系篇

【核心提示】

平面圖形是簡(jiǎn)單的幾何問題.幾何問題學(xué)起來很簡(jiǎn)單，但有時(shí)不好表述，也就是寫不好

過程.所以這部分的核心知識(shí)是寫求線段、線段交點(diǎn)或求角的過程.每個(gè)人寫的可能都不一樣,

但只要表述清楚了就可以了，不過在寫清楚的情況下要盡量簡(jiǎn)便.

【典型例題】

例1平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè).

分析6條直線兩兩相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是1個(gè)，最多怎么求呢？我們可讓直線由少到多

一步步找規(guī)律.列出表格會(huì)更清楚.

解找交點(diǎn)最多的規(guī)律：

直線條數(shù)234???n

交點(diǎn)個(gè)數(shù)136???

2

交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化過程11+2=31+2+3=6.??1+2+3+…+(n-l)

圖形圖1圖2圖3???

圖1圖2圖3

例2兩條平行直線m、n上各有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，任選9點(diǎn)中的兩個(gè)連一條直線，則

一共可以連()條直線.

A.20B.36C.34D.22

分析與解讓直線m上的4個(gè)點(diǎn)和直線n上的5個(gè)點(diǎn)分別連可確定20條直線，再加上

直線m上的4個(gè)點(diǎn)和直線n上的5個(gè)點(diǎn)各確定的一條直線，共22條直線.故選D.

例3如圖，0M是NA0B的平分線.射線0C在NB0M內(nèi)，0N是/BOCA

的平分線，已知NA0C=80°,那么/MON的大小等于.M

分析求/MON有兩種思路.可以利用和來求，即/MON=NMOC+NCON.也可_______

0]

利用差來求方法就多了，/MON=NMOB-/BON=/AON-NAOM=/AOB-NAOM-/BON.B

根據(jù)兩條角平分線，想辦法和已知的/AOC靠攏.解這類問題要敢于嘗試，不動(dòng)筆是很難解出

來的.

解因?yàn)?M是/AOB的平分線，0N是/BOC的平分線，

所以/MOB=LAOB,NNOB=LCOB

22

所以/MON=/MOB-/NOB」ZA0B--ZC0B=-(ZA0B-ZC0B)=-ZA0C=-X80°

22222

=40°

例4如圖，已知/A0B=60°,0C是/AOB的平分線，OD、0E分別B

平分/BOC和/AOC.J口

(1)求NDOE的大小；/一c

(2)當(dāng)0C在NAOB內(nèi)繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，0D、0E仍是/BOC和NA0C的--E

平分線，問此時(shí)/DOE的大小是否和(1)中的答案相同，通過此過程你。A

能總結(jié)出怎樣的結(jié)論.

分析此題看起來較復(fù)雜，0C還要在/AOB內(nèi)繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題.當(dāng)你求出

第(1)小題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)/DOE是/AOB的一半，也就是說要求的/DOE,和0C在/AOB內(nèi)的位

置無關(guān).

解(1)因?yàn)?C是NA0B的平分線，0D、0E分別平分/BOC和/AOC.

所以/DOC=L/BOC,zC0E=-zC0A

22

所以/DOE=NDOC+/COE」NBOC+工NCOA」(/BOC+/COA)」/AOB

2222

因?yàn)镹A0B=60°

所以/DOE=-2AOB=-X60°=30°

22

⑵由(1)知/DOENAOB,和OC在NAOB內(nèi)的位置無關(guān).故此時(shí)/DOE的大小和(1)

中的答案相同.

【核心練習(xí)】

1、A、B、C、D、E、F是圓周上的六個(gè)點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可得到一條

線段，這樣的線段共可連出______條.

2、在1小時(shí)與2小時(shí)之間，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成直角的時(shí)刻是1時(shí)分.

【參考答案】

96

1、15條2、21—分或54—分.

1111

一元一次方程篇

【核心提示】

一元一次方程的核心問題是解方程和列方程解應(yīng)用題。解含分母的方程時(shí)要找出分母

的最小公倍數(shù)，去掉分母，一定要添上括號(hào)，這樣不容易出錯(cuò).解含參數(shù)方程或絕對(duì)值方程

時(shí)，要學(xué)會(huì)代入和分類討論。列方程解應(yīng)用題，主要是列方程，要注意列出的方程必須能解、

易解，也就是列方程時(shí)要選取合適的等量關(guān)系。

【典型例題】

例1已知方程2x+3=2a與2x+a=2的解相同，求a的值.

分析因?yàn)閮煞匠痰慕庀嗤梢韵冉獬銎渲幸粋€(gè)，把這個(gè)方程的解代入另一個(gè)方程，

即可求解.認(rèn)真觀察可知，本題不需求出x,可把2x整體代入.

解由2x+3=2a,得2x=2a-3.

把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a-2,

3a=5,

所以a=-

3

例2解方程%--=2--

23

分析這是一個(gè)非常好的題目，包括了去分母容易錯(cuò)的地方，去括號(hào)忘變號(hào)的情況.

解兩邊同時(shí)乘以6,得

6x-3(x-1)=12-2(x+1)

去分母，得

6x-3x+3-12_2x_2

6x-3x+2x=12-2-3

5x=7

7

x二一

5

例3某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%,使得利潤(rùn)增加了8

個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤(rùn)率.

分析這類問題我們應(yīng)首先搞清楚利潤(rùn)率、銷售價(jià)、進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系，因銷售價(jià)=進(jìn)價(jià)

X(1+利潤(rùn)率)，故還需設(shè)出進(jìn)價(jià)，利用銷售價(jià)不變，輔助設(shè)元建立方程.

解：設(shè)原進(jìn)價(jià)為x元，銷售價(jià)為y元，那么按原進(jìn)價(jià)銷售的利潤(rùn)率為

v—v—93

x100%,原進(jìn)價(jià)降低后在銷售時(shí)的利潤(rùn)率為yx100%,由題意得：

x93.6%x

X100%+8%^y-93'6%Xx100%

x93.6%x

解得y=L17x

117V—V

故這種商品原來的利潤(rùn)率為,一100%=17%

x

例4解方程|x-1|+|x-5|=4

分析對(duì)于含一個(gè)絕對(duì)值的方程我們可分兩種情況討論，而對(duì)于含兩個(gè)絕對(duì)值的方程，

道理是一樣的.我們可先找出兩個(gè)絕對(duì)值的“零點(diǎn)”，再把“零點(diǎn)”放中數(shù)軸上對(duì)x進(jìn)行討論.

解：由題意可知，當(dāng)|xT|=0時(shí)，x=l；當(dāng)|x-5|=0時(shí)，x=5.1和5兩個(gè)"零點(diǎn)”把

x軸分成三部分，可分別討論：

1)當(dāng)x<l時(shí)，原方程可化為-(x-l)-(x-5)=4,解得x=l.因x〈l,所以x=l應(yīng)舍去.

2)當(dāng)lWx(5時(shí)，原方程可化為(x-l)-(x-5)=4,解得4=4,所以x在1WXW5范圍

內(nèi)可任意取值.

3)當(dāng)x〉5時(shí)，原方程可化為(x-l)+(x-5)=4,解得x=5.因x>5,故應(yīng)舍去.

所以，l〈xW5是比不過的。

【核心練習(xí)】

1、已知關(guān)于x的方程3[x-2(x-|)]=4x和七幺-上^=1有相同的解,那么這個(gè)解

是.(提示：本題可看作例1的升級(jí)版)

2、某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時(shí)的速度從乙地返回

甲地，那么某人往返一次的平均速度是一千米/小時(shí).

【參考答案】

生活中的數(shù)據(jù)篇

【核心提示】

生活中的數(shù)據(jù)問題，我們要分清三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，條形圖表示數(shù)量多少，折線圖表示

變化趨勢(shì)，扁形圖表示所占百分比.學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)思考，這類問題相對(duì)是比較簡(jiǎn)單的.

【典型例題】

例1下面是兩支籃球隊(duì)在上一屆省運(yùn)動(dòng)會(huì)上的4場(chǎng)對(duì)抗賽的比賽結(jié)果：(單位：分)

欠

、^分W\

第一場(chǎng)第二場(chǎng)第三場(chǎng)第四場(chǎng)

球隊(duì)甲70728790

球隊(duì)乙95908880

研究一下可以用哪些統(tǒng)計(jì)圖來分析比較這兩支球隊(duì)，并回答下列問題：

(1)你是怎樣設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)圖的？

(2)你是怎樣評(píng)價(jià)這兩支球隊(duì)的？和同學(xué)們交流一下自己的想法.

分析選擇什么樣的統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和要達(dá)到的目的來決定.本題可以用復(fù)式

條形統(tǒng)計(jì)圖，達(dá)到直觀、有效地目的.

解用復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖：(如下圖)

t得分

0090

90一

80

70

60□

50

40

30球

20隊(duì)

乙

10甲

次

4場(chǎng)

從復(fù)式條形圖可知乙球隊(duì)勝了3場(chǎng)輸了1場(chǎng).

例2根據(jù)下面三幅統(tǒng)計(jì)圖(如下圖)，回答問題:

(1)三幅統(tǒng)計(jì)圖分別表示了什么內(nèi)容？

(2)從哪幅統(tǒng)計(jì)圖你能看出世界人口的變化情況？

(3)2050年非洲人口大約將達(dá)到多少億？你是從哪幅統(tǒng)計(jì)圖中得到這個(gè)數(shù)據(jù)的？

(4)2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，你從哪幅統(tǒng)計(jì)圖中可以明顯地得

到這個(gè)結(jié)論？

分析這類問題可根據(jù)三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)來解答.

解(1)折線統(tǒng)計(jì)圖表示世界人口的變化趨勢(shì)，條形統(tǒng)計(jì)圖表示各洲人口的多少，扇

形統(tǒng)計(jì)圖表示各洲占世界人口的百分比.

(2)折線統(tǒng)計(jì)圖

(3)80億，折線統(tǒng)計(jì)圖.

(4)扇形統(tǒng)計(jì)圖

【核心練習(xí)】

1、如下圖為第27屆奧運(yùn)會(huì)金牌扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:

(1)哪國金牌數(shù)最多？

(2)中國可排第幾位？

(3)如果你是中國隊(duì)的總教練，將會(huì)以誰為下一次奧運(yùn)會(huì)的追趕目標(biāo)?

的美國

應(yīng)麴俄羅斯

IM中國

■1澳大利亞

區(qū)3德國

匚二I其它

【參考答案】

1、(1)美國(2)第3位(3)俄羅斯.

平行線與相交線篇

【核心提示】

平行線與相交線核心知識(shí)是平行線的性質(zhì)與判定.單獨(dú)使用性質(zhì)或判定的題目較簡(jiǎn)單，

當(dāng)交替使用時(shí)就不太好把握了，有時(shí)不易分清何時(shí)用性質(zhì)，何時(shí)用判定.我們只要記住因?yàn)?/p>

是條件，所以得到的是結(jié)論，再對(duì)照性質(zhì)定理和判定定理就容易分清了.

這部分另一核心知識(shí)是寫證明過程.有時(shí)我們認(rèn)為會(huì)做了，但如何寫出來呢？往往不知

道先寫什么，后寫什么.寫過程是為了說清楚一件事，是為了讓別人能看懂，我們帶著這種

目的去寫就能把過程寫好了.

【典型例題】

例1平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過每2點(diǎn)作一條直線，一共可以

作直線()條.

A.7B.6C.9D.8

分析與解這樣的5個(gè)點(diǎn)我們可以畫出來，直接查就可得到直線的條數(shù).也可以設(shè)只有

A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，D、E兩點(diǎn)分別和A、B、C各確定3條直線共6條，A、B、C二

點(diǎn)確定一條直線，D、E兩點(diǎn)確定一條直線，這樣5個(gè)點(diǎn)共確定8條直線.故選D.

例2已知NBED=60°,ZB=40°,ND=20°,求證：AB//CD.

分析要證明兩條直線平行，可考慮使用哪種判定方法得到平行？已

知三個(gè)角的度數(shù)，但這三個(gè)角并不是同位角或內(nèi)錯(cuò)角.因此可以考慮作輔

助線讓他們建立聯(lián)系.延長(zhǎng)BE可用內(nèi)錯(cuò)角證明平行.過點(diǎn)E作AB的平行

線，可證明FG與CD也平行，由此得到AB〃CD.連接BD,利用同旁內(nèi)角互

補(bǔ)也可證明.

解延長(zhǎng)BE交CD于0,

VZBED=60°,ZD=20

.\ZB0D=ZBED-ZD=60°-20°=40°,

VZB=40°，

.\ZB0D=ZB,

AAB//CD.

其他方法，可自己試試!A

例3如圖，在aABC中，CE_LAB于E,DF_LAB于F,AC〃ED,CE是

/ACB的平分線，求證：ZEDF=ZBDF.

分析由CE、DF同垂直于AB可得CE〃DF,又知AC〃ED,利用內(nèi)錯(cuò)

角和同位角相等可得到結(jié)論.

解VCEXAB,DFXAB,

；.CE〃DF

ZEDF=ZDEC,ZBDF=ZDCE,

TAGGED,

.*.ZDEC=ZACE,

二ZEDF=ZACE.

：CE是NACB的平分線，

ZDCE=ZACE,

ZEDF=ZBDF.

例4如圖，在AABC中，ZC=90°,/CAB與/CBA的平分線相

交于0點(diǎn)，求/A0B的度數(shù).

分析已知NC=90°,由此可知/CAB與/CBA的和為90°,由

角平分線性質(zhì)可得/0AB與N0BA和為45°,所以可得NA0B的度數(shù).

解：0A是/CAB的平分線，0B是/CBA的平分線，

/.Z0AB=-ZCAB,Z0BA=-ZCBA,

22

AZ0AB+Z0BA=-ZCAB+-ZCBA=-(ZCAB+ZCBA)」(180°-ZC)=45。，

2222

.\ZA0B=180°-(Z0AB+Z0BA)=135

(注：其實(shí)/A0B=180°-(ZOAB+ZOBA)=180°--(180°-ZC)

2

=90。+-ZC.

2

所以/AOB的度數(shù)只和/C的度數(shù)有關(guān)，可以作為結(jié)論記住.)

【核心練習(xí)】

1、如圖，AB〃ED,a=/A+/E,B=/B+NC+ND,求證：8=2a.(提示:

本題可看作例2的升級(jí)版)

2、如圖，E是DF上一點(diǎn)，B是AC上一點(diǎn)，/1=/2,

ZC-ZD,求證：ZA=ZF.

【參考答案】

1、可延長(zhǎng)BC或DC,也可連接BD,也可過C做平行線.

2、先證BD〃CE,再證DF〃AC.

三角形篇

【核心提示】

三角形全等的核心問題是證全等.根據(jù)全等的5種判定方法，找出對(duì)應(yīng)的邊和角，注意

一定要對(duì)應(yīng)，不然會(huì)很容易出錯(cuò).如用SAS證全等，必須找出兩邊和其夾角對(duì)應(yīng)相等.有時(shí)為

了證全等，條件中不具備兩個(gè)全等的三角形，我們就需要適當(dāng)作輔助構(gòu)造全等.

【典型例題】

例1如圖，在AABC中，AB=AC,D、E分別在BC、AC邊上，且/

1=ZB,AD=DE.求證：ZXADB也/\E

分析要證AADB和4DEC全等，已具備AD=DE一對(duì)邊，由AB=ACBZ

Du

可知/B=/C,還需要一對(duì)邊或一對(duì)角.由條件Nl=/B知，找角比較

容易.通過外角可得到/BDA=NCED.

證明VAB=AC,

ZB=ZC,

VZ1=ZB,

/.Z1=ZC,

VZBDA=ZDAC+ZC,ZCED=ZDAC+Z1

.\ZBDA=ZCED.

在AADB和ADEC中

"NB=ZC

<ZBDA=ZCED,

AD=DE

/.△ADB^ADEC(AAS).

例2如圖，AC〃BD,EA、EB分別平分/CAB、ZDBA,CD過點(diǎn)E,

求證：AB=AC+BD.

分析要證AB=AC+BD有兩種思路，可以把AB分成兩段分別和AC、

BD相等，也可以把AC、BD平移連接成一條線段，證明其與AB相等.

下面給出第一種思路的過程.

證明在AB上截取AF=AC,連接EF,

：EA另IJ平分/CAB,

.\ZCAE=ZFAE,

^△ACE^DAAFE中

AC=AF

<ZCAE=ZFAE,

AE=AE

/.△ACE^AAFE(SAS),

/.ZC=ZAFE.

VAC//BD,

.\ZC+ZD=180°,

VZAFE+ZBFE=180°,

：.ZBFE=ZD.

：EB平分/DBA,

ZFBE=ZDBE

在ABFE和ABDE中

ZFBE=DBE

ZBFE=ND

BE=BE

.?.△BFE四△BDE(AAS),

；.BF=BD.

：AB=AF+BF,

.,.AB=AC+BD.

例3如圖，BD、CE分別是AABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD

的延長(zhǎng)線上，BP=AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB.求證：（1）AP=AQ；（2）AP

±AQ.

分析觀察AP和AQ所在的三角形，明顯要證4ABP和4QCA全等.

證出全等AP=AQ可直接得到,通過角之間的等量代換可得/ADP=90°.

證明（1）VBD,CE分別是aABC的邊AC和AB上的高，

.?.ZAEC=ZADB=90°,

ZABP+ZBAC=ZQCA+ZCAB=90°,

：.ZABP=ZQCA

在AABP和AQCA中

BP=CA

<ZABP=ZQCA

CQ=BA

：.AABP^AQCA(SAS),

；.AP=AQ.

(2)由(1)AABP^AQCA,

?.ZP=ZQAC,

VZP+ZPAD=90°,

.\ZQAC+ZPAD=90°,

/.APXAQ.

【核心練習(xí)】

1、如圖，在Z\ABC中，AB=BC=CA,CE=BD,貝i]/AFE=度.

2、如圖,在Z\ABC中,ZBAC=90°AB=AC.D為AC中點(diǎn)，AE±BD,垂足

為E.延長(zhǎng)AE交BC于F.求證：ZADB=ZCDF

【參考答案】

1、60

2、提示：作/BAC的平分線交BD于P,可先證△ABPgACAF,再證△APDgACFD.

生活中的軸對(duì)稱篇

【核心提示】

軸對(duì)稱核心問題是軸對(duì)稱性質(zhì)和等腰三角形.軸對(duì)稱問題我們要會(huì)畫對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱圖

形，會(huì)通過對(duì)稱點(diǎn)找最短線路.等腰三角形的兩腰相等及三線合一，好記但更要想著用，有

時(shí)往往忽略性質(zhì)的應(yīng)用.

【典型例題】

例1判斷下面每組圖形是否關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱.

分析與解根據(jù)軸對(duì)稱的定義和性質(zhì)，仔細(xì)觀察，可知（1）是錯(cuò)誤的，（2）是成軸對(duì)稱

的.

例2下列圖形中對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）

A.正方形B.長(zhǎng)方形C.等腰三角形D.等腰梯形

E.等邊三角形F.角G.線段H.圓I.正五角星

分析與解有一條對(duì)稱軸的是C、D、F、G,有三條對(duì)稱軸是E,有四條對(duì)稱軸的是A,

有兩條對(duì)稱軸的是B,有五條對(duì)稱軸的是I,有無數(shù)條對(duì)稱軸的是H.故選H.

例3如圖，AOB是一鋼架，且/A0B=10°,為使鋼架更加堅(jiān)固，

需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH……添加的鋼管長(zhǎng)度都與0E

相等，則最多能添加這樣的鋼管根.

分析由添加的鋼管長(zhǎng)度都與0E相等，可知每增加一根鋼管，

就增加一個(gè)等腰三角形.由點(diǎn)到直線的所有線段中垂線段最短可知，

當(dāng)添加的鋼管和0A或0B垂直時(shí)，就不能再添加了.

解每添加一根鋼管，就形成一個(gè)外角.如添加EF形成外角/FEA,添加FG形成外角/

GFB.可列表找規(guī)律：

添加鋼管數(shù)1234???8

形成的外角度數(shù)20304050???90

當(dāng)形成的外角是90°時(shí)，已添加8根這樣的鋼管，不能再添加了.故最多能添加這樣的

鋼管8根.

B

例4小明利用暑假時(shí)間去居住在山區(qū)的外公家，每天外公都帶領(lǐng)A'

小明去放羊，早晨從家出發(fā)，到一片草場(chǎng)放羊，天黑前再把羊牽到一

條小河邊飲水，然后再回家，如圖所示，點(diǎn)A表示外公家，點(diǎn)B表示

草場(chǎng)，直線/表示小河，請(qǐng)你幫助小明和他外公設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使他-------------------1

們每天所走路程最短？

分析本題A（外公家）和B（草場(chǎng)）的距離已確定，只需找從B到1（小河）再到A

的距離如何最小.因A和B在/的同側(cè)，直接確定飲水處（C點(diǎn)）的

位置不容易.本題可利用軸對(duì)稱的性質(zhì)把A點(diǎn)轉(zhuǎn)化到河流的另一側(cè),

設(shè)為A，,不論飲水處在什么位置，A點(diǎn)與它的對(duì)稱點(diǎn)二到飲水處

前距離都相等，當(dāng)A'到B的距離最小時(shí)，飲水處到A和B的距離

和最小.也可作B的對(duì)稱點(diǎn)確定C點(diǎn).

解如圖所示，C點(diǎn)即為所求飲水處的位置.

【核心練習(xí)】

1、請(qǐng)用1個(gè)等腰三角形，2個(gè)矩形，3個(gè)圓在下面的方框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)軸

對(duì)稱圖形，并用簡(jiǎn)練的語言文字說明你的創(chuàng)意.

2、如圖所示，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，DE=DF,BC〃EF.這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？為

什么？

【參考答案】

1、略

2、是軸對(duì)稱圖形，^ABC與aDEF的對(duì)稱軸都過點(diǎn)D,都與BC垂直，所以是兩條對(duì)稱軸是

同一條直線.

通過這些核心題目的練習(xí)，如能做到舉一反三，觸類旁通，靈活應(yīng)變.不僅會(huì)節(jié)約很多

時(shí)間和精力，或許這樣的練習(xí)會(huì)很有效.

幫你梳理《因式分解》

【重點(diǎn)再現(xiàn)】

一.因式分解的意義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫把這個(gè)多項(xiàng)式

分解因式，這一意義貫徹全章，因式分解的各種方法都要遵從這一要意。

1.因式分解是一種恒等變形，其是否正確，可以用整式乘法檢驗(yàn)，看乘得的結(jié)果是否等

于原多項(xiàng)式。

2.因式分解強(qiáng)調(diào)的結(jié)果是整式的積的形式，是一種形式上的恒等變形。

3.因式分解的結(jié)果要求，是必須進(jìn)行到每個(gè)因式都不能再分解為止,要注意要求在何種

數(shù)集內(nèi)進(jìn)行因式分解的。

4.并不是所有多項(xiàng)式在任何數(shù)集內(nèi)都能因式分解。

二.因式分解的基本方法

1.提公因式法o形如ma+mb+me=m(a+b+c)

2.運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

p、q公式(簡(jiǎn)稱)：

x2+(j>+q)x+pq=(x+p)(x+q)

3.分組分解法。分組分解法的情況：

(1)分組后能直接提公因式。(2)分組后能直接運(yùn)用公式(包括上面三個(gè)公式)

【方法精析】

1.提公因式法

例1.因式分解下列各式

①6/y-8xyz

②4ab2-6a'b+2ab

③3(a-Z?)c2-2(b-a)

@-(a-b)3+(b-a)?

分析：①②找公因式的方法是：系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取相同字母的最低

次幕；

③中(a-b)與(b-a)只有符號(hào)之差的應(yīng)先調(diào)整后再提；

④首項(xiàng)為“一”應(yīng)轉(zhuǎn)化為“+”，且注意(。一。)2=0—02

解：①原式=2xy(3x—4z)

②原式=2ab(2b-3tz+1)

③原式=3(a—b)c?+2(a—b)=(a—Z?)(3c2+2)

④原式=-[(a-b)3-(a-b)2]=-(a-b)2(a-b-1)

2.運(yùn)用公式法

例2.把下列各因式分解

①—1+100。2②8h;4—y4

@a4-8a2+16@m2-3mn+2n~

分析：①前后兩項(xiàng)交位置后可直接運(yùn)用平方差公式；

②連續(xù)兩次運(yùn)用平方差公式，直到每個(gè)因式都不能再分解為止。

③先用完全平方公式后再用平方差公式；

④用“pq公式”看成關(guān)于m的二次三項(xiàng)式。

解：①原式=100。2—1=(10。+1)(10。—1)

②原式=(9x2+y2)(9/~y2)=(9x2+y2)(3x+y)(3x-y)

③原式=(/—4尸=(a+2)2(a一2產(chǎn)

④原式=(m-〃)(機(jī)一2M)

例3.把下列各式因式分解

①a，—abl

@3x2-12x2y+12xy2

③9(x-y)2+6(y-x)+l

@x~-y2-z2+2yz

分析：

①先提公因式a后可用平方差公式；

②提公因式3x后，符合完全平方公式；

③把(x-y)看作一個(gè)整體，且y—x=—(%—y)

④分組后再運(yùn)用平方差公式

解：①原式=2—)=a(a+l)(a—1)

②原式=3(尤2—4xy+4y2)=3x(x-2y)2

③原式=[3(x—y)+If=(3%_3y+1產(chǎn)

④原式=x2-(y2-2yz+z2)

=x2~(y-z)2

=(x+y-z)(x-y+z)

3.分組分解法

例4.@ma-mb+2a—2b

@x--xy-xy2-x-y

(§)(c7+b)(a-b)+4(。-1)

@?4+4

分析：①可一、二項(xiàng)為一組也可一、三項(xiàng)為一組，之后再提公因式;

②將前三項(xiàng)為一組運(yùn)用“pq公式”再提公因式；

③將二項(xiàng)都用乘法公式展開后再分組分解；

④可配項(xiàng)后分組分解。

解：①原式=m(a-Z?)+2((7-/?)=((?-Z?)(m+2)

②原式=(x-2y)(x+y)-(x+y)=(x+y)(x-2y-1)

③原式=/+4b_4=q2_(/_詠4)

=a2-(￡>-2)2=(a+b-2)(a-b+2)

2

④原式=(/+4a+4—4/

=(a2+2了—(2b)2

=(a2+2+2Z?)(a2+2-2b)

【探索思考】

1.用配方法分解因式

①x'+64②x?+6x-16

2.在整數(shù)范圍內(nèi)能分解因式

x2—ax—12貝ija可取哪些整數(shù)，若多項(xiàng)式變?yōu)椤?2x+b則b可取哪些整數(shù)

3.寫出一個(gè)三項(xiàng)式，再分解因式

(要求三項(xiàng)式只含有字母a、b系數(shù)，次數(shù)不限，且能先提公因式再用完全平方公式)

4.計(jì)算：(22+42+62+---+20002)-(12+32+52+---+19992)

參考答案：

1.(廠+4-x+8)(x"—4x+8)，(x+8)(x—2)

2.a可取±1,±4,±11,Z?可取無數(shù)多個(gè)

3.如:3a2—6ab+3b~等

4.2001000

列一元一次方程解打折問題

打折的說法可以用數(shù)學(xué)中的百分率來說明。如果說某件商品打九折，就是按原價(jià)的90%

出售。若原價(jià)為。元，那么現(xiàn)價(jià)就是ax90%。在商品問題中，還涉及如下幾個(gè)概念：

商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)(有時(shí)還需減去費(fèi)用)；

商品利潤(rùn)

商品的利潤(rùn)率=

商品進(jìn)價(jià)

例1.某商品進(jìn)價(jià)為500元，按標(biāo)價(jià)的9折銷售，利潤(rùn)率為15.2%,求商品的標(biāo)價(jià)為多少

元？

分析：已知商品的進(jìn)價(jià)和利潤(rùn)率可求商品利潤(rùn)為500X15.2%。若設(shè)標(biāo)價(jià)為x元，可求出

商品售價(jià)，由條件也可用含x