第第頁參考答案1．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的相關計算，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確構造直角三角形是解題的關鍵．（1）解斜，先求出，再求出即可；（2）點作于點，由得，而，則，那么，即可求解正切．【詳解】（1）解：∵，∴，設，，，，∴，，，；（2）解：過點作于點，∵，，∴，∴∵是邊上的中線，∴，，由（1）可知：，，，．2．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由正方形的性質結合平行線分線段成比例得到，然后證明即可；（2）由，得到，證明，由直角三角形斜邊上中線的性質得到，證明，則，那么，再交叉相乘即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖：∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識點，找出相似三角形是解題的關鍵．3．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質與判定，三角形中位線的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵；（1）根據題意得出，進而得出，根據中位線的性質可得出，結合已知可得四邊形是平行四邊形，根據，即可得證；（2）證明，得出進而證明得出，證明，即可證明得出，進而根據，，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖，∵，即∴∵，即∴∴又∵∴∴，即是的中點，又∵，∴是的中點，∴又∵∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形為菱形；（2）證明：∵，即又∴∵∴∴又∵∴∴∵∴又∴∴∴∴又∵是的中位線，∴又∴即4．(1)見解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由等腰三角形的性質得出，由已知條件得出，證明，得出對應邊相等，即可得出結論；（2）根據三角形中位線判定與性質得出，，即可判定，根據相似三角形面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】（1）證明：，，、是中線，，，，在和中，，，；（2）解：∵和是中線，∴點E、D是、的中點，，，，．故答案為：．5．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的判定方法及性質是解題的關鍵．（1）由平行四邊形的性質可知，．所以，，又因為，進而可證明；（2）由（1）可知：，得出，由平行四邊形的性質可知，進而得到，代入計算求出，即可解題．【詳解】（1）（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，．又，．；（2）解：，四邊形是平行四邊形，．，．，．6．(1)(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）利用直徑所對圓周角是直角得到，再根據正切函數定義，代入、計算得出結果．（2）先由得出，結合證明，得到，再通過圓的性質及等量代換推出，即，從而證明結論．（3）過點作，先利用平行線性質得出，結合三角函數值求出長度，再通過相似三角形得出長度，進而得到，證明，得出，根據等腰直角三角形的性質證明．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，在中，，，，∴．（2）證明：如圖，連接，，．，，．，，，．是⊙的直徑，，，，即，．是的半徑，是的切線．（3），理由如下：

如圖，過點作，垂足為，與交于點，，，．，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．【點睛】本題考查了圓的相關性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定以及三角函數的應用，解題關鍵是熟練運用上述知識，通過邊與角的關系進行推理和計算．7．2.1米【分析】本題考查了平行投影，在同一時刻時，樹的高度與影長與人的高度與影長成正比列比例式，求出此時人的影長，計算出最多離樹干的長度．【詳解】解：設小明在同一時刻在水平地面上形成的影長為米，則，解得，經檢驗，是原方程的根.，，答：小明最多可以離開樹干2.1米才可以不被陽光曬到．8．(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）利用一線三等角即可證明；（2）由，推出，過點作于，過點作于，求出，，得到；設，則，求出，即可得出結論；（3）在上取點，使得，過點作于，取中點，連接，證明，得到，設，則，同理（2）得，求出，，，利用勾股定理得到，證明是的中位線，進而證明，推出，求出，結合完全平方公式求出，且為正實數，，得到，即，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，過點作于，過點作于，則，，

∵，∴，∴，∴；設，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：在上取點，使得，過點作于，取中點，連接，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，同理（2）得，∴，同理（2）得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴點G是的中點，∵點K是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，即，∴，即，∵，且為正實數，，∴，∴，即，∴；∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，三角形中位線的性質以及勾股定理．本題的綜合性強，難度較大，解題的關鍵是添加輔助線，構造三角形全等，相似是解題的關鍵．9．(1)，理由見詳解；(2)，理由見詳解；(3)或【分析】（1）延長至使，連接，證明，得，則，再證，即可得出答案；（2）延長至使，連接，證明，得，則，再證，得，即可解決問題；（3）分兩種情況：當時，延長至使，連接，延長交延長線于點，證，得，，再證，求得，然后證，得，求出，進而由勾股定理得，則，最后證明是的中位線，即可得出答案．當時，用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：線段與線段之間的數量關系為：，理由如下：如圖2，延長至使，連接，是線段中點，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：線段與線段之間的數量關系為：，理由如下：如圖3，延長至使，連接，

在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延長至使，連接，延長交延長線于點，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，是直角三角形，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，是的中位線，．當時，如圖所示：由前面的過程可知，此時共線，；綜上所述，的長為或．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行線的判定與性質、相似三角形的判定與性質三角形中位線定理等知識，本題綜合性強，正確作出輔助線，構建全等三角形和相似三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．10．(1)，(2)，，理由見解析(3)（2）中結論仍然成立，說明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）證明得，，又，所以，求得，即，即可求解；（2）證明得，，又，所以，求得，即，即可求解；（3）由，得，，在圖中：由，得，再結合得，即可求解；在圖中：由題可知：，又，所以，再結合，所以，即可求解；在圖中：由，得，又，所以，即可求解．【詳解】（1）解：由題可得：，，，，，，又，，，即，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：由題可得：，，，又，，，，又，，，即；（3）解：（2）中結論仍然成立，仍然證，得到，，圖：由，得，又，，，即；圖：由題可知：，又，，而，，，即；圖：由，得，又，，，即．11．(1)(2)(3)或；(4)或【分析】（1）根據勾股定理即可求解；（2）根據已知得出，進而得出；（3）過點作于點，得出，分兩種情況討論，當在同側時，當在異側時，根據相似三角形的性質，即可求解；（4）作關于對稱點，連接并延長，交于點，則，是的中點，則，分兩種情況討論，過的中點和過的中點，分別畫出圖形，根據相似三角形的中即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴可設，，∴，當時，，∵，設，則∴∴，∴，即，解得，∴；（3）解：如圖，過點作于點，∵，設，則∴∵是等腰直角三角形，則∴是等腰三角形，∴∴，∵∴,如圖，當在同側時，∵點和點到的距離相等，∴∴∴∵設，∴，∴解得：∴如圖，當在異側時，過點作交于點，設與交于點，∵與到直線的距離相等，設距離為設，則∵∴∴∴∵∴∴∵設，∴∴解得：∴綜上所述，或；（4）解：∵設，如圖，作關于對稱點，連接并延長，交于點，則，是的中點，則∵∴∴∵，，∴，∴，∵∴∴∴解得：或（舍去）∴；如圖所示，是的中點，設交于點，則，∵∴∴∴則∵∴∴∴解得：或（舍去）∴綜上所述，或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，分類討論是解題的關鍵．12．樹高為8米【分析】本題考查了相似三角形的應用，根據題意可得，然后由相似三角形的性質，即可求解，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【詳解】解：和均為直角，．,．，，，．．答：樹高為8米．13．(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據題意證明出，得到，，然后利用勾股定理求出，設，，在中，理由勾股定理求出，進而求解即可；（2）如圖，延長和交于點，證明出，得到，，設，然后得到，得到，進而求解即可；（3）如圖所示，取中點，連接，，證明出，得到，證明出，得到，推出，然后代數求出，然后求出，勾股定理求出，然后利用求解即可．【詳解】（1）∵平分，，，∴，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．在中，，∴．設，∴．在中，，，∴．解得．∴．在中，，；（2）．理由如下：如圖，延長和交于點，∵，∴．∵，，∴．∴，．∴．又∵為線段靠近的三等分點，∴．∴．又∵，，∴．又∵，∴．∴．又∵，設，∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．又∵，，∴；（3）如圖所示，取中點，連接，，∵，∴又∵∴∴，即；同理可證∴，即．∴．∵，，∴．∵為中點，，∴．∵，∴．∵，，∴．∵，∴當、、共線時，取到最小值．【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判斷，勾股定理，全等三角形的性質和判斷，等腰三角選的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．14．(1)①；②(2)①見解析；②【分析】（1）①根據三角形外角的性質可得，推出，再根據直角三角形的兩個銳角互余即可求解；②過作于，利用三角函數解和即可求解；（2）①由折疊的性質得，再證，依次得出，，等量代換得出，根據等角對等邊得出，即可證明；②過作于于,證明四邊形是正方形，再依次證明，，，即可求解．【詳解】（1）解：①，，，；②如圖1，過作于，，，，，，，，，在Rt中，，，；（2）①證明：沿折疊得到，，，，，，，，，，，，，；②如圖2，過作于于,,四邊形是矩形，又，，四邊形是正方形，；，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，，設，則，，，，，，，．【點睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的判定和性質等，涉及知識點較多，難度較大，解題的關鍵是正確作出輔助線．15．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點F作，由題意可知，解直角三角形可得，，根據，得，，進而可得，即可求解；（2）過點作交延長線于，連接，延長交于，則，先證為等腰直角三角形，得，再證，得，，再證，則，可知為的中點，則，再證，進而可證得，得，由，即，得，則，再結合即可得結論；（3）設，連接，由折疊可知，，可得，易知，得，延長至使得，可得，易得，得，可知，即當點在的延長線上時，取得最大值，連接，，過點作，可得，均等腰直角三角形，求得，設，在中，，列出方程求得，進而求得，即可求解．【詳解】（1）解：過點F作，∵，，∴，∵，∴，，則，即，∴，∵過點作于點，∴，∴；（2），證明如下：過點作交延長線于，連接，延長交于，則，∵，，∴，則，∴，則為等腰直角三角形，∴，∵，則，∴，又∵，∴，∴，，∵點為的中點，∴，∵，即，∴，則，∴，則為的中點，∴，又∵，