河南省濮陽市部分名校2023-2024學年高一下學期5月質量檢測數學試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據對數型函數的定義域求解集合M，根據函數的值域求解集合N，然后利用集合交集的運算求解即可.【詳解】由不等式，可得，所以，因為，所以，所以，所以.故選：C2.如圖，由斜二測畫法畫的水平直觀圖是的等腰直角三角形，那么它在原平面圖形中，頂點到的距離是（）A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】先求出直觀圖的，再由斜二測畫法規則求出頂點到的距離即可.【詳解】在中，，，，于是得，且原圖中即為頂點到的距離，由斜二測畫法規則知，在原平面圖形中，頂點到的距離是.故選：D3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由得出，再將弦化切即可求解.【詳解】由得，所以，故選：B.4.已知是單位向量，，則向量在上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據投影向量定義以及已知條件直接計算即可求解.【詳解】由題意以及投影向量定義得向量在上的投影向量是：.故選：B.5.已知，，，則，，的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本題根據指數函數、對數函數的性質借助中間值1比較可得.【詳解】因為，所以，即，又，即，又，所以，所以；因為，所以，所以，所以所以.故選：A.6.若正方體的內切球的表面積為，則此正方體最多可容納半徑為1的小球的個數為（）A.7個B.8個C.9個D.10個【答案】B【解析】【分析】根據正方體的內切球的表面積求得正方體的棱長，結合小球的半徑即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為a，則其內切球的直徑為a，由題意，解得，即正方體的棱長為4，半徑為1的兩個球的直徑和為4，故正方體內最多可以放8個半徑為1的球.故選：B7.如圖，在正四棱柱中，是棱的中點，則直線與BE所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知即可（或其補角）即為直線與BE所成的角，設，則可求得，，，在中，由余弦定理即可得到答案.詳解】如圖,連接，在正四棱柱中，設，，則，又是棱的中點，所以，所以，又在正四棱柱中，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以（或其補角）即為直線與BE所成的角，由，則，又，在中，由余弦定理得.故選：D.8.如圖，在正方形中，,和相交于點G，且F為上一點（不包括端點），若，則的最小值為（）A.B.C.D.15【答案】B【解析】【分析】先確定的位置，接著由進行轉化，利用共線定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】由題可設，則由題意得，因為、、三點共線，故，所以，所以，又、、三點共線，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若且，則，為實數【答案】AB【解析】【分析】利用復數運算及共軛復數、復數模的意義計算判斷AB，舉例說明判斷CD.【詳解】由，即，可得，故A正確；因為，所以，所以，故B正確；取，則，而，，故C錯誤；取，則，，而，都不是實數，故D錯誤.故選：AB10.已知向量，，滿足，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.向量，的夾角為【答案】AC【解析】【分析】根據向量模的坐標運算判斷A，根據向量垂直的坐標表示判斷B，根據向量共線的坐標表示判斷C，根據向量夾角的坐標表示判斷D.【詳解】因為，，所以，所以，即，故A正確；，故B錯誤；因為，，所以，所以，故C正確；，所以，即向量，的夾角為，故D錯誤.故選：AC11.如圖，在正方體中，，均為所在棱的中點，是正方體表面上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐體積為C.過三點的平面截正方體所得截面的面積為D.若，則點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】分析】選項A.利用中位線平行得出與點共面；選項B.因為面在正方體前側面上，所以點到面的距離等于的長，利用錐體體積公式求解即可；選項C.由選項A知截面為正六邊形,進而得解；選項D.由知點軌跡為為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，由正方體棱長得，交線為三段半徑為的四分之一圓.【詳解】選項A，如圖，設點是棱中點，由均為所在棱的中點，根據中位線易得,進而可得與點共面，所以平面，錯誤；選項B，如圖，因為面在正方體前側面上，所以點到面的距離等于的長，正方形中，則三棱錐的體積為,選項C，由選項A知過三點的平面截正方體所得截面為正六邊形,邊長，所以面積為，選項D，由知點軌跡為為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，如圖，由正方體棱長得，交線為三段半徑為的四分之一圓，長度為，故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：利用平行線確定平面可以得出選項AC，選項B直接利用錐體體積公式計算即可，選項D關鍵是理解到.由知點軌跡為為球心，為半徑的球，球與正方體平面交線為圓弧，又正方體棱長為2與球半徑相等，所以每個面上的圓弧為四分之一圓.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復數，則______.【答案】##【解析】【分析】由復數的四則運算以及模的計算公式即可得解.【詳解】因，所以.故答案為：.13.若用長度分別為1，2，a的三支木棒拼成一個鈍角三角形，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】結合余弦定理分類討論三角形的角分別為鈍角即可求解.【詳解】如圖，設長度分別為1，2，a的三支木棒分別為的三邊，則即，顯然角B為銳角，當時，由余弦定理得，或，故；當時，由余弦定理得，，故；綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：.14.如圖，在直三棱柱中，側面ABCD的面積為為直角，，則三棱柱的外接球的半徑取最小值時，四棱錐的體積為___________.【答案】##【解析】【分析】由題意，直三棱柱的外接球的球心為矩形的中心，設，則，又為直角，，則，可得外接球的半徑，由重要不等式當時外接球的半徑取得最小值，即可求出四棱錐的體積.【詳解】由題意，直三棱柱的外接球的球心為矩形的中心，且平面，側面均為矩形，設，因為側面ABCD的面積為，所以，因為為直角，，所以，則，所以直三棱柱的外接球的半徑，由，當且僅當，即時不等式取等號，此時直三棱柱的外接球的半徑取得最小值，此時，又，則四棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知，，.（1）若，求的值；（2）若復數在復平面內對應的點滿足關系式，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用復數加法運算結合復數模的運算法則計算即可；（2）利用復數的除法運算化簡復數，然后利用復數的幾何意義列式計算即可.【小問1詳解】因為，，，所以，又，所以，解得或；【小問2詳解】因為，所以滿足關系式，則，解得16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B的大小；（2）若，，求周長的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再由兩角和正弦公式即可進一步求出角B.（2）先由確定角B，然后用正弦定理邊化角得，再利用和三角恒等變換公式化為一角一函數，接著利用三角函數的有界性即可求解.【小問1詳解】由正弦定理和得：，故，又，所以，即，又，所以或.【小問2詳解】若，則,所以由（1），又，所以由正弦定理得，所以，又由上，所以，所以，所以，即周長的取值范圍為.17.已知向量，，函數.（1）求函數的解析式和圖象的對稱中心；（2）若函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，且關于x的方程在上有3個不同的解，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由數量積的坐標運算結合三角恒等變換公式直接運算化簡即可求解.（2）先由平移變換知識求出函數的解析式，再利用三角恒等變換公式將方程在上有3個不同的解轉化成一個解為和在上有2個不同的解即可求解.【小問1詳解】由題，令，所以函數圖象的對稱中心為.【小問2詳解】由題得，因為方程在上有3個不同的解，所以由二倍角公式得在上有3個不同的解，因為時，，故是方程的一個解，所以在上有2個不同的解，此時，所以即在上有2個不同的解，圖像如下：所以由三角函數圖像可知，即.故方程在上有3個不同的解，則實數的取值范圍為.18.如圖，在三棱錐中，平面分別為棱PC，PB的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的大小.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）由平面，可得，在中，，由正弦定理可得，則得平面，再由，即可證得平面平面；（2）取中點，連接，可得平面，得即為二面角的平面角，再由棱長關系即可求得，進而得到二面角的大小.【小問1詳解】平面，平面，，在中，，由正弦定理，則，，又，平面，平面，又分別為棱PC，PB的中點，，則平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】如圖，取中點，連接，又為PB的中點，，，由平面，平面，又平面，，由（1）知，，平面，，平面，又平面，，則即為二面角的平面角，設，則，，，所以在直角三角形中，，，即二面角的大小為.19.奔馳定理是一個關于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車logo相似，因此得名.如圖，P是內的任意一點，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，總有優美等式：.（1）若P是的內心，，延長AP交BC于點D，求；（2）若P是銳角的外心，，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）