第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省婁底市2025屆高三下學期4月教學質量檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={?7,?3,1,5}，B={x|y=lg(x+2)}，則A∩B=(

)A.{?7,?3} B.{5} C.{?3,1,5} D.{1,5}2.已知z=2+(a?2)ii(a∈R)為純虛數，則a=A.1 B.22 C.2 3.已知向量m=(1,?5)，n=(?4,6)，則m?(A.?60 B.?45 C.34 D.654.某同學參加跳遠測試，共有3次機會.用事件Ji(i=1,2,3)表示隨機事件“第i(i=1,2,3)次跳遠成績及格”，那么事件“前兩次測試成績均及格，第三次測試成績不及格”可以表示為(

)A.J1∩J2 B.J2∪5.tanπ5A.34 B.1 C.65 6.長沙是一座有著悠久歷史和豐富文化底蘊的城市，其當地美食也獨具特色.某個假期期間，一名游客前往長沙旅游打卡，現要每天分別從臭豆腐、炸藕夾、剁椒魚頭、辣椒小炒肉、醬板鴨、糖油粑粑這6種美食中隨機選擇2種品嘗(選擇的2種美食不分先后順序)，若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數為(

)A.90 B.120 C.150 D.1807.已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1A.36 B.42 C.48 D.248.設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，其中點A位于第一象限，當l斜率為正時，x軸上存在三點D，E，H滿足AF=AD，BE⊥EF，∠EBH=∠EFB，則|EH|?|DF|=A.4 B.8 C.12 D.16二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=cos2x，則(

)A.f(x)的圖象關于直線x=π4對稱 B.f(x)在區間[?π2,0]上單調遞增

C.f(x)的最小正周期為2π D.10.化學課上,老師帶同學進行酸堿平衡測量實驗,由于物質的量濃度差異等因素,測量酸堿度pH值時會造成一定的誤差,甲小組實驗數據的誤差X和乙小組實驗數據的誤差Y均符合正態分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004).已知正態分布密度函數f(x)=12πσe?(x?μ)22σ2,記X和Y所對應的正態分布密度函數分別為A.f1(0.3)>f2(0.28)

B.甲小組實驗數據的誤差相對于乙小組更集中

C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1

D.P(Y<0.31)<P(11.已知函數f(x)的定義域為D，若?m，n∈D，且(m+n)∈D，都有f(m)+f(n)≤f(m+n)，則稱f(x)是次可加函數，則(

)A.f(x)=lnx(0<x≤2)是次可加函數

B.f(x)=sinx(?π≤x≤0)是次可加函數

C.若D=N，f(0)=0，f(1)=1，則次可加函數f(x)可以是周期函數

D.若D=Z，f(0)=0，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓C:x2m+y29=113.某小區公園內有4條同心圓環步道，其長度依次構成公比為2的等比數列，若最長步道與最短步道的長度之差為840m，則最長步道的長度為

m.14.幻方是一種數學游戲，具有悠久的歷史，其要求每行每列以及兩條對角線的數字之和均相等，且每格的數字均不相同.現將1～16填入4×4幻方，部分數據如圖所示，則m的取值集合是

．1312111m169四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知雙曲線C:x2?y2b2=1的左頂點為A，右焦點為F，P，Q是C上的兩點，線段(1)求C的離心率;(2)若R(12,316.(本小題15分)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2，bsinC+c(1)求△ABC的面積;(2)若AB?AC=1，求17.(本小題15分)

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=22，CC1(1)過點C，E，F的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長;(2)設T為線段D1C1上一點，當平面CEF⊥平面A1DT時，求平面18.(本小題17分)記Sn為數列{an}的前n項和，且{2(1)求a2的值，并求{a(2)探究{an(3)證明：Sn<819.(本小題17分)已知函數f(x)=e(1)當a=1時，討論f(x)的單調性;(2)已知A(x1,y1)，B(x2,(ⅰ)求b的取值范圍;(ⅱ)若(x1?x2參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ABC

11.ABD

12.3

13.960

14.{14}

15.解：(1)當PF⊥AF時，|PF|=|AF|，故P的橫坐標為c，代入C的方程，得y2=b2c2?b2，

因為c2=1+b2，所以y2=b4，故y=±b2，

所以c+1=b2，故c2=c+2，解得c=2，

故C的離心率為ca=2．

(2)由(1)知C:x2?y23=1，設P(x1,y1)，Q(x2,y16.解：(1)對右邊等式，由余弦定理知bcosC+ccosB=a2+b2?c22a+a2+c2?b22a=a，

設BC邊上的高為?，

則bsinC+csinB=absinCa+acsinBa=?+?=2?，

因為bsinC+csinB=bcosC+ccos17.解：(1)如圖，步驟1:延長DA，CE交于點P，連接PF交AA1于點G，連接GE;

步驟2:延長GF，DD1交于點Q，連接CQ交C1D1于點H，連接FH，

多邊形CEGFH即為所求截面，由E為AB中點，可得A為DP中點，

從而△APG與△A1FG相似，所以A1GAG=A1FAP=12，

又F為A1D1中點，從而△D1FQ與

(2)當T為線段D1C1中點時，平面CEF⊥平面A1DT，理由如下;

易得EF2=22+22+(2)2=10，CE2=22+(22)2=12，CF2=42+22+(2)2=22，

故EF2+CE2=CF2，所以EF⊥CE.又A1T//CE，故EF⊥A1T.

取CD中點M，連接D1M，TM，EM.因為E，M分別為AB，CD中點，故EM//FD1，

所以E，F，D1，M四點共面，易知四邊形DD1TM為正方形，故DT⊥D1M.

又FD1⊥平面DCC1D1，DT?平面DCC1D1，故FD1⊥DT，

而FD1∩D1M=D1，FD1，D1M?平面EFD1M，

故DT⊥平面EFD1M.

因為EF?18.解：(1)因為{2nann}為等差數列，取前3項知2，2a2，83a3成等差數列，即4a2=83a3+2，

因為{ann(n+1)}為等比數列，取前3項知12，a26，a312成等比數列，即2a22=3a3，

代入4a2=83a3+2得4a2=169a22+2，即8a22?18a2+9=0，

也即(2a2?3)(4a2?3)=0，所以a2=34或3219.解：(1)f′(x)=ex?1x+1，記g(x)=f′(x)，則g′(x)=ex+1(x+1)2>0，

所以f′(x)在(?1,+∞)單調遞增，又f′(0)=0，

所以當?1<x<0，f′(x)<0，當x>0，f′(x)>0，

所以f(x)在區間(?1,0)單調遞減，在(0,+∞)單調遞增；

(2)(i)由題意可得x1+x2=0．

由對稱性，不妨設x1=t∈(0,1)，則x2=?t.又f(x1)+f(x2)=2b，即eat+e?at?ln(1?t2)=2b．

記F(t)=eat+e?at?ln(1?t2)，則F′(t)=aeat