試題PAGE1試題河北省重點高中高二4月聯考數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章～第七章第2節．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數在處的導數為2，則（）A． B．2 C． D．2．《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和小王每人只能選擇看其中的一場電影，則不同的選擇方案有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．9種3．已知隨機變量X服從兩點分布，且，則（）A． B． C． D．4．設是函數的導函數，則的圖象可能是（）A． B． C． D．5．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5個數字a，b，c，d，e，記由這5個數字組成的無重復數字的五位數為，其中滿足的五位數的個數為（）A．126 B．756 C．1260 D．75606．函數，則下列結論錯誤的是（）A．在區間上不單調 B．有兩個極值點C．有兩個零點 D．在上有最大值7．某機構擬對其所管轄的6個部門中的4個部門的負責人進行調整，被調整的4人將到其余部門任負責人（不在原部門），每個部門只有一個負責人，調整方案的種數為（）A．135種 B．200種 C．270種 D．360種8．設，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．若B，C互斥，則B．C．若，則D．若，則10．2024年3月，中華人民共和國全國人民代表大會與中國人民政治協商會議在北京召開（以下簡稱“兩會”），兩會結束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（）A．若A與B相鄰，則有48種不同站法B．若C與D不相鄰，則有24種不同站法C．若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D．若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法11．已知函數的定義域為R，其導函數為，且對任意的，都有，則下列正確的是（）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．方程（且）的解為______．13．已知函數在定義域上單調遞增，則實數m的取值范圍是______．14．“算兩次”是一種重要的數學方法，也稱做富比尼（G.Fubini）原理．“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”（波利亞著《數學的發現》第一卷），即將一個量“算兩次”，由等式，，，利用“算兩次”原理可得______．（結果用組合數表示）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知二項式（且a為常數）的展開式中第7項是常數．（1）求n的值；（2）若該二項式展開式中各項系數之和為1024，求展開式中的系數．16．（本小題滿分15分）已知函數．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數的極值．17．（本小題滿分15分）某公司餐廳有米飯和面兩類主食，員工小張每天中午選擇其中一種就餐，已知小張第一天中午選面食的概率是，若小張第一天中午選擇面食，則第二天中午選擇米飯的概率為，若小張第一天中午選擇米飯，則第二天中午選擇面食的概率為．（1）求小張第二天中午吃米飯的概率；（2）記小張前兩天中午吃面食的次數為X，求X的分布列．18．（本小題滿分17分）設函數，其中e為自然對數的底數．求證：（1）當時，；（2）．19．（本小題滿分17分）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱為函數的“固點”．經研究發現所有的三次函數都有“固點”，且該“固點”也是函數圖象的對稱中心．根據以上信息和相關知識回答下列問題：已知函數．（1）當時，試求的對稱中心；（2）討論的單調性；（3）當時，有三個不相等的實數根，當取得最大值時，求m的值．河北省重點高中高二4月聯考·數學參考答案、提示及評分細則1．A．故選A．2．D依題意，每個人選擇方案都有3種，所以兩個人不同的選擇方案有種，故選D．3．B由隨機變量X服從兩點分布，得，又，所以．故選B．4．C由，得，或由，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，由圖知，只有C選項的圖象符合，故選C．5．B第一步：從9個數中任取5個數，有種取法；第二步：將取出的5個數中最大的放中間數位，從余下的4個數字中取2個排在一端，余下的排在另一端，共有種排法，所以符合條件的五位數有個，故選B．6．C，顯然在和上，在上，故在和上單調遞增，在上單調遞減，所以為的極大值點，為的極小值點，且，，時，，時，，所以有三個零點，所以ABD正確，C錯誤，故選C．7．A先從6人中選出不作調整的兩個，有種，再把余下的4部門負責人調整到其他部門，假設4個部門為A，B，C，D，對應的4位原負責人分別為a，b，c，d，則a可以調整到B，C，D中的任一部門，有3種情況，假設a分到B部門，則b也有3種情況，剩下的兩人有1種情況，故有種情況，所以調整方案共有種，故選A．8．D構造函數，則，令，，所以當時，，所以在上單調遞減，故當時，，所以當時，，所以在上單調遞增，所以，又，所以．故選D．9．AD若B，C互斥，則，A正確；條件概率的性質與其他概率的性質一樣，概率范圍應該為，B錯誤；若A，B互斥，則，此時，但不一定成立，C錯誤；若，則，所以，D正確，故選AD．10．ACD若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，則有種不同站法，D正確，故選ACD．11．BD令，所以，因為，所以，所以在R上單調遞增，所以，即，故AC錯誤，BD正確，故選BD．12．2或4由題意，可知，，所以或．13．因為函數在定義域上單調遞增，所以恒成立，即恒成立，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，即，所以實數m的取值范圍是．14．因為，因此是展開式項的系數，而的展開式中項的系數為，所以．15．解：（1）二項式的展開式中第7項為，由題意得，解得．（2）令，得，所以或，解得，或（舍去）．該二項式展開式通項為，令，解得，故展開式中的系數為．16．解：（1）函數的定義域為R，，所以，又，故在點處的切線方程為，即．（2）令，則，解得，．所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以當時，取得極大值；當時，取得極小值．17．解：（1）記“小張第i天中午吃面食”，，“小張第j天中午吃米飯”，，由題意可知與對立，與對立，由全概率公式，得，即小張第二天中午吃米飯的概率為．（2）由題意可知，X的可能取值有0，1，2．則，，，所以X的分布列為X012P18．證明：（1）要證，只需證，令，，所以，所以在上單調遞增，，所以，即當時，．（2）由（1）知當時，，即，要證，只要證，即證．令，，令，則．當時，，單調遞減；當x∈(1,+∞)時，，單調遞增，所以，所以．所以，所以．19．解：（1），，，令，解得，，故的對稱中心為．（2），令，則，，當時，，恒成立，所以函數在R上單調遞增；當時，，在，上，，函數在，上單調遞增；在上，，函數在上單調遞減；當時，，在，上，，函數在，上單調遞增；在上，，函數在上單調遞減