第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京一中高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.cos225°cos45°?sin225°sin45°的值是(

)A.?1 B.0 C.1 D.2.已知向量a=(x,2x?3)，b=(x,1)，若a//b，則A.?1或3 B.?1或2 C.0或2 D.3或23.在復平面內，復數z對應的向量OZ=(1,2)，則|z?3|=(

)A.22 B.5 C.4.在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=23，則AC=(

)A.2 B.3 C.65.若sin(α?π6)=A.13 B.23 C.9106.在△ABC中，若sinC?sinB=cos2A2，則△ABCA.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.已知菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC=23，BM+12CB=0，A.18 B.17 C.168.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c?b=2bcosA，則ca?b的取值范圍是(

)A.(?1,2) B.(32,2) C.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.計算下列各式，結果為3的是(

)A.2sin15°+2cos15° B.tan21°+tan24°+tan21°tan24°

10.關于復數z1，z2，下列說法正確的是(

)A.若z1?z2>0，則z1>z2

B.若z1z2=0，則z111.東漢末年的數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”，根據面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形A′B′C′拼成的一個大等邊三角形ABC.對于圖2.下列結論錯誤的是(

)A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3,sin∠ABB′=5314，則A′B′=2

C.若AB=2A′B′，則AB′=10BB′

D.若A′三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2),b=(m,3)，若a⊥(2a?b13.若函數f(x)=asinx+cosx的圖像關于直線x=π6對稱，則a=______．14.在銳角△ABC中，cosB=13,AD=2DC，且△ABC的面積為3，過D分別作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知i為虛數單位，復數z=m2?2m?3+m(m+1)i．

(1)當實數m取何值時，z是純虛數；

(2)當m=1時，復數z是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，求實數16.(本小題15分)

已知α∈(π2,π)，cos2α=35．

(1)求tanα的值；

(2)若β∈(π217.(本小題15分)

為了便于市民運動，市政府準備對道路旁邊部分區域進行改造.如圖，在道路EF的一側修建一條新步道，新步道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數y=Asin(ωx+2π3)(A>0,ω>0),x∈[?4,0]時的圖象，且圖象的最高點為B(?1,2)，新步道的中部分為長1千米的直線跑道CD，且CD/?/EF，新步道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧DE．

(1)求ω的值和∠DOE的大小；

(2)若計劃在圓弧步道所對應的扇形ODE區域內建面積盡可能大的矩形區域建服務站，并要求矩形的一邊MN緊靠道路EF上，一個頂點Q在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，且∠POE=θ，求矩形MNPQ面積最大時18.(本小題17分)

如圖，我們把由平面內夾角成60°的兩條數軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設e1，e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量OP=xe1+ye2，則把實數對[x,y]叫做向量OP的“完美坐標”．

(1)若向量OP的“完美坐標”為[3,4]，求|OP|；

(2)已知[x1,y1]，[x2,y2]分別為向量a，b19.(本小題17分)

已知△ABC的面積為9，點D在BC邊上，CD=2DB．

(1)若cos∠BAC=45，AD=DC，

①證明：sin∠ABD=2sin∠BAD；

②求AC；

(2)若AB=BC，求AD參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.A

6.A

7.D

8.D

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.213.314.1

15.解：(1)若復數z是純虛數，

則m2?2m?3=0m(m+1)≠0，解得m=3．

(2)當m=1時，z=?4+2i，

把z=?4+2i代入方程x2+px+q=0得：(?4+2i)2+p(?4+2i)+q=0，

整理得：12?4p+q+(2p?16)i=0，

16.解：(1)cos2α=1?2sin2α=35，

結合α∈(π2,π)，可得sinα=15，cosα=?1?sin2α=?25，

所以tanα=sinαcosα=?12；

(2)因為β∈(π2,π)，且cosβ=?31010，

所以sinβ=1?cos2β=110，所以tanβ=sinβcosβ=?13，

所以tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanαtanβ=?1，

又因為α+β∈(π,2π)，所以α+β=7π4．

17.解：(1)由題意可得：A=2,T4=?1?(?4)=3，即T=12，

且ω>0，則ω=2πT=π6，

所以曲線段FBC的解析式為y=2sin(π6x+2π3)．

當x=0時，y=OC=2sin2π3=3，

又因為CD=1，則tan∠DOC=CDOC=33，

可知銳角∠DOC=π6，所以∠DOE=π3．

(2)由(1)可知OD=2，OP=2，且∠POE=θ∈(0,π3)，

則QM=PN=2sinθ,ON=2cosθ,OM=QMtanπ3=233sinθ，

可得MN=ON?OM=2cosθ?233sinθ，

則矩形MNPQ的面積為SMNPQ=MN?PN=2sinθ(2cosθ?233sinθ)

=4sinθcosθ?433sin2θ=2sin2θ+233cos2θ?233

=433sin(2θ+π6)?19.證明：(1)①因為CD=2DB，AD=DC，

所以AD=2DB，

在△ABD中，由正弦定理可得，ADsin∠ABD=BDsin∠BAD，

所以sin∠ABD=ADBD×sin∠BAD=2sin∠BAD；

②設∠BAC=θ，則cosθ=4，

因為0<θ<π，所以snθ=35，

設∠C=α，因為AD=DC，所以∠C=∠CAD=α，

在△ABD中，∠B=π?θ?α，∠BAD=θ?α，

由①知sin∠ABD=2sin∠BAD，所以sin(θ+a)=2sin(θ?α)，

所以sinθcosα+cosθsinα=2sinθcosα?2cosθsinα，

整理得cosα=4sinα，又因為sin2α+cos2α=1，0<α<π，

所以sinα=1717,cosα=4