課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA029學科數學年級高二學期第一學期

課題2.5.1直線與圓的位置關系（2）

書名：普通高中教科書數學選擇性必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年7月

教學人員

姓名單位

授課教師張一樵北京市第五十五中學

指導教師雷曉莉北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.將直線與圓的方程應用到實際生活中.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

3.歸納整理用坐標法解決平面幾何問題的三步曲.

教學重點：

1.建立適當的平面直角坐標系，在坐標系中建立直線與圓的方程，研究它們的位置關系.

2.用坐標法解決與直線與圓位置關系有關的實際問題.

教學難點：

1.選擇適當的平面直角坐標系，將幾何元素用坐標或方程表示.

2.利用直線與圓的方程解決實際問題.

教學過程

時教學環

主要師生活動

間節

引言：上節課我們學習如何用方程研究直線與圓的位置關系，與初中研究思路

的一個顯著的不同是，現在我們用代數方法解決幾何問題.把直線與圓的位置

關系問題，通過平面直角坐標系轉化為代數問題，通過直線與圓的方程進行代

3（一）

分課題引數運算，利用代數運算的結果研究幾何圖形的位置關系.

鐘入

師生活動：解決問題的基本思路有兩條，一是完全從代數角度出發，聯立直線

與圓的方程，消元，計算判別式，通過判別式確定方程組實數解的個數.二是利

用圓心與半徑，通過點與直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，比較它與

半徑的大小.這兩個思路，都可以作為直線與圓的位置關系的判斷方法.

在實際生活中有許多形狀，里面也存在著大量幾何圖形并體現著各種位置

關系.本節課我們從實際問題出發，繼續研究直線與圓的位置關系.

設計意圖：回顧課時(1)，引導學生思考將幾何圖形代數化的重要角色—坐標系，

直接點題—代數方法解決幾何問題，引出本課主題.

問題1例1圖中是某圓拱橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度：AB20m,拱高

,建造時每間隔需要用一根支柱支撐，求支柱的高度（精確

OP4m4mA2P2

到0.01m）.

師生活動：幾何問題代數化的媒介是坐標系.理論上，坐標原點、坐標軸的方向

選在同一平面內的任何位置，都可以實現幾何問題的坐標化、方程化.但一定會

影響后續的代數表達、運算.

追問1：建立平面直角坐標系需要遵循什么原則？

15（二）

分解決問

鐘題

師生活動：坐標軸的方向，我們一般會選擇已知線段所在的直線，水平向右、

垂直向上；圓的問題，肯定首先考慮以圓心為原點，水平向右為x軸.如果選擇

圓心作為坐標原點，圖中點的坐標，都要帶著參數r.這時我們會想到，將坐標

原點放在弦AB上，用弦的一個端點A作為原點，弦長、弓形高，間距已知，

圖中的點的坐標都可寫出，圓的方程如何去表示呢？可以設圓心坐標為（10，

b),半徑為r.圓的方程是個二元二次方程，圓心的坐標越簡單，方程結構越簡

單.同時考慮到圓的對稱性和已知條件中的幾何要素—可以考慮弦的中點作為

坐標原點；同時，選擇單位長度表示1m.

設計意圖：明確了建立坐標系、確定原點位置，需要遵循的原則.建立坐標系就

是為了解決難以解決的幾何問題，關鍵的步驟交由計算來完成.因此肯定要盡量

避免繁復的代數運算.坐標系不是隨意建立，充分利用幾何圖形的性質，盡量減

少參數、使得所列方程、表達式盡量簡潔，都是在選擇原點位置、坐標軸方向

這一步需要考慮的.為用方程解決問題打好基礎.

建立平面直角坐標系，要得到支柱的高度，只需求出點縱坐標.

A2P2P2

設計意圖：通過這一問題，讓學生主動思考在建立坐標系時需遵循的原則，減

少隨意性，討論在哪個范圍內選擇坐標原點、擇優的原則是哪些，為下面的問

題解決奠定基礎.

師生活動：

解：建立如圖所示坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在

y軸上，點P、B的坐標分別為（0，4），（10，0）.設圓心坐標是（0，b）,

圓的半徑是r,那么圓的方程是：x2（yb）2r2，

P、B兩點都在圓上，所以它們的坐標（0，4），（10，0）都滿足圓的方

程，得到

02（4b）2r2,b10.5,

解得

222

10（0b）r,r14.5.

所以圓的方程是：x2（y10.5）214.52.

22

當x2時，y14.5-（-2)10.514.3610.53.86（m）.

答：支柱的高度約為.

A2P23.86m

追問2:如果不建立坐標系，還有其他方法解決這一問題么?（可以用綜合法解

決）

師生活動：如圖，過點作，由已知，.在

CCMP2N于MOP4,OA10

222

RtAOC中，有CACOOA.設圓拱所在圓C的半徑長是r，則有

222，解得.在中，222.

r(r4)10r14.5RtCP2MCP2CMP2M

因為，于是有2222.

P2MOA22P2MrOA214.54206.25

又，因此，22.

OC14.5410.5|A2P2||MP2||MA2|r|CM||MA2|

所以支柱A2P2的長度為3.86m.

追問3：坐標法與綜合法有何內在聯系嗎？

師生活動：回顧一下兩個解法，方法1中，點在圓上，坐標滿足圓的方程，

P2P2

幾何上解釋就是點到圓心的距離，等于半徑，在坐標系中表示兩點距離的公

P2

式，本質就是勾股定理（圓的方程本質上就是距離方程）；與方法2中，在

中，勾股定理所列方程，本質是一樣的.對的長度的描述，兩種

RtCP2MA2P2

方法得到的表達式等價.

設計意圖:通過問題引導，讓學生逐漸形成將問題從幾何、代數兩種角度分析解

決的意識,尤其是有關圓的問題，圓的幾何性質豐富，通過幾何方法、方程的方

法都可以解決，針對問題做出選擇，并充分利用圓的幾何性質，是學生的難點.

坐標法思考難度小、計算量小；綜合法需要添加輔助線，有一定的技巧，

過程中利用了垂徑定理，并多次使用勾股定理計算，過程比較復雜.解析幾何的

創始人之一，笛卡爾，就是對當時的幾何方法、代數方法進行比較，分析各自

優缺點后才創建了坐標系，我們才有了全新的研究幾何問題的方法和對代數式

更直觀的理解.數與形，在坐標系內的得到了完美的結合.

坐標法之所以有如此簡潔的表達，選擇坐標原點、建立坐標系的位置至關

重要.因此坐標系的建立不是隨意的，而是綜合幾何與代數知識并預估后續運算

難度的嚴密思考后的結果.

追問4：你能總結用坐標法解決幾何問題的基本步驟嗎？

師生活動：總結用坐標法解決幾何問題步驟

第一步:建立適當平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素：點、

線、圓等等，把平面幾何問題轉化為代數問題；

第二步：通過代數運算，解決代數問題；

第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.

如果解決的是實際問題，還需要把實際問題中的問題情境，識別出它是什

么幾何圖形，幾何圖形之間的哪些性質.在第三步翻譯為幾何結論后，將幾何結

論回歸到實際問題中，說明幾何結論對應了什么實際對象.

設計意圖：通過例題的教學，形成研究問題的基本方法，從需要解決的問題出

發，如果是實際問題需要首先將其抽象成數學問題，再進入坐標法解決幾何問

題的“三步曲”,最后要將得到的幾何結論回歸到實際中.通過系列問題，不斷

鞏固該方法，培養學生對學習內容反思、歸納的習慣，幫助學生在更大范圍內

把所學知識系統化、結構化，并掌握相應的學習方法.

問題2例2一個小島周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為

20km的圓形區域內，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心

正北30km處，如果輪船沿直線返航，那么它是否會有觸礁危險？

追問1：問題中涉及到哪些幾何元素?

追問2：這些幾何元素可以抽象成什么樣的幾何問題？

師生活動：以小島的中心為圓心，東西方向為x軸，南北方向為y軸建立直角

坐標系，輪船沿直線返航，那么它是否會有觸礁危險這一問題，就是航線與暗

礁所在區域是否有公共點的問題.可以轉化為直線和圓是否有公共點的問題.為

了運算簡便，我們取10km為單位長度.

解：以小島中心為原點，東西方向為x軸，南北方向為y軸建立直角坐標系，

設港口所在位置坐標（0，3），輪船所在位置坐標（4，0），則暗礁所在圓形區

域邊緣對應圓O的方程是:x2y24,其圓心坐標（0，0），半徑為2；輪

船航線所在直線l方程：3x4y120.

方法一：

3x4y120，

22

xy4，

消去y，得25x272x800，由0,可知方程沒有實數解，直線l

與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險.

方法二：

|12|

因為dr，所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁

3242

危險.

|OA||OB|

因為|OH|2420,所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航

|AB|

不會有觸礁危險.

問題3你能比較三個方法各自的特點嗎？

師生活動：圓心到直線距離d與r之間的大小比較，運算量小，因為更多運用

了幾何圖形的性質進行的代數“翻譯”.聯立方程組的純代數解法更