第=page11頁，共=sectionpages11頁上海市虹口區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若a是實數(shù)，則“a2>1”是“a>2”的(A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.y=x B.y=x?2 C.3.春節(jié)期間，小明和弟弟玩起了一種自定義游戲，規(guī)定先由弟弟擲一顆質(zhì)量均勻的骰子，若弟弟擲出的點數(shù)為6，則吃1顆花生；若擲出其他點數(shù)，則記下這個點數(shù)，然后由小明開始兩個人輪流擲這顆骰子，直至任意一方擲出這個記下的點數(shù)或者6，一次游戲結(jié)束.若擲出的是這個記下的點數(shù)，則弟弟吃1顆花生；若是6，則小明吃3顆花生.任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為(????)．A.524 B.512 C.384.在空間中，點O為定點，設(shè)集合S=POP2?2OA?①若OP在OA上的數(shù)量投影為?15，則線段OP在運動過程中所形成的幾何體體積為②對于任意的Pi∈S以及任意的正實數(shù)ai，設(shè)OQ=i=1A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.已知全集U=1,2,3,4，A=1,2，則A=6.不等式x?2x+1≤0的解集是

．7.若sinα=23，則cos2α=8.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面積為

．9.若直線l與直線y=x平行，且經(jīng)過圓x2?2x+y2=0的圓心，則10.某公司為了解用電量y(單位：千瓦時)與氣溫x(單位：攝氏度)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，繪制了如右表格，由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程y=?2x+59.5，則實數(shù)m=x

?1

10

13

18

y

62

38

34

m

11.若?ABC的三條邊的長分別為4、5、6，則?ABC的外接圓面積為

.(結(jié)果保留π12.已知z是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個虛根，且|z?1|=2，若z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在拋物線y2=4x上，則p=13.某工廠生產(chǎn)的零件長度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N3,σ2，且P|X?3|≤0.5=0.8，若對該工廠同批生產(chǎn)的4個零件逐一檢查，則僅有1個零件的長度大于14.已知9個小球的編號為1、2、?、9，從中有放回地摸取小球三次，并依次記錄其編號，若這三個編號成等差數(shù)列，則共有

種不同的摸取方法．15.1798年，人口學(xué)家馬爾薩斯假設(shè)：①人口數(shù)x(t)是隨著時間t連續(xù)變化的函數(shù)；②人口增長率r為常數(shù)，且單位時間內(nèi)的人口增長量x′(t)與x(t)成正比，進(jìn)而建立了人口增長模型.19世紀(jì)中葉的生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)由于人類生存條件的限制，r不是常數(shù)，因此改進(jìn)了馬爾薩斯的假設(shè)②，并添加了1條假設(shè)：②r是隨著時間t連續(xù)變化的函數(shù)，存在人口最大瞬時增長率r0，使r=r0?k?x(t)(k>0)，且x′(t)僅與r和x(t)有關(guān)；③存在最大人口數(shù)N，當(dāng)人口數(shù)達(dá)到N時，r=0.那么在這些假設(shè)下建立的人口增長模型16.記|A|為有限集合A中的元素個數(shù).設(shè)ω>0，Sω=θ22025+ω?θ?能被7整除}，若對于任意實數(shù)a三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC(1)求證：平面PAC⊥平面PCD(2)若異面直線PB和CD所成角為π3，求點B到平面PCD的距離．18.(本小題14分)已知函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為f(x)=2x，(1)解不等式：log2(2)若存在實數(shù)x0∈0,π2，使得fmsinx19.(本小題14分)已知某區(qū)組建了一支120人的志愿者隊伍，并由其中72人組成“志愿模范隊”.經(jīng)過一年的實踐，全隊共有72人的周平均服務(wù)時長超過2小時，其中有54人來自“志愿模范隊”，如下表所示．是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時5472周平均服務(wù)時長不超過2小時總計72120(1)已知一名志愿者是“志愿模范隊”成員，求其周平均服務(wù)時長超過2小時的概率．(2)請完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：是否有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過(3)現(xiàn)從周平均服務(wù)時長超過2小時的人員中按照是否為“志愿模范隊”成員進(jìn)行分層抽樣，選取8人組建“志愿突擊隊”，并從這8人中再隨機(jī)選取2人做深度訪談，記隨機(jī)變量X為這2人中來自于“志愿模范隊”的人數(shù)，求X的分布與方差附錄：χ2=n(ad?bcPχ0.1000.0500.0100.001k

2.7063.8416.63510.82820.(本小題14分已知點F1和F2是雙曲線(1)若y=x是雙曲線C的一條漸近線，求C的離心率；(2)當(dāng)a=2時，若雙曲線C上存在一點P滿足PF(3)若在雙曲線C上分別存在兩點A和B，點A在第一象限，點B在第二象限，使得四邊形F1BAF2的面積為2a2+121.(本小題14分對于定義在R上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，a∈R，設(shè)(1)若f(x)=2x?1，g(x)=(2)若f(x)=x3?3x2，g(x)(3)已知對任意a∈R，均有Ma=[0,+∞)，記?(x)=g(x)?a，求證：“對任意a∈R，函數(shù)參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.3,4

6.(?1,7.198.4π9.x?y?1=0

10.24

11.64π12.?2

13.0.2916

14.41

15.r016.0,2117.(1)取AD的中點E，連接CE，∵AD=4，∴∵AD//BC，BC=2，∴∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴CE=AB=2，CE∵AB⊥AD，∴∴AC=A∴CD2∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，∴CD⊥平面∵CD?平面PCD，∴平面PAC⊥(2)連接BE，BD，PE，由(1)可知BC//ED，BC=ED，∴四邊形∴CD//BE∴∠PBE是異面直線PB和CD所成角，即∠設(shè)PA=m，∵AB=AE=2，∴PB=PE=∴△PBE是等邊三角形，∴m2+4=2∵AC=22，PA由(1)知，CD⊥平面PAC，∴∴SS?設(shè)點B到平面PCD的距離為?，∴VB?PCD=VP?BCD∴?=426=18.(1)由已知代入可得不等式：log2根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：2x?12則2x2?解得：x(2)由已知可得：2則m=m=2令t=sin因為x0∈0,π2則t=此時y=t+1t在t∈要使得等式m=2sinx0故m的最小值為4．19.(1)由表可知，若一名志愿者是“志愿模范隊”成員，則其周平均服務(wù)時長超過2小時的概率：P=54(2)根據(jù)題意，可將表格補充完整：是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時541872周平均服務(wù)時長不超過2小時183048總計7248120故χ2所以有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)系．(3)由分層抽樣可知，這8人中有6個來自“志愿模范隊”，2個不是“志愿模范隊”成員，故隨機(jī)變量X可能為0,1,2,且P(X=0)=C故分布列如下：X

012P

128371528所以期望：E(x)=0×方差：D(x)=0?

20.(1)若y=x是雙曲線C的一條漸近線，則1a=1，可得此時，雙曲線C的離心率為e=c(2)若a=2，不妨設(shè)點P位于第一象限，且c=由雙曲線的定義可得PF又因為PF1+PF所以，PF所以，∠F故S?(3)取點B關(guān)于原點O的對稱點E，由雙曲線的對稱性可知，點E在雙曲線上，連接BF1、則O為BE、F1F2的中點，所以，四邊形B又因為F2A=λF1B，則F2易知，直線AE不與x軸重合，設(shè)直線AE的方程為x=my+c，設(shè)點Ax1,因為S四邊形所以，S?AOE=c=聯(lián)立x=my+cx2a由題意可得m2?a由韋達(dá)定理可得y1+y所以，y1整理可得m4令t=m2，則0≤t<a2，則關(guān)于t設(shè)f(t)=t2?3a2所以，f(0)=a4?因此，a的取值范圍是[1,+∞21.(1)記F(x)=f(x)?g(0)=2函數(shù)y=F(x),x≥0上的值域為[?1,+∞)(2)設(shè)G(x)=f(x)?g(a)=x3?3x2G′當(dāng)x∈(?∞,0)時，G′當(dāng)x∈(2,+∞)時，G′當(dāng)a≤2時，G(a)≥0G(2)≥0當(dāng)a>2時，綜上，a≥3+(3)(充分性)若y=f(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，則y=f(x)?g(a),x≥a的最小值為f(a)?g(a)，而M故對任意a∈R，都有f(a)=g(a)，即y=g(x)與故y=g(x)是嚴(yán)格增函數(shù)，所以y=?(x)嚴(yán)格增函數(shù)，故對任意a∈(必要性)對任意a∈R，都有Ma=[即y=f(x)在x∈[a,+∞先證y=g(x)是嚴(yán)格增函數(shù)．對任意a1<a2，函數(shù)y=f(x),x≥a1和則由最小值的定義，ga1≤g假設(shè)存在a1<a2，使得ga從而方程g(x)=ga2的解有無限多個，與條件＂對任意a∈R，函數(shù)故假設(shè)不成立，從而y=g(x)是嚴(yán)格增函數(shù)．再證對任意a∈R，函數(shù)y=f(x),x≥a的最小值為假設(shè)存在x0>a使得fx0=g(a)，取由于y=g(x)嚴(yán)格增，知g(c)>g(a).而x0所以假設(shè)不成立，對任意a∈R，函數(shù)y=f(x),x≥a的最小值為另證：再證對任意a∈R，函數(shù)y=f(x),x≥a的最小