直角三角形三邊的關系第14章勾股定理華師大版八年級數學上冊

2002年在北京召開的國際數學家大會（ＩＣＭ２００２）。在那個大會上，到處可以看到一個簡潔優美的圖案在流動，那個遠看像旋轉的紙風車的圖案就是大會的會標．

那是采用了1700多年前中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖．

小明家的電視機是29英寸（74厘米）的嗎？58cm46cm第14章勾股定理abc1.直角三角形三邊的關系三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關系12探索一三角尺直角邊a、直角邊b、斜邊c關系

測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系

。P

、Q

、R

的面積有什么關系？直角三角形三邊有什么關系？探索二等腰直角三角形ＡＢＣ中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?ABCPQRP+Q=RAC2+BC2=AB2探索三正方形P的面積＝

平方厘米；正方形Q的面積＝

平方厘米；正方形R的面積＝

平方厘米．正方形P、Q、R的面積之間的關系是

．直角三角形ＡＢＣ的三邊的長度之間存在關系

．（每一小方格表示1平方厘米）91625P+Q=RAC2+BC2=AB2在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方也成立！

分“割”成若干個直角邊為整數的三角形。探索4

在方格圖中，用三角尺畫出兩條直角邊分別為5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜邊的長，并驗證關系“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”對這個直角三角形是否成立．5121352+122=169132=169成立概括

對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a2＋b2＝c2。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系勾股定理：abc直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.做一做：

P62540026xP的面積=______________X=______225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520求下列圖中表示邊的未知數x、y的值.①81144xy②做一做144169X=81+1442Y=169-1442X=15Y=5比一比看看誰算得快！3.求下列直角三角形中未知邊的長:可用勾股定理建立方程.方法小結:8x17125x做一做X2=172-82X=15X2=122+52X=13例1如圖14.1.4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，ＢＣ長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離ＡＢ．（精確到0.01米）在Rt△ＡＢＣ中ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米根據勾股定理可得ＡＢ＝

＝

≈４.９６（米）．答：梯子上端A到墻的底邊的垂直距離ＡＢ約為4.96米．5.142.16？解：拓展ACOBD

一個3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為2.5m,如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?小結：本節課你學到了什么？直角三角形的判定埃及------金字塔你知道嗎?史料：古埃及人畫直角.

據說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結處.你知道這是什么道理嗎?(5)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(13)(12)(1)直角三角形有哪些性質？(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角的和為90°(互余)；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

.反之,一個三角形滿足什么條件才能是直角三角形呢?憶一憶:（即：直角三角形的兩直角邊為a，b斜邊為c，則想一想一個三角形滿足什么條件才能是直角三角形?(1)有一個角是直角的三角形是直角三角形；(2)有兩個角的和為90°的三角形是直角三角形；(3)如果一個三角形的三邊a,b,c

滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形嗎？小組探究

試用小塑料棒拼出三邊長度分別為如下數據的三角形，猜想它們是些什么形狀的三角形？（按角分類）（2）6，7，10

銳角三角形（1）5，6，7

鈍角三角形（3）3，4，5直角三角形

請比較上述每個三角形的兩條較短邊的平方和與最長邊的平方之間的大小關系.

并指出最長邊所對的角是什么角。

（4）5，12，13直角三角形銳角三角形較短的兩條邊的平方和______最長邊的平方最長邊所對的角是______鈍角三角形較短的兩條邊的平方和_____最長邊的平方最長邊所對的角是________⑴⑵大于小于銳角鈍角直角三角形較短的兩條邊的平方和_______最長邊的平方最長邊所對的角是______直角三角形較短的兩條邊的平方和______最長邊的平方最長邊所對的角是______⑶⑷等于直角等于直角

如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。知識要點勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：

（即一個三角形的兩條較短的邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。）最長邊(c)所對的角是直角典例剖析：

設三角形三邊長分別為下列各組數，試判斷各三角形是否是直角三角形（1）7，24.，25；（2）a=37，b=12，c=35（3）13，9，11分析：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是否是直角三角形，只要看兩條較短的邊的平方和是否等于最長的邊的平方。解：

（1）最長邊是25，

∴以7，24，25為邊的三角形是直角三角形。

（哪條邊所對的角是直角？）歸納：用勾股定理逆定理判斷三角形是否是直角三角形的步驟

①、確定最大邊（如c，c邊所對的角是∠C）

②、驗證：c2與a2+b2是否相等若

則△ABC是以∠C=90°的直角三角形

若則△ABC不是直角三角形。

隨堂練習課本49頁練習1

設三角形的三邊分別等于下列各組數，試判斷各三角形是不是直角三角形？如果是請指明哪一個條邊所對的角是直角？（1）12，16，20（2）8，12，15（3）5，6，8解：（1）是直角三角形。邊20所對的角是直角（2）不是直角三角形（3）不是直角三角形ABC“古埃及人畫直角”的理論根據.解：如圖，設每兩個結的距離為a（a>0），.則AC=3a，BC=4a，AB=5a

解釋：△ABC是直角三角形原來如此

一個零件的形狀如左圖所示，已知∠A=90°，按規定這個零件中∠DBC都應該為直角。工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

學以致用解：在Rt△ABC中，AC=3cm，AB=4cm由勾股定理得：∴△BCD是直角三角形CD所對的角是直角，即∠DBC=90°所以，這個零件符合要求cm

小結：直角三角形的判定方法：1、定義（角）：有一個角是90°的三角形是直角三角形。2、勾股定理的逆定理（邊）：如果三角形的三邊長a、b、c（c為最大邊）滿足則，這個三角形是直角三角形作業：1、課本50頁第6題2、課本57頁第7題路邊苦李

王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法?小故事:這與事實矛盾。說明李子是甜的這個假設是錯的還是對的？假設李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，李子是苦的甲：在五一長假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了.乙：這不可能，5月4號上午還看見你和丙在“長廊”逛街呢！丙：是啊,5月4號我確實和甲在“長廊”逛街！假設甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從5月1號至6號或是2號至7號在新加坡，即5月4號甲在新加坡，這與“5月4號甲在達州市的“長廊””矛盾,所以假設“甲去新加坡玩了6天”不正確,于是“甲沒有去新加坡玩了6天”正確.在古希臘時,有三個哲學家，由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了。這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當他們醒過來后，彼此相看時都笑了。一會兒其中有一個人卻突然不笑了，他是覺察到什么了？

他運用了怎樣的推理方法？各抒己見假設自己的前額沒有被涂黑,那么另一個哲學家也不會有異常行為,自己的前額也被涂黑了.這與另一個哲學家笑個不停矛盾,所以假設“自己的前額沒有涂黑”不正確,于是自己的前額也被涂黑了.29.2反證法執教:謝良文課件制作:

謝良文一、問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了?！蹦隳軐π∪A的判斷說出理由嗎？

假設昨天晚上沒有下雨，那么地上應是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。小華的理由：我們可以把這種說理方法應用到數學問題上。解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根據勾股定理可知a2+b2＝c2.

如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三邊有何關系？為什么？ACCabc一、復習引入探究：假設a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，這與已知條件∠C≠90°矛盾。假設不成立，從而說明原結論a2+b2≠

c2

成立。ACC

若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，請問結論a2+b2≠

c2

成立嗎？請說明理由。abc

這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設結論的反面成立，然后經過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結論，從而得到原結論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。問題：發現知識：二、探究三、應用新知在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B≠

∠

CABC證明：假設

，則（）這與

矛盾．假設不成立．∴

．∠B＝

∠

CAB＝AC等角對等邊已知AB≠AC∠B≠

∠

C小結：

反證法的步驟：假設結論的反面不成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結論正確例１嘗試解決問題感受反證法:證明：假設a與b不止一個交點，不妨假設有兩個交點A和A’。因為兩點確定一條直線，即經過點A和A’的直線有且只有一條，這與與已知兩條直線矛盾,假設不成立。

所以兩條直線相交只有一個交點。小結：根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾例2求證：兩條直線相交只有一個交點。已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：a與b只有一個交點。abA●A，●A證明：假設a與b不平行，則可設它們相交于點A。那么過點A就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設不成立?！郺//b.小結：根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾

已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//babc例3

求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°。已知：△ABC求證：△ABC中至少有一個內角小于或等于60°.證明：假設

，則

?！?/p>

，即

。這與

矛盾．假設不成立．∴

．△ABC中沒有一個內角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的內角和為180度△ABC中至少有一個內角小于或等于60°.點撥：至少的反面是沒有！例4∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°例5:求證:在同一平面內,如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直線l1,l2,l3在同一平面內,且l1∥l2,l3與l1相交于點P.求證:l3與l2相交.證明:假設____________,那么_________.因為已知_________,這與“____________________________________”矛盾.所以假設不成立,即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2

經過直線外一點,有且只有一條直線平行于已知直線所以過直線l2外一點P,有兩條直線和l2平行,例6、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角．分析：解題的關鍵是反證法的第一步否定結論，需要分類討論.已知：在△ABC中，AB=AC.求證：∠B、∠C為銳角.證明：假設等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：(1)兩個底角都是直角；(2)兩個底角都是鈍角；（1)由∠A=∠B=90°則∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，這與三角形內角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°這個假設不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，則∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內角和定理矛盾.∴兩個底角都是鈍角這個假設也不成立．故原命題正確

∴等腰三角形的底角必定是銳角.說明：本例中“是銳角(小于90°)”的反面有兩種情況，這時，必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結論一定正確.此題是對反證法的進一步理解.假設結論的反面正確推理論證得出結論回顧與歸納反證法反設歸謬結論

得出矛盾（已知、公理、定理等）

假設不成立，原命題成立.反證法的一般步驟:假設命題結論不成立假設不成立假設命題結論反面成立與已知條件矛盾假設推理得出的結論與定理，定義，公理矛盾所證命題成立什么時候運用反證法呢？動動腦證明真命題的方法

直接證法

間接證法

反證法萬事開頭難，讓我們走好第一步！寫出下列各結論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數；（4）a⊥ba<0b是0或負數a不垂直于ba∥b1.在一個梯形中，如果同一條底邊上的兩個內角不相等，那么這個梯形是等腰梯形嗎？請證明你的猜想．誰來試一試！2.已知：如圖△ABC中，D、E兩點分別在AB和AC上求證：CD、BE不能互相平分

（平行四邊形對邊平行）做一做學習是件很愉快的事證明：假設CD、BE互相平分連結DE，故四邊形BCED是平行四邊形∴BD∥CE這與BD、CE交于點A矛盾假設錯誤，∴CD、BE不能互相平分四、鞏固新知1、試說出下列命題的反面：（1）a是實數。 （2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2個（5）最多有一個（6）兩條直線平行。2、用反證法證明“若a2≠b2,則a≠

b”的第一步是

。3、用反證法證明“如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形”的第一步

。

a不是實數

a小于或等于２

a大于或等于２沒有兩個一個也沒有兩直線相交假設a=b假設這個三角形是等腰三角形已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠C≠∠D求證：梯形ABCD不是等腰梯形.證明：假設梯形ABCD是等腰梯形?！唷螩=∠D（等腰梯形同一底上的兩內角相等）這與已知條件∠C≠∠D矛盾,

假設不成立。

∴梯形ABCD不是等腰梯形.４、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內角不相等，那么這個梯形不是等腰梯形。ABCD五、拓展應用1、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求證：PB≠PCABCP證明：假設PB=PC。在△ABP與△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共邊）

PB=PC（已知）∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形對應邊相等）這與已知條件∠APB≠∠APC矛盾，假設不成立.∴PB≠PC

美國總統華盛頓從小非常聰明,小偷翻進鮑克家偷走了許多東西,根據跡象表明小偷就是本村人,華盛頓靈機一動,對全村人講起了故事:“黃蜂是上帝的使者,能辨別人間的真假.”忽然華盛頓大聲喊道:“小偷就是他，黃蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！”大家回頭張望，看著那個想把帽子上的黃蜂趕走的人，其實哪有什么黃蜂？華盛頓大喝一聲：“小偷就是他！”你知道華盛頓是如何推理的嗎？在應用中體會華盛頓抓小偷警察局里有５名嫌疑犯，他們分別做了如下口供：Ａ說：這里有１個人說謊．Ｂ說：這里有２個人說謊．Ｃ說：這里有３個人說謊．Ｄ說：這里有４個人說謊．Ｅ說：這里有５個人說謊．

聰明的同學們，假如你是警察，你覺得誰說了真話？你會釋放誰？請與大家分享你的判斷！快樂驛站我來當警察課外延伸

古希臘哲學家亞里士多德有一個著名論點:輕重不同的兩個物體從同一高度自由下落時,一定是重的物體先落地.在意大利物理學家伽利略提出反對觀點以前的一千多年里人們對亞里士多德的說法深信不疑.伽利略為了證明自己的觀點是正確的,在意大利的比薩斜塔上,讓一個中1磅和重100磅的兩個鐵球同時從高空自由下落,果然是同時著地.這是科學史上一個極其有名的實驗,它否定了亞里士多德的錯誤觀點.你能用今天所學的知識來否定亞里士多德的錯誤觀點嗎?試一試.六、全課總結1、知識小結：反證法證明的思路：假設命題不成立→正確的推理,得出矛盾→肯定待定命題的結論2、難點提示:

利用反證法證明命題時,一定要準確而全面的找出命題結論的反面。至少的反面是沒有，最多的反面是不止。大家議一議！

通過本節內容的學習，你們覺得哪些題型宜用反證法？我來告訴你（經驗之談）

（1）以否定性判斷作為結論的命題；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題；（3）關于“唯一性”結論的命題；（4）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等.(如平行線的傳遞性的證明）注意:用反證法證題時,應注意的事項

:

（1）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏；（2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真偽性；（3）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結果是錯誤的。課時作業設計用反證法證明下列命題：1.求證：三角形內角中至多有一個內角是鈍角。2.已知：如圖，AB∥CD，AB∥EF。求證：CD∥EF。3.求證：圓內兩條不是直徑的弦不能互相平分。

4.證明“在同一平面內,垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.”ABCDEF第2題圖練習：

1.

ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,則c=10()3、已知：數3和4，請你再寫一個數，使這些數恰好是一個直角三角形三邊長,則這個數可以是()4、一個直角三角形的三邊長是不大于１0的三個連續偶數，則它的周長是()X

X524勾股定理的應用勾股定理能解決直角三角形的許多問題，因此在我們的現實生活中有著廣泛的應用．如：這些美麗的圖案1

如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B小結：把幾何體適當展開成平面圖形，再利用“兩點之間線段最短”性質來解決問題。臺階中的最值問題例１

.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？ABCＤ解:∵AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13.答:從