普通高中數學人教版（2019）必修第二冊

以核心素養為導向的高中數學單元教學設計

*****中學###第六章平面向量及其應用單元教學設計

教學設計工作安排01總體設計02第一單元

平面向量的概念單元整體設計03第二單元

平面向量的運算單元整體設計04第三單元平面向量基本定理及坐標表示

單元整體設計0506目錄第四單元

平面向量的應用單元整體設計工作坊以核心素養為導向的高中數學單元教學設計第六章平面向量及其應用單元教學設計

內容課時分課時內容負責設計的組負責設計者單元整體設計16第六章平面向量及其應用單元教學設計1，3組6.1平面向量的概念16.1平面向量的概念教學設計3組6.2平面向量的運算66.2.1向量的加法運算課時教學設計1組6.2.2向量的減法運算課時教學設計1組6.2.3.1向量的數乘運算（1）1組6.2.3.2向量的數乘運算（2）1組6.2.4平面向量的數量積（第1課時）1組6.2.4平面向量的數量積（第2課時）1組6.3平面向量基本定理及坐標運算46.3.1平面向量的基本定理&.6.3.2正交分解及其坐標表示1組6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示3組6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示3組6.3.5平面向量數量積的坐標表示3組6.4平面向量的應用56.4.1平面幾何中的向量方法3組6.4.2向量在物理中的應用舉例3組6.4.3.1余弦定理3組6.4.3.2正弦定理3組6.4.3.3余弦定理、正弦定理應用舉例3組

注意：每人2-3課時教學設計.教學設計工作安排01工作坊教學設計工作安排工作坊教學設計匯報安排工作坊《平面向量及其應用》教學設計匯報匯報內容單元整體設計6.1平面向量的概念6.2.1-2向量的加法和減法運算6.2.3向量的數乘運算6.2.4平面向量的數量積6.3平面向量基本定理及坐標運算6.4.1-2平面向量的應用（1）6.4.3.1-3平面向量的應用（2）01工作坊教學設計工作安排02總體設計

1總述：

向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁、向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮著重要作用.本章的學習可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義;掌握平面向量的概念、運算、平面向量基本定理;用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題;提升數學運算、直觀想象和邏輯推理素養.02總體設計2本章內容按如下路徑展開:背景引入—向量的概念與表示—向量的運算及其性質——向量基本定理及坐標表示——向量應用.其中,建構向量概念、建立向量運算體系、解決數學和實際問題是本章的三大要點.本章從物理、幾何、代數三個角度提供了研究向量的途徑與方法，體現出向量內容密切聯系實際以及“數”與“形”融合的特點.

根據以上分析,本章分為以下幾個單元:平面向量的概念（1課時），平面向量的運算（6課時），平面向量基本定理及坐標表示（4課時）,平面向量的應用（5課時），總計16課時.3本章學習目標：后續展開.02總體設計4結構簡圖為:02總體設計5本章知識結構框圖:第六章

平面向量及其應用03第一單元

平面向量的概念單元整體設計

數學必修第二冊單元基本信息設計者王雪飛指導者課程標準模塊幾何與代數使用教材版本人民教育出版社普通高中教科書數學必修第二冊單元名稱第六章

第一單元平面向量的概念單元課時數1課時一、單元學習主題分析（體現學習主題的育人價值）

內容本質：向量是既有大小又有方向的量，它是近代數學中重要和基本的概念之一.向量理論具有豐富的物理背景、深刻的數學內涵.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，集數與形于一身，是溝通幾何與代數的橋梁，在解決實際問題中發揮著重要作用.向量是研究數學問題的基本工具，對完善高中數學知識結構發揮了重要作用.

主題概述蘊含的思想與方法：同時蘊含著建構一個數學對象的基本路徑.所以本課的學習可以讓學生體會到獲得數學研究對象、認識數學新對象的基本方法和基本思路：現實背景定義表示特例性質

知識點上下位關系：本單元是“平面向量及其應用”的起始課，是高中數學課程中“幾何與代數”主題的開篇，為學習平面向量的運算及應用奠定了基礎.本單元所用的研究方法，如從物理學中抽象出向量概念的方法可用于向量的加法、數乘、數量積的學習，為平面向量運算的學習提供了活動經驗.同時，平面向量還是學習空間向量的基礎.

育人價值：通過從現實背景到向量概念再到向量基本關系的學習，可以有效提升學生的數學抽象、直觀想象等素養.教學重點：理解向量的概念，認識向量的幾何表示，能對想等向量和共線向量進行辨析.第一單元

平面向量的概念單元整體設計主題學情分析學生學習過數量，可以類比著研究數量的內容、方法研究向量.向量是一個全新的概念，但是學生有生活經驗和物理素材的認知基礎，如物理學中的位移、力、速度等概念，所以不難理解向量的定義．共線向量與平行向量是等價的，只是名稱的用詞具有相應的針對性．學生知道兩條直線的平行關系，這與向量的平行關系不完全一致，學生在學習的過程中可能會混淆。一、單元學習主題分析（體現學習主題的育人價值）第一單元

平面向量的概念單元整體設計1、為了加強向量概念的物理背景，可以借助作圖軟件呈現位移、速度、力的圖示.理解平面向量與有向線段、平行向量與共線向量的關系時，可以利用動態幾何軟件進行動態演示，通過把抽象的內容可視化、靜態的內容動態化來化解難點.2、利用信息技術互動平臺開展教學活動，教師借助平臺實時掌握學情，及時反饋學生在學習過程中出現的問題，并為不同基礎的學生提供適當的幫助，提高教學效率.一、單元學習主題分析（體現學習主題的育人價值）學習條件支持第一單元

平面向量的概念單元整體設計1.通過對力、速度、位移等的分析,了解平面向量的實際背景，

理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.二、單元學習目標設計（基于標準、分析教材、結合學情，體現素養導向）單元學習目標2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.第一單元

平面向量的概念單元整體設計三、各課時學習目標（聚焦課時內容，具體、可操作、可檢測，學習符合學科要求）

學習目標解析（明確各學習目標達成之后，學生的具體表現和評價方式）第一單元

平面向量的概念單元整體設計

能從物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能說出向量的基本要素，能用自己的語言解釋向量與數量之間的共性與差異性.

能說出平面向量的表示方法并能解釋其內涵，能說出零向量和單位向量的含義．

能從向量的要素之間的關系出發研究兩個平面向量的位置關系，能刻畫共線向量、相等向量等概念，會判斷兩個平面向量是否相等、共線.

能用自己的語言描述向量概念的抽象過程與方法，體會類比、數形結合等數學思想，養成用數學的眼光觀察世界的習慣，發展數學抽象、直觀想象等素養.提出問題問題1：在物理學中力、位移、速度等量都是什么量，它們具有什么樣的設計意圖：共同特點？從實際的物理背景出發引入本節所學知識

給出向量概念：在數學中，把既有大小又有方向的量叫做向量。問題2：向量是否可以比較大小？

設計意圖：加強學生對向量的理解，即要深刻認識到向量不光有大小還是有方向，由于其方向性因此不能比較大小

給出相關概念

提出問題問題3：以位移為例，A為起點，B為終點，連接A、B兩點的線段代表行進的距離，在終點B加上箭頭表示前進的方向(如圖所示),就可以表示位移，歸納總結其特點，并分析其與向量的聯系。

設計意圖：讓學生從物理層面引入幾何表示

給出向量的書寫，以向量

為例，強調箭頭方向及其書寫問題4：根據以下向量的幾何表示，寫出相應向量的書寫形式

設計意圖：讓學生直觀感受到向量的書寫形式及書寫時箭頭必須加，并且方向向右

直接給出向量的另一種表示形式，即使用小寫字母表示（印刷體用黑體a，書寫用），例如：b強調在寫向量是字母上方一定要加箭頭

四、各課時任務設計及學習活動（指向學習目標，強調學生的活動與體驗）第一單元

平面向量的概念單元整體設計四、各課時任務設計及學習活動（指向學習目標，強調學生的活動與體驗）提出問題給出相關概念設計意圖：讓學生認識到向量的表示形式有兩種，并且再次注意字母上方的箭頭

問題5：通過類比物理中位移的大小思考如何表示向量的大小？給出：向量的大小稱為向量

的長度（或稱模），記作

設計意圖：從實際的物理背景出發讓學生類比兩點的距離表示理解向量模的大小的記法

問題6：根據向量的概念，思考什么是零向量、單位向量？問題、零向量、單位向量的方向是什么？

設計意圖：1、讓學生結合向量的概念及名詞的字面意思，分析零向量和單位向量的具體概念2、讓學生注意到向量的方向性，認識到零向量和單位向量的特殊性和重要性

第一單元

平面向量的概念單元整體設計四、各課時任務設計及學習活動（指向學習目標，強調學生的活動與體驗）提出問題給出相關概念問題8：觀察下列兩組向量，分析其共同點與差異，并進行總結給出平行向量的概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a與向量b平行，記作a∥b規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a

設計意圖：1、讓學生從自身的認知角度體會與認識什么是平行向量2、在學生自身認識的基礎上，給出完整的平行向量的概念，加強學生對平行向量的認識，同時向學生強調在平行向量中的特殊存在零向量

問題9、觀察下列一組向量，分析其特點給出相等向量的概念：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a與向量b相等，記作a=b問題10、量一定是平行向量嗎？平行向量一定是相等向量嗎？

設計意圖：1、讓學生從自身的認知角度體會與認識什么是相等向量2、在學生自身認識的基礎上，給出完整的相等向量的概念，通過兩個問題加強學生對平行向量及相等向量的在認識。

問題11、已知a，b，c是一組平行向量，任做一條與a所在直線平行的直線L，在直線l上任取一點O，在直線l上分別作出OA=a，OB=b，OC=c（如圖所示），分析此時向量a，b，c具有什么樣的特點？給出共線向量概念：任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量設計意圖：讓學生通過直觀感受認識到任一向量可以進行平移五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）評價內容

學習目標評價：

通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景；初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別．通過類比用帶箭頭的線段表示位移，理解用有向線段表示向量，進而理解向量的表示.借助有向線段的長度和方向，理解向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等定義；能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關系．

數學核心素養評價：

提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理能核心素養。第一單元

平面向量的概念單元整體設計五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）評價指標

一、核心知識維度的評價指標

第一單元

平面向量的概念單元整體設計（一）向量的基本定義對向量概念的理解：是否準確理解向量是既有大小又有方向的量，這是平面向量概念的核心定義.零向量與單位向量的認識：能否正確描述零向量的特性，對單位向量的概念理解.（二）向量的表示幾何表示法：對有向線段表示向量的掌握，包括是否清楚有向線段的三要素（起點、方向、長度），字母表示法：熟練運用字母表示向量相等向量：是否能準確判斷兩個向量為相等向量，即長度相等且方向相同，平行（共線）向量：對平行（共線）向量概念的理解，包括規定零向量與任一向量平行的特殊情況.相反向量：理解相反向量（長度相等、方向相反的向量）的概念，如能否正確求出一個向量的相反向量.五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）評價指標

二、思想方法維度的評價指標（一）類比思想從實際到數學概念的類比：觀察能否將生活中的有大小和方向的量（如速度、力等）類比到平面向量的概念中，從而更好地理解向量概念的產生和意義，體會數學來源于生活的思想.（二）抽象概括思想向量概念的抽象過程：考查學生能否從多個具體的實例中抽象出向量的共同特征，即既有大小又有方向，從而形成向量的概念，這體現了從具體到抽象的思維過程.向量關系的抽象概括：在向量間關系的學習中，是否能從具體的向量實例中概括出這些關系的本質特征.（三）數形結合思想向量的幾何表示中的數形結合：在用有向線段表示向量時，能否將向量的幾何圖形與向量的代數表示相結合.在解決向量相關問題時，能否自覺地運用圖形進行分析，將數與形相互轉換以找到解題思路.第一單元

平面向量的概念單元整體設計五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）評價指標

三、關鍵能力維度的評價指標（一）理解能力

對向量概念的深度理解：能否深入理解向量概念中的各個要素（大小、方向、模、向量間的關系等），而不僅僅是表面的記憶.

對向量表示方法的理解：理解不同向量表示方法（幾何表示、字母表示）之間的聯系和轉換.（二）邏輯推理能力

向量關系推理：在判斷向量間的關系（如平行、相等、共線等）時，能否運用所學的向量概念和性質進行邏輯推理，給出合理的判斷依據，例如在證明三點共線問題時，能否通過向量共線的性質進行嚴謹的推理證明.第一單元

平面向量的概念單元整體設計1.設計小組課堂學習評價量化表，評價學生課堂具體表現。2.設計課時目標評價檢測單，以此來檢測堂課的目標完成情況。3.以實際學情為標準設計單元目標評價檢測單，檢測單元達標情況。4.結合單元檢測和課時作業構成完整性的評價體系．要定時進行單元測試，收集分析數據。5.定期進行學習問卷調查。五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）評價方法第一單元

平面向量的概念單元整體設計五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）賦值方法1.小組課堂學習評價量化表評價標準評價內容非常好比較好一般不太好不好學習態度注意力非常集中，非常主動、積極地參與到教學活動中注意力比較集中，很主動、積極地參與到教學活動中注意力基本能集中，能主動、積極地參與到教學活動中注意力不太集中，被動地參與任何教學活動注意力不集中，不參與任何教學活動獨立思考對于老師提出的問題積極進行思考，并表達自己的想法，還能提出問題對于老師提出的問題積極進行思考，并愿意表達自己的想法對于老師提出的問題進行思考，但不愿表達自己的想法對于老師提出的問題進行思考，沒有想法對于老師提出的問題不進行思考參與小組合作非常積極地組織并主動參與小組合作主動參與小組合作能參與小組合作在小組合作中只聽別人說，自己不思考，不動手不參與小組合作表達數學內容理解并有條理地表達數學內容理解并并能用自己的語言表達數學內容明白數學內容但表達的不清晰對數學內容不十分清楚，表達不出不愿表達數學內容自我反思習慣對自己學習中的情況進行反思經常對自己學習中的情況進行反思對自己學習中的情況能進行反思很少對自己學習中的情況進行反思不對自己學習中的情況進行反思第一單元

平面向量的概念單元整體設計五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）賦值方法2.學生課堂學習評價量化表第一單元

平面向量的概念單元整體設計五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）賦值方法3.學習評價測試卷模板單元目標評價檢測單一、選擇題1,2,3,4,5,6題目略二、填空題7題目略三、解答題8，9，10題目略四、評價表

列出每題所考查知識點并說明掌握情況

題號知識點掌握程度

糾錯

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

教師評語第一單元

平面向量的概念單元整體設計課時目標評價檢測單一、作業要求:_________________________________________________________________二、作業題目設置同上（略）三、評價表表格設置同上(略)五、單元學習評價設計（教師或同伴對學生的評價，指向學習目標的達成）賦值方法4.學習評價作業模板例如

：目標評價檢測單作業要求:

按時完成作業，提煉每題考查的知識點并填到任務清單中，

自評知識點掌握程度。

1、下列說法正確的個數為（

）①面積、壓強、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．32、判斷下列命題的真假（真命題用：√表示；假命題用：×表示）（1）如果，那么；（）（2）若，都