第六章常微分方程第一節微分方程基本概念第二節一階微分方程第三節可降階高階微分方程第四節二階線性微分方程解結構第五節二階常系數線性齊次微分方程第1頁第一節微分方程基本概念

一.問題引入二.微分方程定義本節主要內容:三.求微分方程解第2頁

在力學、物理學及工程技術等領域中為了對客觀事物運動規律性進行研究，往往需要尋求變量間函數關系，但依據問題性質，經常只能得到待求函數導數或微分關系式，這種關系式在數學上稱之為微分方程。第3頁例1

一曲線過點(0,0)，且曲線上各點處切線斜率等于該點橫坐標平方，求此曲線方程．解

設所求曲線方程為y=y(x)(x,y)為曲線上任意點，在該點曲線切線斜率為y′,依題意有：兩邊積分，得(2)(1)一、問題引入第4頁上式表示是曲線上任意一點切線斜率為x2全部曲線．但要求是過點(0,0)曲線，即將(3)式代入(2)式，得C=0，所以x=0時，y=0(3)為所求曲線方程．第5頁例2

一物體由靜止開始從高處自由下落，已知物體下落時重力加速度是g，求物體下落位置與時間之間函數關系。解

設物體質量為m,因為下落過程中只受重力作用,故物體所受之力為F=mg，第6頁

,所以及加速度又依據牛頓第二定律，F=ma即(5)第7頁兩端積分得(6)現在來求s與t之間函數關系，對(5)式由題意知t=0時，(8)這里C1，C2都是任意常數．(7)再兩端積分，得第8頁C1=0,C2=0.故(7)式為把(8)式分別代入(6)，(7)式，得(9)這就是初速度為0物體垂直下落時距離s與時間t之間函數關系．第9頁微分方程:凡含有未知函數導數或微分方程叫微分方程.例實質:

聯絡自變量,未知函數以及未知函數一些導數(或微分)之間關系式.二、微分方程定義第10頁分類1:按自變量個數，分為常微分方程和偏微分方程.都是常微分方程；如y′=x2,y′+xy2=0,

假如其中未知函數只與一個自變量相關，就稱為常微分方程。第11頁就是偏微分方程；

假如未知函數是兩個或兩個以上自變量函數，而且在方程中出現偏導數如本章我們只介紹常微分方程。第12頁微分方程階:微分方程中出現未知函數最高階導數階數.都是二階微分方程.都是一階微分方程；如y′=x2,y′+xy2=0,xdy+ydx=0是四階微分方程；…等等．二階及二階以上微分方程稱為高階微分方程.第13頁分類2:按方程中未知函數導數最高階數，分為一階、二階和高階微分方程一階微分方程高階(n)微分方程第14頁微分方程解:代入微分方程能使方程成為恒等式函數.微分方程解分類：(1)通解:

微分方程解中含有任意常數,且獨立任意常數個數與微分方程階數相同.三、主要問題——求方程解含有幾個任意常數表示式，假如它們不能合并而使得任意常數個數降低，則稱這表示式中幾個任意常數相互獨立．獨立任意常數個數=微分方程階數第15頁不能合并，即C1，C2是相互獨立．比如y=C1x+C2x+1與y=Cx+1(C1,C2，C都是任意常數）所表示函數族是相同，所以y=C1x+C2x+1中C1，C2是不獨立；而中任意常數C1，C2是第16頁(2)特解:確定了通解中任意常數以后解.初始條件:確定任意常數取固定值條件.第17頁解圖象:微分方程積分曲線.通解圖象:

積分曲線族.初值問題:求微分方程滿足初始條件解問題第18頁二階微分方程定解條件通常是x=x0時，y=y0、y′=y′0或寫成或本章討論一階微分方程，f(x,y)表示x,y關系式），它定解條件通常是x=x0時，y=y0或寫成第19頁把y和y″代入微分方程左端得解又例3驗證是微分方程通解．并求此方程滿足初始條件特解。第20頁是該微分方程通解.是二階，所以方程代