第四章三角形4.4利用三角形全等測距離1.能利用三角形的全等解決實際問題，體會數學與實際生活的聯系..2.能夠比較準確的用文字語言、圖形語言和符號語言

描述數學對象和表達個人觀點.學習目標一、復習引入全等三角形的性質全等三角形的判定全等三角形的應用SSS、SAS、ASA、AAS如何利用全等三角形知識解決實際問題呢？

邊相等，

角相等對應對應對應邊上的

、

分別相等；對應角的

相等，中線高線角平分線面積周長

相等，

相等1.小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即

圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的第

塊

帶去，就能配一塊與原來完全一樣的三角形玻璃嗎？2ASA二、探究新知（1）23142.如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點

O連在一起，使AA′、BB′

能繞著點O自由轉動，就做成了一個測量工具，由三角形全

等可知A′B′的長等于內槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′

的理由是

.SAS二、探究新知（2）

AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′OABOB′A′3.雨傘的中截面如圖所示，傘骨AB=AC，支撐桿OE=OF，AE=AB，AF=AC,當O沿AD滑動時，雨傘開閉，問雨

傘開閉過程中，∠BAD與∠CAD保持相等嗎？說明理由．探究新知(3)

AE=AFAO=AOOE=OF所以

△AEO

≌

△AFO（SSS）所以

∠BAD=

∠CADAEFOBCD二、探究新知（歸納）審題圖形文字相等的邊、相等的角在一次戰役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望.為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰士想出了一個辦法，為成功炸毀碉堡立了一功.智慧炸碉堡的故事三、實踐操作

他面向碉堡的方向站好，調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離．三、實踐操作三、實踐操作分析兩三角形中存在的邊角關系，填寫下表并在示意圖中進行標注.已

知問題邊角直角（∠ACB=∠ACD

）；∠BAC=∠DAC身高（AC=AC）ABCD說明：BC=DC如圖，已知△ABC與△ADC中，∠BAC=∠DAC，∠ACB=90,∠ACD=90°,請說明BC=DC.三、實踐操作ADCB在△ABC與△ADC中

AC=AC∠BAC=∠DAC∠ACB=∠ACD∴

△ABC

≌

△ADC（ASA）∴

BC=DC

∠ACB=90°，∠ACD=90°∴

∠ACB=∠ACD∵問題三、實踐操作（歸納）1.不能直接解決的數學問題需要借助

的數學思想解決.2.本題的解決過程體現了數學建模意識.先發現問題，然后分析抽象出其中的數學元素，借助______________________

等方法利于更好的理解和分析問題.畫圖、標注和列表格轉化歸納泰勒斯，公元前7至6世紀的古希臘時期的思想家、科學家、哲學家，希臘最早的哲學學派——米利都學派（也稱愛奧尼亞學派）的創始人.西方思想史上第一位有記載有名字留下來的思想家，被稱為“科學和哲學之祖”.泰勒斯曾利用日影來測量金字塔的高度，利用全等三角形和相似三角形的知識用不同的方法測量出輪船與海岸的距離.并準確地預測了公元前585年發生的日食.古人實踐仰望星空的人---幾何鼻祖泰勒斯如圖，泰勒斯在高丘上利用一種簡單的工具進行測量.竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A轉動，但可以固定在任一位置上.將該細竿調準到河對岸B的位置，然后轉動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上的某一點C，則根據角邊角(ASA)定理，DC=DB.

古人實踐泰勒斯的測量方法

拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎.因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演著重要角色.古人實踐小明家的附近有一個平坦的大廣場，廣場中央有一個橢圓形的景觀大魚池.小明在廣場上玩時想用繩子測量這個池塘的長，即圖中線段AB的長度，但是繩子不夠長，他該怎么辦呢？AB四、探索操作戴一頂太陽帽，在點B立正站好，自己調整帽子，使視線通過帽檐正好落在池塘對面的點A

，然后轉過一個角度，保持剛才的姿勢，帽檐不動，這時再望出去，仍讓視線通過帽檐，視線所落的位置為點C，測出BC的長，就是A，B間的距離.在△ADB和△CDB中∴

△ADB≌△CDB(ASA)∴

AB=BCBD=BD∠DBA=∠DBC方案一ABDC∠ADB=∠CDB四、探索操作垂直全等法方案二AB（1）先在地上取一個可以直接到達A點、B點的點C;CDE可操作性構造全等常用方法（4）連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A、B間的距離.（2）連接AC并延長到D，使CD=AC；（3）連接BC并延長到E，使CE=BC;四、探索操作在△ABC和△DEC中AC=CD，∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC（SAS）∴

AB=DE延長全等法四、探索操作（模型）ABDCABCDE垂直全等法延長全等法五、歸納總結歸納:3.數學思想：

不可測距離構造全等三角形可測距離2.方法:1.知識：（1）轉化思想垂直法構造全等三角形延長法構造全等三角形（2）樹立用三角形全等構建數學模型解決實際問題的思想。如圖要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB

的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，測得ED的長就是AB的長。判定△EDC≌△ABC的理由()A、SSSB、ASAC、AASD、SASBA●●DCEFB六、學以致用2.如圖所示小明設計了一種測工件內徑AB的卡鉗，問：在卡鉗的設計中，AO、BO、CO、DO應滿足下列的哪個條件？（）

A、AO=COB、BO=DOC、AC=BDD、AO=CO且BO=DODODCBA3、要測量河岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使DC＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，測得DE的長就是AB的長，為什么？ACBEDF解：在△ABC與△EDC中∠ABC＝∠EDC（垂直的定義）BC＝DC（已知）∠ACB＝∠ECD（對頂角相等）

∴

△ABC≌△EDC(ASA)∴

AB＝ED（全等三角形對應邊相等）4、已知：A，B兩點之間被一個池塘隔開，無法直接測量A，B間的距離，請給出一個適合可行的方案，畫出設計圖，說明依據。ECD解決辦法：方案：先在地上取一個可以直接到達點A和點B的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE并測量出它的長度，DE的長就是A，B間的距離。解：在△ABC與△DEC中AC＝DC∠ACB＝∠DCEBC＝EC∴△ABC≌△DEC（對頂角相等）（已知）（已知）∴AB=DE（全等三角形對應邊相等）(SAS)∴1.山腳下有A，B兩點，要測出A，B兩點間的距離.在地上取一個可以直接到達A，B點的點O，連接AO并延長到C，使AO=CO；連接BO并延長到D，使BO=DO，連接CD.可以證△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，測得CD的長就是AB的長.判定△ABO≌△CDO的理由是()A.SSS

B.ASA

C.AAS

D.SASDBACO課堂檢測2.如圖所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，則A，B兩點間的距離()A.大于100m

B.等于100mC.小于100m

D.無法確定3.如圖，要量湖兩岸相對兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（）A．SSS

B．SASC．ASAD．AAS第3題圖4.為了測量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P，使點P到樓底距離PB與旗桿高

度相等，等于8米．測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=38°，測樓頂A視線PA與地

面夾角∠APB=52°，量得旗桿與樓之間距離DB=33米，樓高AB=

米.8米8米38°52°52°25米2533米5.如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B．連接AC并延長到點D，使CD=CA．連接BC并延長到點E，使CE=CB．連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？6.如圖，小明家有一個玻璃容器，他想測量一下它的內徑是多少？但是他無法將刻度尺伸進去直接測量，于是他把兩根長度相等的小木條AB，CD的中點連在一起，木條可以繞中點O自由轉動，這樣只要測量A，C的距離，就可以知道玻璃容器的內徑，你知道其中的道理嗎？請說明理由．7.如圖，公園里有一條“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰為BC的中點，且E，M，F在同一直線上