第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京市五校聯盟高二下學期4月期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知平面α的法向量為a=(1,2,?2)，平面β的法向量為b=(?2,?4,k)，若α⊥β，則k=(

)A.?4 B.?5 C.4 D.52.已知(2+x)5=a0+A.?1 B.1 C.32 D.2433.已知函數fx=e?2x+3，則A.?1e B.e C.?24.某晚會有三個唱歌節目，兩個舞蹈節目，要求舞蹈節目不能相鄰，有(????)種排法？A.12 B.24 C.36 D.725.2424+2被5A.1 B.2 C.3 D.46.已知點A?1,?1,?1，直線l過原點且平行于向量a=(0,1,2)，則點A到直線l的距離為(

)A.305 B.355 C.7.若函數fx=12x2A.0,14 B.0,14 C.8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥AB,AC=AB=CC1=1，E是線段AB的中點，在ΔA1BCA.2333 B.332 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E、FA.B1D1?AC=0 B.AD1=210.現安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學參加志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是(

)A.若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為C52A44

B.不同安排方案的種數為54

C.若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數為C11.已知直線y=kx與曲線y=lnx相交于不同兩點M(x1,y1)，N(x2,yA.0<k<1e B.y1+y2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.方程C142x=C1413.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P?ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，則直線PB與平面PAC所成角的大小為

．

14.已知1+x?2x210=a0+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知10道試題中有4道選擇題，甲、乙兩人依次不放回地抽取1道，求：(1)甲抽到選擇題的概率；(2)在甲抽到選擇題的情況下，乙抽到選擇題的概率．16.(本小題15分)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=(1)證明：AB1⊥(2)求點A到平面BCD的距離．17.(本小題15分)已知在2x?1xnn∈N?(1)求展開式中的常數項，并指出是第幾項；(2)求展開式中的所有有理項．18.(本小題17分)如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面AA1D1D⊥(1)若BQ=3QC，證明：PQ//平面ABB(2)若二面角P?QD?C的正弦值為5?2626，求19.(本小題17分)已知函數fx=x(1)若曲線fx在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a(2)討論fx(3)當x∈1e,e時，fx≥參考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.A

7.B

8.D

9.ABD

10.AD

11.ABD

12.6

13.π614.?60

15.解：設事件A為“甲抽到選擇題”，事件B為“乙抽到選擇題”．

(1)10道試題中有4道選擇題，

甲、乙兩人依次不放回地抽取1道，

甲抽到選擇題的概率為：P(A)=410=25．

(2)P(AB)=416.解：(1)證明：由直三棱柱的性質可知AA1⊥平面ABC，

因為AB,AC?平面ABC，

所以AA1⊥AB，AB=AA1，所以四邊形AA因為AA1⊥AC，AB⊥AC，AA1所以AC⊥平面AA1B1B所以AC⊥AB因為A1所以AB又因為A1B∩A所以AB1⊥(2)以A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、設AC=2

，則A0,0,0，B3,0,0，所以AC=(0,2,0)，BC=(?設平面BCD的一個法向量為n=則n?BC取x=3，則y=3所以n=(設點A到平面BCD的距離為d，則d=AC所以點A到平面BCD的距離為617.解：(1)依題意可得第2項的二項式系數為Cn1，第3項的二項式系數為Cn2，

所以Cn1Cn2=25，即nn(n?1)2×1=25，則n2?6n=0，

∴n=6或n=0(舍去)，

∴n=6；

所以(2x?1x)6展開式的通項為：Tr+1=C6r(2x)6?r(?x?12)r=(?1)r26?rC6rx6?32r(0≤r≤6,r∈N)，

令6?32r=0，解得r=4，

所以T5=218.(1)證明：取AA1的中點M，連接MP，MB，

在四棱臺ABCD一A1B1C1D1中，四邊形A1ADD1是梯形，A1D1=2，AD=4，

又點M，P分別是棱A1A，D1D的中點，

所以MP//AD，且MP=A1D1+AD2=3，

在正方形ABCD中，BC//AD，BC=4，

又BQ=3QC，所以BQ=3，

從而MP=?//BQ，

所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以PQ//MB，

又因為MB?平面ABB1A1，PQ??平面ABB1A1，

所以PQ/?/平面ABB1A1．

(2)在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O，

因為平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，

A1O⊥AD，A1O?平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD，

在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，

因為OD⊥AB，ON//AB所以ON⊥OD，

又因為ON，OD?平面ABCD，A1O⊥平面ABCD，所以OA1，ON，OD兩兩垂直．

以ON為x軸，OD為y軸，OA1為z軸建立空間直角坐標系，

因為四邊形AA1D1D是等腰梯形，A1D1=2，AD=4，

所以AO=1，又A1A=D1D=17，由勾股定理可得A1O=4，

故各點坐標為B(4,?1,0)，D(0,3,0)，C(4,3,0)19.解：(1)因為fx=x所以f′1又fx在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，所以f′即2+a=32，所以(2)f′x=2x+a①當a≥0時，f′x>0，所以fx②當a<0時，令f′x=0，得x2=?a當x∈0,?a2時，f′x<0，f綜上，當a≥0時，fx在0,+∞當a<0時，fx在0,?(3)由fx≥a+