高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省浙南名校聯盟2024-2025學年高一下學期2月返校考試數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式得或，因為是或的真子集，所以，是或充分不必要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.若函數則的值為（）A. B. C.3e D.【答案】D【解析】令得則.故選：D.4.終邊上一點坐標為則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數的定義可知則故選：C.5.若函數對任意的有恒成立，則函數可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為函數對任意的有恒成立，即對任意的有恒成立，故在為向下凹的函數，對于A、的圖像為：不滿足題意，故A錯誤；對于B、的圖像為：不滿足題意，故B錯誤；對于C、的圖像為：不滿足題意，故C錯誤；對于D、的圖像為：滿足題意，故D正確.故選：D.6.已知函數在上是減函數，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意，函數在上是減函數，則有，解可得，即a的取值范圍為.故選：B.7.已知，則的最小值為（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】由題意得且所以所以當且僅當即時取等號，所以的最小值為故選：C.8.設，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為在單調遞增，且，所以，所以，因為，所以，所以；因為，所以，則，所以，則，所以.故選：二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為了得到函數的圖象，只需將函數圖象上的點（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】BD【解析】因為，對于A：將函數圖象上的點向右平移個單位長度，得故A錯誤；對于B：將函數圖象上點向右平移個單位長度，得故B正確；對于C：將函數圖象上的點向左平移個單位長度，得故C錯誤；對于D：將函數圖象上的點向向左平移個單位長度，得故D正確.故選：BD.10.已知則下列說法正確的有（）A.當時在上單調遞增B.當時，方程有兩個不同的實數根且C.若在時，有恒成立，則a的取值范圍為D.存在實數t，使為偶函數【答案】ACD【解析】對A選項，當時在上單調遞增，且又上單調遞增，根據復合函數的單調性可得在上單調遞增選項正確；對B選項，當時令可得，，，，，B選項錯誤；對C選項，當時，令因為恒成立，若則在恒成立，即在恒成立，因為所以恒成立，滿足條件，若，則在恒成立，即在恒成立，當時不滿足恒成立，所以a的取值范圍是C選項正確；對D選項又為偶函數，存在使為偶函數D選項正確.故選：ACD.11.對于平面內的一個有限點集由有限個點組成的集合若該點集內的每個點都恰有三個與之距離最近的點這三個點也在點集內則稱這樣的點集為“對稱集”，記作其中n表示該點集內點的個數.如集合不存在；集合存在，該集合內16個點的一種分布方式為如圖所示，則使存在的n還可以為（）A.20 B.24 C.4 D.5【答案】AB【解析】根據題目定義，對稱集要求每個點有三個最近的鄰點，且這些鄰點均在點集內.結合圖論中的正則圖每個頂點度數為需滿足邊數為整數，故n必須為偶數.題目中已給出存在的例子，而不存在.幾何構造分析表明，在平面中滿足每個點有三個等距鄰點的有限點集需要高度對稱的結構，如蜂窩狀或特殊網格排列，但此類構造僅對特定偶數可行.最終答案所有可能的n值為偶數且所以或者.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若扇形的弧長為，面積為，則扇形的圓心角為________弧度．【答案】【解析】設扇形半徑為R，圓心角為，則，則，解得13.已知函數，且為偶函數，則的值為________.【答案】1【解析】因為為偶函數，則為偶函數，而是偶函數，故是偶函數，所以，所以，將代入函數，得，因此，所以的值為1.14.已知，若，則的取值范圍是________.【答案】【解析】因為，，所以，于是由已知得：，即，因為，若，即，則，這時，不符合條件；若，即，則，這時，也不符合條件；因此，一定有，所以，因為，所以，，，即當時，，當時，因此，.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）求；（2）若的解集為C求實數m取值范圍.解：（1），；所以.（2）記因為，故，所以即實數m取值范圍為16.已知函數（1）判斷在定義域上的單調性，并用定義證明；（2）若存在使方程有解，求實數k的取值范圍.解：（1）在定義域上單調遞增，證明如下：任取且，又則，所以即即在定義域上單調遞增.（2）令，又上單調遞增，則，即方程在在上有解.①當時，此時不成立；②當即時當時，，當，，所以所以17.如圖為一個摩天輪的示意圖，該摩天輪半徑為5m，圓上最低點與地面距離為1m，300秒轉動一圈.圖中OA與地面垂直，摩天輪上的某車廂開始位于最低點A處，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面距離是（1）求h與間的函數關系式；（2）設從OA開始轉動，經過t秒后到達OB，求h與t之間的函數關系式，并求該車廂第2次到達最高點時用時是多少.解：（1）以圓心原點，建立如圖所示的坐標系，則以為始邊，為終邊的角為故點B坐標為，（2）秒轉動一圈，所以該摩天輪轉動的周期所以其轉動的角速度是故ts轉過的弧度數為令得所以得令得該車廂第2次到達最高點時，用的時間為18.已知函數為奇函數.（1）求a的值；（2）若求不等式的解集.解：（1）由為奇函數，得即整理得對定義域內的x都成立，可得，則，令，解得，經檢驗符合題意.（2）由（1）可得令由在上單調遞減在上單調遞減，所以在上單調遞增，又在上也單調遞增，所以在上單調遞增，由的定義域為得，所以的定義域為，易知函數在上單調遞增，由，可得，則則可轉化為因為在上單調遞增，所以，解得，即不等式的解集為19.在人教A版必修第一冊P160頁中，出現了這兩個函數.其實這兩個函數在數學中被定義為雙曲函數：雙曲正弦函數雙曲余弦函數.(是自然對數的底數，)雙曲函數是與三角函數相類似的函數.比如為R上的奇函數為R上的偶函數.（1）類比兩角和余弦公式，寫出兩角和的雙曲正弦公式：_________，并加以證明；（2）證明：，在上有且僅有一個零點；（3）已知，記函數，.函數的零點為；函數的零點為，且滿足，若恒成立，求a的取值范圍.解：（1）由于，，則，所以.（2）證明：因為函數，所以易知函數在上單調遞增，因為，，，所以由零點存在定理，函數在上